Molto bene, allora nell'esame di ieri sia chi sosteneva di dovere fare la chiusura universale prima della forma di skolem non sbagliava, così come non ho sbagliato io che nel dubbio non l'ho fatta.

Avrò la conferma nel risultato :D nel frattempo grazie mille per la disponibilità ;)

Calcolo della classe inversa in un anello quoziente modulo un ideale
 

Ho Z5[X]/(x^3+3x+2). devo dire se la classe [x^5+4x+1] è invertibile nell'anello e nel caso determinare la sua inversa.

so che x^3+3x+2 è irriducibile in Z5[x], quindi Z5[x]/(x^3+3x+2) è un campo, quindi tutti i sui elementi diversi dalla classe nulla [x^3+3x+2] sono invertibili.
So che [x^5+4x+1] è uguale a [3x^2+3x+2] che è diversa dalla classe nulla, quindi posso trovare l'inversa, ma non ho la minima idea di come fare.
So che se è g(x) è l'inversa allora il prodotto fra [3x^2+3x+2] e g(x) mi deve dare l'unità di Z5[X]/(x^3+3x+2) cioè [x^3+3x+3], ma provando a fare i calcoli non mi esce mai.
Qualcuno si intende di algebra?

nessun studioso di algebra :cry: ?

Forse ce n'è qualcuno nel thread in rilievo.

Tornando a noi: la classe inversa di [p(x)] in R[x]/q(x) è ovviamente la stessa di [p(x)%q(x)], ossia del resto della divisione di p(x) per q(x). E fin qui hai fatto bene.

Ora, nel tuo caso Z5 è un anello finito, quindi puoi semplicemente provare tutti i polinomi j(x) di grado al più due, e trovarne uno tale che j(x)p(x)-1 è multiplo di q(x).
Ma qui hai di più: Z5 è un campo, quindi i polinomi costanti non nulli sono invertibili, quindi ti basta trovare j(x) tale che j(x)p(x)-1 sia proprio q(x).

Nel tuo caso, q(x)=x^3+3x+2 e p(x)=3x^2+3x+2, quindi, se j(x)=ax^2+bx+c, ti basta risolvere l'equazione p(x)j(x)=q(x)+1, ossia, dato che p(x)j(x)=3ax^4+3(a+b)x^3+(2a+3b+3c)x^2+(2b+3c)x+2c, il sistema:
dove, ovviamente, il segno = sta per la congruenza modulo 5.

thx mille per la risposta, mo sto esuarito sono passato ai gruppi ciclici e normali, matrtedì ho lo scritto e sto cercando di preparare algebra in 2 settimane :D , e il libro di testo non è proprio il massimo per gli esercizi.
Domattina sveglia presto e provo.

Unisco al thread in rilievo. :)

Mi sa che qui ho preso fischi per fiaschi: p(x)j(x)-1 deve sì essere multiplo di q, ma il fattore di proporzionalità potrebbe essere non solo una costante, ma anche un polinomio.
Questo, per inciso, compromette anche il resto.
Mi prendo una pausa e cerco di pensarci un po'... scusatemi...

:D, tutto il tempo che vuoi,
ora continuo un pò con i gruppi e poi mi ridedico alle classi inverse. il compito dovrebbe essere cosi composto:
1 esercizio: Analisi di anelli e suoi ideali
2 un sistema di congruenze lineari
3 un quoziente modulo un polinomio da studiare e trovare classi inverse o divisori dello zero
4 studio di un gruppo, caratteristiche e periodo.

quello che mi convince di meno è la storia della classe inversa, sugli esercizi lei tira magicamente fuori dei risultati ma sta ben attenta a dire il procedimento con cui ci arriva :(

Matrici & Sistemi Lineari
 

1.a.
Se ho una matrice A con il numero di righe > numero delle colonne nella forma Ax=0 come saranno le soluzioni? Ci saranno?

1.b.
Se ho una matrice A con il numero di righe > numero delle colonne nella forma Ax=b come saranno le soluzioni? Ci saranno?

