Possiamo generalizzare quanto si vuole e parlare di vettori v in Rn; la def di limite non cambia. Per me dire che non esiste il limite in x0 vuol dire che non esistono nè limite destro nè limite sinistro, nè qualsivoglia limite da qualsiasi direzione, non che questi esistono ma non coincidono (non esiste, questo sì, un limite unico). In questo caso preferisco dire f non è convergente in x0. Il problema è la parola esistenza. Unicità ed esistenza sono due cose diverse.

Ragazzi vi ringrazio dell'aiuto

ieri ho sostenuto l'esame e alla puntuale domanda della professoressa in merito a questo mio dubbio io le ho risposto ragionando nel modo che avevo postato prima e lei fortunatamente non ha detto nulla in contrario...

adesso si è chiuso un capitolo che durava da troppo tempo xD

Ciao a tutti, ho un piccolo problema con la trasformata di Fourier che spero qualcuno mi aiuti a risolvere :)

La questione è la seguente:
io ho una funzione scomposta fino alla prima armonica cona la serie in forma complessa


la non è nota, per cui il libro su cui sto studiando afferma che per semplificare conviene prendere la fase della prima armonica nulla, quindi se non ha capito male
(giusto?)

poi aggiunge che fare questa operazione, cioè azzerare la fase della prima armonica, significa prendere



Qualcuno sa dirmi perché?

Nessuna idea?

edit

domanda: la funzione y(t) incognita è valori reali? (per lo meno, vedendo il risultato finale dato dal tuo libro direi di sì)
allora mi sorge un dubbio: come fa l'espressione : A0 + A1 e^(i*omega*t) , anche considerando A1 reale come fa nella semplificazione il tuo libro, ad essere uguale a Bsin(omega t) quando il primo ha parte immaginaria non nulla mentre il secondo è reale? Non è che magari bisogna considerare anche il termine della serie con n = -1? purtroppo come te brancolo nel buio..

il tuo dubbio è praticamente il mio, io mi sarei aspettato un coseno e non un seno.

Comunque devo fare una precisazione perché la funzione finale diventa:



Il termine n = -1 non viene considerato perché è il coniugato di quello in n = 1.

Riporto qui il passaggio del testo che mi mette in crisi:

"... prendiamo la prima armonica di come , con ; cioè scegliamo l'origine dei tempi tale che la fase della prima armonica è zero."

Senza il termine in -1 non puoi considerarlo un polinomio di Fourier.
Comunque, se è sottointeso, tu prova ad esplicitarlo poi con le formule di Eulero ottieni la forma trigonometrica y(t)=a0 + acos(kt) + bsin(kt)
La parte acos(kt) + bsin(kt) la puoi scrivere indifferntemente Bsin(kt+f) o Bcos(kt+f1) dove f e f1 differiscono ovviamente di pi/2. Magari sceglie il seno perchè gli è più comodo per le considerazioni successive.

Credo che tu abbia ragione.

Penso passi da qui:


a qui:


poi si riconduca a questa:




per poi dire che azzera la fase della prima armonica.

Prende il seno perché successivamente serve una funzione dispari.
Inoltre dice anche che se la prima armonica è un seno allora



facendo una considerazione del fatto che



ma questo passaggio mi è meno chiaro, infatti mi balla un segno:

I due A1 cioè A1 e A(-1) sono complessi coniugati
Immaginavo che la scegliesse dispari, così può porre a zero anche A0.

Hai ragione, non mi ero reso conto che i due coefficienti non li ha scritti in forma esponenziale. Quindi scrivere



è corretto

Esatto.

Ti ringrazio, sei stato molto gentile.
Che dire, se non "alla prossima", perché mi imbatterò sicuramente in un altro "mistero" matematico :)

Quello che non capisco è perchè l'autore del tuo libro abbia creato questo "mistero". Poteva dirlo subito che considerava y(t) dispari. Dato che i polinomi di Fourier (di qualsiasi ordine) di una funzione dispari sono formati da soli seni, scriveva immediatamente y(t)=Bsin(kt) come prima armonica senza ulteriori passaggi

Lo scopo principale è determinate l'esistenza di una soluzione periodica per un sistema dinamico, non lineare, tramite il metodo del "bilanciamento armonico" e la "funzione descrittiva".

Per cui la y(t) non si conosce, quindi usa il suo sviluppo in serie di Fourier per vedere se esistono dei coefficienti che possano rappresentare una soluzione del sistema. L'ipotesi di funzione dispari viene fatta successivamente per semplificare i conti. Per lo stesso motivo azzera la fase della prima armonica.

Troppe (secondo me) omissioni di conti, semplificazioni e ipotesi mi avevano disorientato e non riuscivo più a venirne a capo.

Ciao a tutti, parliamo di sistemi di indipendenza.

Il mio libro dice
Un sistema di indipendenza è una coppia <E, F> nella quale E è un insieme finito, F una famiglia di sottoinsiemi di E chiusa rispetto all'inclusione; in altre parole, F C= 2^E (qui e nel seguito denoteremo con 2^E la famiglia di tutti i sottoinsiemi di E) e inoltre

A appartiene a F ^ B C= A => B appartiene a F

E' evidente che, per ogni insieme finito E, la coppia <E, 2^E> forma un sistema di indipendenza.


Ora, ho capito che un sistema di indipendenza è una coppia composta da un insieme finito e un sottoinsieme di questo insieme però non capisco la condizione che dev'essere valida. Quella nella riga che comincia con "A appartiene". Spero in un vostro aiuto :help:

Problema calcolo autovettori
 

Ciao ho un semplice problema che spero mi possiate aiutare.

Ho una matrice così formata (dopo averla ridotta)

-2 -3 -1
0 0 0
0 0 0

che mi da come autovettori
1 0
0 1
-2 -3

Sapevo che bisognava moltiplicare la matrice per un vettore colonna 1*Xn (con n=numero righe) e le soluzioni di questo sistema davano gli autovettori, ma in questo caso come si fa?

Prima ti trovi gli autovalori....
Poi dagli autospazi generati dai vari autovalori ti trovi gli autovettori...

Già fatto, quella è la matrice risultante.
Sarebbe
N(A - xI) dove x autovalore , A matrice iniziale, I matrice identità.
Ho sotrattato xI ho semplificato e adesso mi rimane da fare N

edit

Mi accodo alla richiesta, ho più o meno lo stesso problema.

Gli autovalori della matrice data A sono 0 e -2.

Gli autovettori con autovalore 0 sono della forma

x
y
-2x-3y

con x e y qualunque.

Gli autovettori con autovalore -2 sono della forma

x
0
0

con x qualunque.

Dunque

1 0
0 1
-2 -3

sono solo due degli infiniti autovettori con autovalore 0.

Per calcolare gli autovalori si calcola al solito il determinante della matrice 3x3

(-2-x) (-3) (-1)
(0) (-x) (0)
(0) (0) (-x)

e lo si eguaglia a zero. Si otterrà -(x+2)*x^2=0

Per determinare gli autovettori si moltiplica la matrice A di partenza 3x3 per la matrice-vettore 3x1

x
y
z

e si eguaglia alla matrice-vettore 3x1

kx
ky
kz

dove con k si indica l'autovalore.