Devo dimostrare per induzione la seguente formula:
per ogni n>0$ $n^3 -4n è multiplo di 3

Quindi il passo base è:

p(1) = 1^3 - 4*1 = 1 - 4 = -3

Il passo induttivo invece dice che:
Supponendo vera $P(n)= n^3 -4n$
Allora P(n+1) = (n + 1)^3 - 4·(n + 1)

Ora per dimostrare che sia effettivamente multiplo di tre immagino che devo scrivere la formula P(n+1) in modo che si capisca a colpo d'occhio che sia effettiamente multiplo di 3. Però non riesco a trovare nessun modo per scriverlo.

no, hai ragione. hai messo il secondo membro maggiore di zero nel sistema. ora torna.

dipende. se a>0 e non ha soluzioni reali, l'equazione di secondo grado sarà sempre positiva. se a<0 invece no, devi studiare il segno.

la prima parentesi è multiplo di 3 per ipotesi induttiva, la seconda parentesi è anch'essa palesemente multiplo di 3. fine.

per non lasciare nulla al caso, mi potresti fare un esempio in cui non si può elevare al quadrato ?

ciao

Quindi in quest'altro esercizio:

Per ogni n >= 2 3n+1 < 3n^2

Il passo base è verificato infatti:
P(2) = 3*3+1 < 3*2^2
che diventa 6 < 12


Per il passo induttivo supponiamo vera P(n)=3n+1 < 3n^2

Quindi P(n+1) = 3(n+1)+1 < 3(n+1)^2

perciò mi ritrovo a 3n+4 < 3n^2+6n+3

Cioè posso dire che:

3n+4 < 3n^2+6n+3

si può scrivere anche come

(3n+1)+3 < (3n^2)+6n+3

Ed essendo

3n+1 < 3n^2

Se diciamo che esiste h1, h2, appartenenti a Z ovvero h1 = (3n+1) e h2 = (3n^2)
Ed abbiamo detto nel passo induttivo che h1< h2

Possiamo dire anche che
h1+3< h2+6n+3 sarà a sua volta sicuramente vera? o l'ho fatta troppo facile?

no, è ancora più semplice :D

infatti arrivi a scrivere sviluppando i quadrati:

esaminando solo la parte senza 6n, la disequazione è vera per ipotesi induttiva. se sommi al secondo membro un numero sicuramente positivo (n appartiene ai naturali positivi maggiori di due) la disequazione è ancora vera, perchè la stai rafforzando.

1<2 ma ancora di più 1<2+3

semplice :D

non è che non si può elevare al quadrato, devi semplicemente stare attento quando studi i segni, perchè perdi delle soluzioni senza imporre condizioni come hai fatto precedentemente ;)

quindi se mi affido a queste non sbaglio mai ?

penso di si, anche perchè altrimenti avrebbero già modificato la voce.

comunque devo ammettere di essere poco abituato a ragionare per regole e metodi. ad esempio quando ho visto la disequazione precedente mi è venuto subito in mente di dividere la singola disequazione in due, dove in una prendevo il secondo membro maggiore di zero e elevavo a potenza, la seconda elevando a potenza ma cambiando di segno la disequazione. in maniera tale da non perdere nessuna soluzione per strada.

poi naturalmente il risultato veniva esattamente come dice wikipedia, ma mi sembra più utile capire quello che si sta facendo, piuttosto che arrivare al risultato corretto ;)

sinceramente non ho trovato nulla che spieghi perchè funzioni a quel modo, intuitivamente a me non viene in mente nulla

ciao

p.s.
QUI si dice che esiste un altro metodo per risolvere le disequazioni irrazionali ma sinceramente non l'ho capito

leggendo una delle proposizioni del teorema fondamentale dell'aritmetica sono arrivato a questa:

Con a>1
a= p1^alfa1*p2^alfa2*..*pn^alfan

Poi dice sia b un divisore di a con b>0
b=p1^beta1*p2^beta2*pn^betan

con 0<=beta1<=alfa1
..
con 0<=betan<=alfan

Quindi beta1 può essere scritto in alfa1+1 modi
..
betan può essere scritto in alfan+1 modi

Non l'ho capita.

