calcolo combinatorio

ho n=365 e k=50

Mi interessa calcolare la P che almeno due persone compiano gli anni lo stasso giorno.

P(anni stesso giorno)=1-((disposizione senza ripetizioni)/(disposizione con ripetizioni))

e fino a qui nessun problema.

Dato che la disposizione con ripetizioni mi riproduce tutti i possibili eventi del mio spazio degli eventi e la disposizione senza ripetizioni mi serve per calcolare col complementare il numero di ripetizioni, mi chiedevo se le ripetizioni erano fatte cos':

111111......fino a 50
222222......fino a 50

e così via fino a 365

Mi riesce difficile visualizzare come sono fatte per via dei numeri piuttosto grandi.
Calcolare quante ce ne sono è abbastanza semplice:
365^50-(365!/(365-50)!) ma come sono fatti questi oggetti ?

Ossia, in questo caso,

No, va bene anche una cosa del tipo 1,2,3,...,48,49,1.
In ogni caso, il fatto che il valore 1 compaia due volte, costituisce una ripetizione.

Solo che, nel problema dei compleanni (un classico) quando dici "disposizioni con ripetizioni", intendi "tutte le disposizioni, anche quelle con ripetizioni", e non "solo le disposizioni con ripetizioni".

Per inciso, la probabilità che cerchi dovrebbe essere sicuramente superiore al 90% e forse (ma non sono sicuro) anche al 99%.

grazie Ziosilvio,
quindi le ennuple sono anche del tipo 1,1,2,3,...,49,50 oppure 1,1,1,1,2,3,4,5,....50 etc... e sono tutte valide in quanto ho cifre ripetute ?

In definitiva quindi ho al denominatore tutte quelle ennuple che presentano elementi doppi, giusto e "scarto"(per così dire) quelle con elementi singoli che non fanno parte degli eventi favorevoli!

Sì.

Intendi oppure ?

scusa ma per non lasciarmi dietro alcun dubbio....

anche 1,1,2,2,3,4,5,6,7,7,8,9,.......,49,50 è una tupla buona ?

ho finito con le domande: grazie

Che cosa vuol dire "buona"?

Se intendi "con ripetizioni", la risposta è sì.

intendevo buona da usare al numeratore per determinare la mia P

questo :

Calcola il reciproco z di 1-2i. Ricorda che il reciproco di a+bi è (a-bi)/(a^2+b^2).
Poi calcola (2+i)*z*z.

la P(A|B)=P(AB)/PB vale solo per eventi congiunti ?

Se con AB intendi "A and B", vale per tutte le coppie di eventi.

E, se ci pensi, corrisponde proprio ad una "riequilibratura" conseguente allo spostamento di tutta la "massa di probabilità" sull'evento B.

cosa intendi per tutte le coppie di eventi ?

intendevo proprio A intersecato B

se A intersecato B = insieme vuoto la loro P = 0

Se B è un evento di probabilità positiva, allora P(AB)/P(B) è proprio la definizione di P(A|B).
Sì.

Ciao a tutti, mi servirebbe una mano con questo esercizio di probabilità:

Siano X1 e X2 variabili aleatorie indipendenti e N(0, 1). Si ponga Y1 = 2 + X1 + X2, Y2 = X1 − X2.

1. Calcolare varianze e covarianza di Y1, Y2. Y1 e Y2 sono indipendenti? Perchè?

2. Calcolare Var (2Y1 + Y2).

3. Calcolare P(max(Y1, Y2) > 10). Esprimere il risultato con la funzione speciale erf.

Il secondo punto l'ho fatto (mi viene 10), nel primo ho fatto l'inizio (mi viene Var(Y1) = 2, Var(Y2) = 0, Cov (Y1, Y2) = 0) ma ho qualche problema sulla domanda riguardo l'indipendenza (perché avendo covarianza nulla posso solo dire che le due variabili sono incorrelate) il terzo invece non riesco a risolverlo.

Ciao ho un problema con una ODE. Si tratta di una ode bilineare, conoscendo la condizione iniziale, come faccio a trovare la soluzione in forma chiusa? L'equazione è del tipo

x'(t)=a*x(t)*u(t)+b*u(t)+d(t)
x(0)= nota

in cui x' è la derivata rispetto al tempo di x e u(t) (e d(t)) si possono vedere come INGRESSI al sistema. Nel caso Lineare la soluzione è la tipica

x(t)=x(0)*exp(a*t)+INTEGRALE DA 0 a t di {(exp(a)t-T)*b*u(T)}dT

Ma nel caso di ode bilineare è possibile trovare un'espressione in forma chiusa?
Thanx

Domanda un po' di fisica e un po' di analisi
 

Scusate l'intrusione nel thread, il mio è un argomento semi-OT: spero che sarete "clementi" e mi risponderete ugualmente.