2.a.
Se ho una matrice A con il numero di righe < numero delle colonne nella forma Ax=0 come saranno le soluzioni? Ci saranno?

2.b.
Se ho una matrice A con il numero di righe < numero delle colonne nella forma Ax=b come saranno le soluzioni? Ci saranno?


Come faccio via via a capirlo velocemente?

Vado a memoria...

Un sistema lineare rappresenta un sistema di n equazioni in m incognite.
La matrice dei coefficienti ha dimensione [n x m], il vettore delle variabili e quello dei termini noti hanno dimensione [m x 1].

Già da questo si possono dire alcune cose, come ad esempio se n<m non ci sono soluzioni, perchè ci sono meno equazioni delle incognite.
Se invece n>=m allora il sistema ha abbastanza equazioni, e forse anche troppe, ma bisogna vedere se sono tutte indipendenti.
Ad esempio in un sistema 2x2 se una equazione è x+2y=0 e l'altra è 3x+6y=0 è chiaro vedere che la seconda è solo la prima moltiplicata per 3, eche quindi non aggiunge alcuna informazione in più della prima, e quindi non è una seconda equazione (ne potremmo ottenere infinite solo moltiplicando la prima), ma solo una copia della prima. Per questa ragione quel sistema, nonostante n=m rimane senza soluzione.

Nei casi quindi con n=m dobbiamo verificare che le equazioni siano tutte indipendenti tra loro, e questo si fa col determinante della matrice dei coefficienti, se è =0 sono dipendenti, e quindi rimane irrisolto. Nell'esempio di prima la matrice era (per righe) [ 1 2 ; 3 6], e se calcoli il determinante viene nullo.

Nei casi in cui n>m vuol dire che ci saranno (n-m) equazioni in eccesso. Dobbiamo fare la stessa verifica di indipendenza delle equazioni fatta prima, e chiaramente dobbiamo ottenere che essendoci m incognite devono esserci almeno m equazioni indipenenti affinchè ci sia soluzione. Per esempio se ho un sistema di 5 equazioni e 3 incognite, e viene fuori che 3 equazioni sono tra loro dipendenti (e quindi sono la stessa), il sistema diventa di 3 eq in 3 inc, e quindi posso risolverlo. Se invece fosero 4 quelle dipendenti, allora avrei troppe poche equazioni, ed il sistema risulterebbe insoluto.

Dato che il determinante si può fare solo sulle matrici quadrate, per verificare se una matrice non quadrata (come in questo caso, essendo n>m) è costituita da righe indipenenti si calcola il rango. Ad esempio se una matrice [7 x 4] risulta avere rango 3 vuol dire che ci sono al suo interno 3 equazioni indipendenti, e le altre sono tutte copie, e quindi 3 equazioni sono troppo poche per risolvere il sistema che ha 4 incognite.
Per la spiegazione di come si calcola il rango puoi cercare su un libro, sarebbe un po' complicato qui.

Questo a memoria e senza impegno... :p

- CRL -

ok, ma se n<m non può essere che ci siano infinite soluzioni, appunto perchè non si conoscono tutte le incognite? la butto li.... :D

mi è venuto un piccolo dubbio sulle serie di funzioni...

allora cosideriamo una successione di funzioni:

f1(z),f2(z),.....,fn(z),......

a questa successione si può associare una serie di funzioni.
ora la serie è essa stessa una successione così definita:

S1=f1
S2=f1+f2
S3=f1+f2+f3
....
Sn=f1+f2+....+fn
......


si definisce somma della serie il seguente limite:

lim n---->inf Sn(z) =f(z)


in un libro che sto consultando la serie è indicata così :

f1+f2+f3+....+fn+......

ma questa non è la somma della serie?! da qui sembrerebbe che una serie di funzioni sia una funzione, invece io ho sempre saputo che una serie associata a una successione è una sucessione :confused:

Vero.