Ho a= 15
a= 3^1 *5^1

Poi ho B= 3
3 è primo e quindi è scomponibile solo per se stesso

Quindi beta1 qui è 1 e alfa 1 è anche uno quindi

0<= 1 <= 1

Quindi 1 può essere scritto in 1+1=2 modi? ovvero?

Stai sbagliando ragionamento. L'EQUAZIONE associata non ha soluzioni in R, ma la DISEQUAZIONE ha per soluzioni tutto R. E' perfettamente logico.
Se hai una disequazione del tipo:
ax^2+bx+c>=0
quando risolvi l'equazione associata
ax^2+bx+c=0
non stai trovando direttamente le soluzioni della disequazione.
TI STAI SERVENDO delle soluzioni dell'EQUAZIONE per trovare le soluzioni della DISEQUAZIONE.
Nel tuo caso, l'equazione associata non ha soluzioni(lascia perdere il campo complesso).
Ciò significa, semplicemente, che la soluzione della disequazione non è sotto forma di intervallo: o è tutto R o è insieme vuoto.
Ora, poiché a>0 e poiché la disequazione ha il simbolo >= tra i membri, la soluzione è tutto R.

Esempio semplice semplice:

x^2+2>0

L'equazione associata ha delta negativo, quindi l'equazione non ha soluzione.
Ma la disequazione, lo vedi tu stesso, ha per soluzioni tutto R, poiché il primo membro è maggiore di zero sempre, qualsiasi valore(reale) tu inserisca in x.

altri dubbi :stordita:

dato il seguente intervallo
A=(3,5] - {x appartiene R: 3 < x <= 5}
si dice che:

3 è un minorante di A ma non è il minimo di A perchè non sta in A, per dire che 3 sta in A avrei dovuto scrivere 3 <= x <= 5

5 è sia un maggiorante che il massimo di A

in grafica:
-oo ---- (3 ------- 5] ----- +oO

domanda:
quindi il minimo di a è ad esempio 2 ?
I maggioranti di A sono oltre al 5, il 6, 7 etc.. ?


grazie

ciao

ecco a cosa mi serve l'equazione associata :muro:
A trovare un eventuale intervallo e può esistere o non esistere e se non esistono soluzioni nell'equazione associata non è detto che la disequazione non sia verificata :muro:

p.s.
difatti non avevo ben chiaro a cosa mi servisse risolvere l'equazione associata

grazie

Vedi questa spiegazione come un discorso generale per capire meglio che cosa dice il libro(anche perché potrei aver sbagliato a scrivere qualcosa).

In generale, abbiamo 4 casi:

1) sqrt(f(x))>g(x)
2) sqrt(f(x))>=g(x)
3) sqrt(f(x))<g(x)
4) sqrt(f(x))<=g(x)

CASO 1:
A prescindere dal fatto che esistano o meno, le soluzioni possono far cambiare segno a g(x). Ciò comporterebbe dei problemi...
Per risolvere, distinguiamo i casi nei quali g(x) è negativo e g(x) è maggiore o ugale a zero. Separiamo cioè la disequazione in due parti, troviamo le soluzioni di entrambe, e alla fine le UNIAMO.

Se g(x)<0, il primo membro, sempre positivo, fa si che la disequazione sia sempre vera, almeno per i valori di x che rendono g(x) negativo.
Oltre a ciò, deve pure essere f(x)>=0, sennò il primo membro non ha senso.
Quindi una parte delle soluzioni di 1) è costituita dai valori di x che rispondono a queste due condizioni, e tali valori sono proprio le soluzioni del sistema:

/ g(x)<0
|
\ f(x)>=0

Se invece g(x)>=0, non sappiamo direttamente se sqrt(f(x))>g(x). Però possiamo elevare al quadrato ambo i membri, perché la relazione di ordine che intercorre tra due numeri positivi vale anche per i loro quadrati(cioè, dati A e B positivi, se A>B allora pure A^2>b^2, se sono negativi invece accade il contrario). Otterremmo quindi f(x)>g(x)^2.
Inoltre vale sempre f(x)>=0.
Quindi abbiamo tre disequazioni, che devono essere sempre verificate per ogni soluzione(sennò non si chiamerebebro soluzioni).