Allora, volevo, per curiosità, ritrovare la formula analitica della legge oraria per un velivolo (razzo) che parta dalla superficie della Terra e si allontani in direzione zenitale (seguendo una ideale semiretta che parta dal centro del pianeta e passi per il punto di partenza). Innanzitutto impongo che sul razzo agiscano due sole forze, la spinta generata dal motore che esprimo come:

Fa = portata_propellente * velocità_propellente

E la forza di gravità, che esprimo come

Fg = g0 * raggio_della_Terra ^ 2 * massa_del_razzo / s ^ 2

Dove s in questo caso è la distanza dal centro della Terra, e nell'istante iniziale t = 0 è pari al raggio della Terra stesso, e g0 è l'accelerazione di gravità alla superficie terrestre (l'ho espressa così solo per evitare di trascinarmi dietro la costante di gravitazione universale).

Ora, il razzo progressivamente si svuota di propellente e perciò perde massa, quindi la sua massa varia nel tempo in questo modo:

M(t) = massa_del_razzo = massa_iniziale - portata_propellente * t

dove ho supposto che la portata del propellente sia costante.

A questo punto, combinando le equazione della dinamica ho che sul razzo agisce in ogni istante una forza risultante F, pari a:

F = Fa - Fg = portata_propellente * velocità_propellente - g0 * raggio_della_Terra ^ 2 / s ^ 2

Ricordando che:

F = ma = m * derivata_seconda_di_s_rispetto_a_t

E dividendo tutta l'equazione per M(t), posso scrivere:

derivata_seconda_di_s_rispetto_a_t = ( portata_propellente * velocità_propellente / (massa_iniziale - portata_propellente * t) ) - ( g0 * raggio_della_Terra ^ 2 / s ^ 2 )

Ora: come risolvo questa equazione differenziale? Un po' me ne vergogno, ma mi sono parecchio... ehm... "arrugginito" dai tempi dell'Università, e non mi ricordo molto bene. Non riesco nemmeno a capire se mi sono imbattuto in un problema banale o se sono finito in una cosa complicata. :confused:

per la legge "ci si perde in un bicchier d'acqua", pongo il seguente quesito: si lanciano due monete e quindi lo spazio campionario è il seguente: _/\_ = {(T,T),(T,C),(C,T),(C,C)}

Ci si chiede la probabilità di due teste data una testa e poi la probabilità di due teste data almeno una testa.
La soluzione del problema non mi interessa in quanto la conosco, mi interessa come ci si arriva al risultato in quanto, credo, che le notazioni usate siano leggermente depistanti, ditemi voi se è vero o meno :stordita:

Per rispondere alle domande ci si serve del teorema della probabilità condizionata avendo come eventi

A1={esce testa nella prima moneta}
A2={esce testa nella seconda moneta}

P(A2|A1)=P(A1 intersecato A2) / P(A1)

e qui nasce il mio dubbio:

(A1 intersecato A2) = (T intersecato T) = T e con un risultato del genere ci si blocca in quanto non credo abbia molto senso se confrontato con lo spazio campionario a disposizione che è fatto da coppie A1,A2 però, la scrittura parla di intersezione. Qusto per dire che è una prima interpretazione di quanto scritto o meglio, di quanto si evince dalla notazione grafico/insiemistica :D

Il secondo significato è vedere (A1 intersecato A2) come (A1 AND A2) e cioè devo cercare(usare) nello spazio campionario solo ciò che porta ad una cosa del tipo (A1 AND A2)=VERO e che guarda caso è la coppia T,T.

Domande:
- è vera la prima ipotesi o la seconda ?
- è duplice il significato in questo caso specifico delle operazioni di unione e intersezione ?


grazie

A1 = {(T,T),(T,C)}.
A2 = {(T,T),(C,T)}.
A1 intersezion A2 = {(T,T)}.

Ho risolto il problema che avevo postato prima, adesso ne ho un altro:

siano e due variabili aleatorie indipendenti di distribuzione Exp (1). Siano e rispettivamente il minimo e il massimo tra e . Calcolare la densità congiunta di e .

Il professore è arrivato al risultato in due soli passaggi: .. non riesco a capirli, che procedimento ha usato per arrivarci?

Sono decisamente arrugginito e non mi è chiaro questo passaggio. Qualcuno può aiutarmi?

Si deriva rispetto a Vi. Vdd e Vt sono variabili



Grazie :)

Sono applicazioni delle regole di derivazione per prodotti



e composizioni



VDD e VT sono variabili, quindi dVDD/dVI = dVT/dVI = 0.

A primo membro,



A secondo membro,

Azz, velocissimo e chiarissimo! Grazie mille!! :)

per completezza. Devono essere costanti rispetto alla variabile di derivazione, non variabili generali che potrebbero dipendere da Vi :stordita:

ah ecco!

quindi A1 U A2 = {(T,T),(T,C), (C,T)} ???

Sì.

Dopotutto, lo spazio campionario era stabilito per ipotesi come {(T,T),(T,C),(C,T),(C,C)}.

Cioè: devono essere indipendenti dalla ecc.
E credo che fosse quello il senso di "VDD e VT sono variabili" nel post originale.