Quando il sistema è sottodeterminato, cioè in tutti i casi in cui ci sono meno equazioni che incognite (cioè quando erano di meno dall'inizio, o quando alcune sono risultate essere dipendenti, e quindi da togliere) ci possonoe ssere infinite soluzioni. Dicevo appunto che non c'è soluzione intendendo che non c'è soluzione univoca, ma se c'è ad esempio una incognita in più, vuol dire che se fissiamo quella le incognite diminuiscono di 1, e quindi il sistema ha soluzione univoca. Si dice che ci sono "infinito alla 1" soluzioni, perchè una incognita la fisso a piacere, ed il resto ha soluzione univoca. Se invece sono 2 le incognite in eccesso, allora le soluzioni sono "infinito alla 2", cioè posso fissare 2 incognite in infiniti modi, ma poi il resto è univoco.
Lo stesso vale per r incognite aggiuntive.

Sempre a memoria e senza impegno.

- CRL -

Arieccomi ;)

Allora: dato che il polinomio che genera l'ideale ha grado 3, ogni classe dell'anello quoziente ha un rappresentante di grado al più 2. Quindi, occorre trovare a, b, c, p, e q tali che:
Occorre allora risolvere il sistema non lineare di cinque equazioni in cinque incognite:

è giusto quello che dice il libro, da una serie di funzioni si ottiene una funzione, composta dalla somma di tutte le infinite funzioni della successione fn(z)

si ma quella è la somma della serie, non la serie stessa.
la serie rimane sempre la successione delle somme parziali quindi mi sembra che alcuni matematici facciano un po di confusione a indicare la serie come una somma...
così confondono il concetto di serie con il concetto di somma di una serie

non so se mi sono spiegato:

sommando tutti gli infiniti termini di una successione ottengo una funzione f(z)

f(z)=f1+f2+........+fn+.....
tuttavia la serie associata alla successione {fn(z)}
non è quella somma ma è la seguente successione

{Sn(z)} dove Sn=f1+f2+....+fn

quind come ho già scritto
S1=f1
S2=f1+f2
Sn=f1+f2+.....+fn

f(z)= lim n--->inf Sn=f(z) ed è detta somma della serie

Postando nel thread in evidenza ;)

Oppure applicando il Teorema di Rouché e Capelli, per il quale un sistema lineare ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice dei coefficienti è uguale a quello della matrice completa.

Mi pare che tutto nasca da un'ambiguità nell'uso della parola "serie", che in certi casi viene usato per indicare i termini della sequenza, in altri quelli della successione delle somme parziali, in altri ancora il limite di quest'ultima.

avrei due domande anch'io:
1) nn riesco a capire l'oscillatore armonico con le eq differenziali.

ho mx''+kx=0 quindi mi trovo le soluzioni del polinomio caratteristico che sono
l1,2(chiamo così lambda)=+-i rad(k/m)

chiamo w=rad(k/m) (ma perchè??)

ho quindi che z(x)=c1 cos(wt) + c2 sin (wt), fin qua ok.
ma poi come trovo che questo è uguale a Acos(wt+a)???

sulla spiegazione che ho negli appunti c'è poi:

Acos(wt+a)=A(coswt-sinwtsina)
c1=Acosa
c2=-Asina

c1^2+c2^2=A^2
A=rad(c1^2+c2^2)

cosa=c1/rad(c1^2+c2^2)
sina=c2/rad(c1^2+c2^2)

qualcuno mi spiega il procedimento pls.

2)come dimostro che l'integrale generale di un'equazione differenziale(y(x)) è dato dalla somma della soluzione dell'omogenea(z(x)) più una soluzione particolare(yp(x))?

sul quaderno ho scritto una cosa del genere:
dato che sia y(x) che yp(x) sono soluzioni dell'equazione diff lineare, allora y-yp sarà soluzione dell'omogenea (ma perchè? le soluzioni dell'equazione sono anche soluzioni dell'omogenea?) e quindi y-yp=z, quindi y=z+yp.
qualcuno me la spiega?
grazie