Possiamo generalizzare quanto si vuole e parlare di vettori v in Rn; la def di limite non cambia. Per me dire che non esiste il limite in x0 vuol dire che non esistono nè limite destro nè limite sinistro, nè qualsivoglia limite da qualsiasi direzione, non che questi esistono ma non coincidono (non esiste, questo sì, un limite unico). In questo caso preferisco dire f non è convergente in x0. Il problema è la parola esistenza. Unicità ed esistenza sono due cose diverse.

Ragazzi vi ringrazio dell'aiuto

ieri ho sostenuto l'esame e alla puntuale domanda della professoressa in merito a questo mio dubbio io le ho risposto ragionando nel modo che avevo postato prima e lei fortunatamente non ha detto nulla in contrario...

adesso si è chiuso un capitolo che durava da troppo tempo xD

Ciao a tutti, ho un piccolo problema con la trasformata di Fourier che spero qualcuno mi aiuti a risolvere :)

La questione è la seguente:
io ho una funzione scomposta fino alla prima armonica cona la serie in forma complessa


la non è nota, per cui il libro su cui sto studiando afferma che per semplificare conviene prendere la fase della prima armonica nulla, quindi se non ha capito male
(giusto?)

poi aggiunge che fare questa operazione, cioè azzerare la fase della prima armonica, significa prendere



Qualcuno sa dirmi perché?

Nessuna idea?

edit

domanda: la funzione y(t) incognita è valori reali? (per lo meno, vedendo il risultato finale dato dal tuo libro direi di sì)
allora mi sorge un dubbio: come fa l'espressione : A0 + A1 e^(i*omega*t) , anche considerando A1 reale come fa nella semplificazione il tuo libro, ad essere uguale a Bsin(omega t) quando il primo ha parte immaginaria non nulla mentre il secondo è reale? Non è che magari bisogna considerare anche il termine della serie con n = -1? purtroppo come te brancolo nel buio..

il tuo dubbio è praticamente il mio, io mi sarei aspettato un coseno e non un seno.

Comunque devo fare una precisazione perché la funzione finale diventa:



Il termine n = -1 non viene considerato perché è il coniugato di quello in n = 1.

Riporto qui il passaggio del testo che mi mette in crisi:

"... prendiamo la prima armonica di come , con ; cioè scegliamo l'origine dei tempi tale che la fase della prima armonica è zero."

Senza il termine in -1 non puoi considerarlo un polinomio di Fourier.
Comunque, se è sottointeso, tu prova ad esplicitarlo poi con le formule di Eulero ottieni la forma trigonometrica y(t)=a0 + acos(kt) + bsin(kt)
La parte acos(kt) + bsin(kt) la puoi scrivere indifferntemente Bsin(kt+f) o Bcos(kt+f1) dove f e f1 differiscono ovviamente di pi/2. Magari sceglie il seno perchè gli è più comodo per le considerazioni successive.

Credo che tu abbia ragione.

Penso passi da qui:


a qui:


poi si riconduca a questa:




per poi dire che azzera la fase della prima armonica.

Prende il seno perché successivamente serve una funzione dispari.
Inoltre dice anche che se la prima armonica è un seno allora



facendo una considerazione del fatto che



ma questo passaggio mi è meno chiaro, infatti mi balla un segno:

I due A1 cioè A1 e A(-1) sono complessi coniugati
Immaginavo che la scegliesse dispari, così può porre a zero anche A0.

Hai ragione, non mi ero reso conto che i due coefficienti non li ha scritti in forma esponenziale. Quindi scrivere



è corretto

Esatto.

Ti ringrazio, sei stato molto gentile.
Che dire, se non "alla prossima", perché mi imbatterò sicuramente in un altro "mistero" matematico :)

Quello che non capisco è perchè l'autore del tuo libro abbia creato questo "mistero". Poteva dirlo subito che considerava y(t) dispari. Dato che i polinomi di Fourier (di qualsiasi ordine) di una funzione dispari sono formati da soli seni, scriveva immediatamente y(t)=Bsin(kt) come prima armonica senza ulteriori passaggi

Lo scopo principale è determinate l'esistenza di una soluzione periodica per un sistema dinamico, non lineare, tramite il metodo del "bilanciamento armonico" e la "funzione descrittiva".

Per cui la y(t) non si conosce, quindi usa il suo sviluppo in serie di Fourier per vedere se esistono dei coefficienti che possano rappresentare una soluzione del sistema. L'ipotesi di funzione dispari viene fatta successivamente per semplificare i conti. Per lo stesso motivo azzera la fase della prima armonica.