UP

Sei sicuro che il passaggio finale sia corretto? L'ultima non è neanche una densità di probabilità...

L'esercizio non l'ho svolto, ma tieni a mente che, quali che siano i valori assunti dalle variabili aleatorie (che indichiamo con lettere minuscole) l'insieme {t1,t2} coincide con l'insieme {s1,s2}.

Si si certo. Era per chiarire al lettore che dire Variabili non è sufficiente , non a te naturalmente :stordita:

Questa è la risoluzione del professore:



e c'è anche in un altro esame lo stesso identico esercizio, cambia solo il parametro dell'esponenziale, e la risoluzione è identica, usa sempre questa formula... non riesco a capire...

Altrimenti come potrei fare? Io l'unico modo che conosco per calcolare la densità congiunta di funzioni di due variabili aleatorie è quella con il Jacobiano: (con e variabili aleatorie iniziali e , ),
ma in questo caso non riesco ad applicarla perché ho queste funzioni di massimo e minimo che non so come gestire.

Ciao a tutti,


io avrei bisogno di un consiglio per un libro di logica (rivolto all'informatica).


Mi servirebbe un libro che parta dalle basi (log. proposizionale e dei predicati) e vado fino al model-checking. Qualcuno ha qualche consiglio?

io volevo capire dov'è l'errore in questo esempio



Ho un dado che lancio due volte, il mio spazio campionario è _/\_={1,2,3,4,5,6}
fisso
A = esce numero pari
B = esce numero dispari
ho quindi che A={2,4,6} e B={1,3,5}

voglio calcolare la P che esca pari e dispari sapendo che al primo lancio è già uscito pari

P(BA|A)=P(B int A int B)/P(A)

B int A int B ={1,3,5} Ç {2,4,6} Ç {1,3,5} = {1,3,5} e P(1,3,5)=1/2
la P(A)=1/2 quindi sapendo che A si è già avverato ho:
P(BA|A)=(1/2)/(1/2) = 1

Ora invece voglio calcolare che esca pari e dispari dato almeno un pari, quindi il pari può uscire prima oppure dopo e scrivo: P(BA|AUB)=P(B int A int (A U B))/P(A U B)

ma

B int A int (A U B) = {1,3,5} int {2,4,6} int ({2,4,6} U {1,3,5}) = insvuoto int _/\_ = _/\_ e la P(_/\_)=1
la P(A U B) poi è _/\_ che vale 1 quindi
P(1)/P(1)=1

puoi riformulare meglio la domanda? cosi sembra un'altra cosa :fagiano:
Se al primo lancio è uscito pari e ora volgio che esca dispari la prob è 1/2 :stordita:

dove sembrerebbe un'altra cosa ?
Magari è proprio li che sbaglio :fagiano:
Il risultato dovrebbe essere 1/2 come dici tu ma a me viene 1 :p

ad ogni modo la domanda è: lanciando un dado due volte e sapendo che al primo lancio è uscito pari, qual'è la probabilità che esca dispari ?
Vorrei vedere tutti i passaggi però :)

se E' gia uscito pari lo prendi per assodato. Adesso devi vedere la prob che esca dispari che è appunto 1/2. Sono molto arrigginito su queste cose ma dovrebbe essere semplicemente cosi :stordita:. Nessun passaggio :stordita:

rigirando la domanda. Prendi una monetia che è già stata lanciata 1T (1 tera) di volte :asd: quale è la prob che esca faccia al lancio successivo? 1/2

Allora i casi sono due.
O consideri lo spazio campionario {(1,1),(1,2),...,(1,6),...,(6,6)} dei risultati delle coppie di lanci.
Oppure consideri gli eventi A1="esce pari al primo lancio", C="escono un pari e un dispari" e calcoli P(C|A1).

Ah: naturalmente, se il dado è equilibrato allora la probabilità che cerchi è 1/2.

in base al tuo suggerimento, calcolare la probabilità che escano due pari dato un pari; siccome al secondo lancio può uscire l'uno o l'altro posso scrivere (AB) e quindi:

P(AB | A) = P((AB) intersecato A)/P(A) = (1/2)/(1/2) = 1 :stordita:

insiemisticamente

AB intersecato A = ({2,4,6} intersecato {1,2,3}) intersecato {2,4,6} = {2,4,6}

dov'è l'errore ?

la probabilità che esca un pari (nel primo lancio) e uno dispari (nel secondo) dato che è gia uscito pari (nel primo) è la sola probabilità che esca dispari. :stordita: cioè P(PD|P)= P(PDintersecatoP)/P(P)= P(P|PD)*P(PD)/P(P) usando bayes e il teorema della probabilità composta ( se mi ricordo bene i nomi)

quindi (1*1/4)/(1/2)=1/2:stordita:

chiamando P evento esce pari e PD evento esce pari nella prima e dispari nella seconda

scusa ma PD=P intersecato D = insieme vuoto
e poi la probabilità di P = 1/2, perchè hai scritto 1/4 ?