/ g(x)>=0
| f(x)>g(x)^2
\ f(x)>=0

Trovate le soluzioni di questi due sistemi, la soluzione totale è l'unione di essi.

CASO 2:
Questo caso è uguale al precedente tranne che nel secondo sistema, la seconda disequazione è f(x)>=g(x)^2.

CASO 3:
Forse questo è più semplice.
Poiché il primo membro è sempre positivo, il secondo NON PUO' essere negativo e nemmeno nullo(un numero positivo o nullo non è mai minore di uno negativo o nullo, il massimo che puoi ottenere è 0<0, che è FALSA).
Quindi g(x) può solo essere strettamente positivo, perciò possiamo elevare al quadrato la disequazione, e unitamente alla condizione precedente e alla ovvia f(x)>=0 otteniamo:

/ g(x)>0
| f(x)<g(x)^2
\ f(x)>=0

Perciò hai un solo sistema: risolvendo quello trovi le soluzioni della disequazione iniziale.

CASO 4:
Come sopra solo che stavolta g(x) può essere 0(infatti potrebbero esistere valori di x che annullano sia sqrt(f(x)) che g(x); avremmo 0<=0, che è VERA).
Pericò:

/ g(x)>=0
| f(x)<=g(x)^2
\ f(x)>=0


Noterai che la condizione f(x)>=0 c'è sempre. E' ovvio.
Essa infatti è una CONDIZIONE DI ESISTENZA DELLA DISEQUAZIONE, non delle soluzioni. E' una condizione più forte di quelel che riguardano le soluzioni, perché se non è rispettata non solo non hai soluzioni, ma la disequazione stessa NON HA SENSO.

Mi sa che intendevi 2, visto che -2 non sta in A.:mbe:
Se fossimo nell'insieme dei numeri naturali 2 sarebbe il minimo, ma se stiamo in R quell'intervallo non ha minimo.:eek:
In pratica, nell'insieme dei numeri che stanno in (3,5], qual'è quello più piccolo?
Non c'è perché per ogni numero K che è maggiore di 3 io te ne posso trovare uno più piccolo: quello che sta tra 3 e K.:D
Quindi è un numero che non potrai mai trovare, quindi non esiste.

Il minimo(o massimo), se esise, è il numero più piccolo(o più grande) che sta nell'intervallo.
Capirai che il minimo(o massimo) se esiste ce n'è uno solo.

Se ho sbagliato nelle definizioni qualcuno mi corregga subito.:doh:

Quell'esponente negativo, quell'addendo di gamma, sono 1 oppure la lettera L?
Nel secondo caso la vedo dura esplicitare epsilon...

In che senso un numero può essere scritto in n modi?:mbe:
Cosa intende il testo?

per piacere, usa latex:
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1179155

dopodiché ti do una mano.

infatti volevo scrivere 2 :fagiano: pardon.
Per minimo 2 intendo, scusa per l'imprecisione, un numero a piacere prima del 3 ma poteva essere un altro; il 2 l'ho usato allo scopo di sapere se avevo capito il concetto di minimo.
Da quanto ne ho capito la parentesi quadra posta a questo modo 5] fa assumere al numero 5 il significato di massimo in quanto tutti i numeri oltre il 5 piccoli o grandi a piacere sono maggioranti.
Il 3 invece è minimo in quanto per via della parentesi (3 non lo include nell'insieme A e quindi si dice che in quell'intervallo non c'è un minimo ma 3 è un minorante :stordita:

grazie 1000