Troppe (secondo me) omissioni di conti, semplificazioni e ipotesi mi avevano disorientato e non riuscivo più a venirne a capo.

Ciao a tutti, parliamo di sistemi di indipendenza.

Il mio libro dice
Un sistema di indipendenza è una coppia <E, F> nella quale E è un insieme finito, F una famiglia di sottoinsiemi di E chiusa rispetto all'inclusione; in altre parole, F C= 2^E (qui e nel seguito denoteremo con 2^E la famiglia di tutti i sottoinsiemi di E) e inoltre

A appartiene a F ^ B C= A => B appartiene a F

E' evidente che, per ogni insieme finito E, la coppia <E, 2^E> forma un sistema di indipendenza.


Ora, ho capito che un sistema di indipendenza è una coppia composta da un insieme finito e un sottoinsieme di questo insieme però non capisco la condizione che dev'essere valida. Quella nella riga che comincia con "A appartiene". Spero in un vostro aiuto :help:

Problema calcolo autovettori
 

Ciao ho un semplice problema che spero mi possiate aiutare.

Ho una matrice così formata (dopo averla ridotta)

-2 -3 -1
0 0 0
0 0 0

che mi da come autovettori
1 0
0 1
-2 -3

Sapevo che bisognava moltiplicare la matrice per un vettore colonna 1*Xn (con n=numero righe) e le soluzioni di questo sistema davano gli autovettori, ma in questo caso come si fa?

Prima ti trovi gli autovalori....
Poi dagli autospazi generati dai vari autovalori ti trovi gli autovettori...

Già fatto, quella è la matrice risultante.
Sarebbe
N(A - xI) dove x autovalore , A matrice iniziale, I matrice identità.
Ho sotrattato xI ho semplificato e adesso mi rimane da fare N

edit

Mi accodo alla richiesta, ho più o meno lo stesso problema.

Gli autovalori della matrice data A sono 0 e -2.

Gli autovettori con autovalore 0 sono della forma

x
y
-2x-3y

con x e y qualunque.

Gli autovettori con autovalore -2 sono della forma

x
0
0

con x qualunque.

Dunque

1 0
0 1
-2 -3

sono solo due degli infiniti autovettori con autovalore 0.

Per calcolare gli autovalori si calcola al solito il determinante della matrice 3x3

(-2-x) (-3) (-1)
(0) (-x) (0)
(0) (0) (-x)

e lo si eguaglia a zero. Si otterrà -(x+2)*x^2=0

Per determinare gli autovettori si moltiplica la matrice A di partenza 3x3 per la matrice-vettore 3x1

x
y
z

e si eguaglia alla matrice-vettore 3x1

kx
ky
kz

dove con k si indica l'autovalore.

Serie di funzioni
 

Grazie, ora è chiaro ;)



Ho un altro problema per cui sto "impazzendo", le serie di funzioni, determinare se converge puntualmente, uniformemente .

Ho studiato la teoria ma qualcosa mi sfugge visto che sugli esercizi il libro mi sembra fare "cose a caso" per risolverli.

Vi spiego portando l'esempio di teoria

-Convergenza Puntuale:

Per verificare la convergenza puntuale bisogna prima valutare il suo insieme di convergenza discutendo i valori di x e poi valutare il limite della successione per n->inf (infinito) e non il valore a cui converge la successione

lim(n->inf) Fn(x) = F(x)

Es: la successione x^n converge se x appartiene a (-1,1) [come fa a dire questa cosa?] e converge puntualmente a 0 per ogni x compreso nell'intervallo perchè il limite della successione per n->inf è pari a 0 [boh, sarò fesso io ma facendo il limite della successione x^n per n->inf fa infinito, mica 0...]

-Convergenza uniforme

La successione converge uniformemente se

lim(n->inf) sup | Fn(x) - F(x) | = 0
con sup considerato nell'intervallo di convergenza

Es: Fn(x) = x^n e Fx= 0 quindi lim(n->inf) sup | x^n - 0 | = 1 (con sup considerato tra (-1, 1) e quindi non converge [ a me avevano spiegato che quando si fa il sup o si considera il valore massimo della funzione nell'intervallo scelto se la funzione non è continua, o puoi fare la derivata e trovare il massimo che poi non sarà altro che il sup se la funzione è continua , ma in questo caso cosa ha fatto?]


Grazie

1) convergenza puntuale: come dice il nome, è una forma di convergenza (la più semplice credo) che dipende solamente dal punto in considerazione e non, per esempio, dal comportamento in un intorno di questo punto. Per esempio, se consideri la serie geometrica (che porti come esempio) converge in (-1,1). Lo vedi per esempio applicando la condizione necessaria di convergenza: se una serie converge allora il limite per n->+oo del termine generale deve andare a zero. Quindi nel caso della serie geometrica, il termine n esimo della serie è x^n , il suo limite per n-> +00 può essere infinito se consideri x > 1 (cioè se studi la convergenza puntuale in un punto qualsiasi x maggiore di 1). In modo simile si fa per x <-1.
attenzione però al fatto che confondi la convergenza della successione con la convergenza della serie. Ok che la successione x^n converge a 0 in (-1,1), però la serie x^n non converge a zero in (-1,1). Quello che fai nella serie è il limite per n ->+oo della successione delle somme parziali di una data successione di funzioni, ossia prendi una successione di funzioni Fn , costruisci un'altra successione S definita come : Sn = Somme per i che va da 0 a n di Fn
Sn è una funzione (somme di funzioni ) costituita da una somma con un numero di addendi finito. Mandando n all'infinito si ottiene la serie, che può divergere o meno.

ps ma intendevi successioni di funzioni o serie di funzioni??

Grazie.

Ok, quindi in sostanza l'intervallo di convergenza devo trovarlo io, devo trovare quei valori per cui la funzione si azzera all'infinito, semplice in questo caso mica tanto quando considero funzioni più complesse, ma va be...

Qui intendevo successioni, ma pensavo che trovare la convergenza o meno fosse la stessa cosa:(

Come faccio allora nel caso di serie?

p.s. Per la convergenza uniforme non mi riesci a dare una mano

Grazie

Allora...nel caso di successioni di funzioni, per trovare l'intervallo di convergenza puntuale devi semplicemente fare il limite per n->+oo delle fn e vedere per quali x converge. Quindi nel caso di successioni di funzioni la funzione limite (cioè il limite per n->+oo delle fn) non si richiede che sia nullo nell'insieme di convergenza. Diverso il caso delle serie, in cui condizione necessaria affinché la serie converga in un punto è che il termine generale della serie vada a zero. Intuitivamente puoi immaginare la cosa così. Innanzitutto scegli un certo x0 in cui vuoi verificare la convergenza. Nel caso in cui consideri la convergenza di una successione di funzioni fn(x) verificare la convergenza in x0 è equivalente a considerare la convergenza della successione di numeri reali (se gli elementi della successione sono funzioni a valori in R) fn(x0): nulla vieta che il limite di una successione sia diverso da zero; nel caso di una serie significa controllare la convergenza della successione Sn(x0) = f0(x0)+f1(x0)+f2(x0) +... +fn(x0) . Quindi intuitivamente, se il termine fn(x0) non va a zero per n->+00 avrai una sommatoria in cui un numero infinito di termini sono non nulli, e che quindi diverge. Non è detto però che se fn(x0) va a zero allora la serie converga in x0, ma questa è un'altra storia...

Per la convergenza uniforme dell'esempio: |x^n| è una funzione pari; ha minimo in x = 0 e inoltre è crescente tra 0 e 1. Dunque per la crescenza e la parità il suo sup è il valore che assume sulla frontiera dell'intervallo (-1,1),cioè 1 : nota che non dipende da n . dunque il limite del sup è 1 e non converge unif.

Grazie.
Per la convergenza uniforme ho capito.

Sinceramente per il resto ho ancora qualche dubbio, devo provare a fare qualche esercizio con le nuove nozioni che mi hai dato XD

Purtroppo devo aver fatto qualcosa alle serie di brutto, si sono offese e adesso non si lasciano capire...XD

Ciao a tutti, avrei un problema con la tipologia di esercizio di integrazione complessa che ora illustrerò.
Essenzialmente non so come finire l'esercizio.
Supponiamo di avere il seguente integrale:



quello che faccio è considerare



sapendo che



dove



A questo punto ho il seguente dominio


ed applico il teorema dei residui al dominio in figura



ottenendo



adesso scrivo in maniera estesa l'integrale



pongo nel terzo integrale ottenenendo (solo per il terzo integrale)



ora scrivendo nuovamente x al posto di t ottengo



e quindi riscrivendo l'intera uguaglianza



Ora, per il lemma del cerchio grande e del cerchio piccolo, gli integrali 2 e 4 tendono a zero, facendo così rimanere



A questo punto, supponenendo che abbia svolto tutto correttamente, come si procede?
Grazie anticipatamente a chi avrà la pazienza di leggere e rispondere.

Code e probabilita'.

Un individuo ha un compito "tipo" da svolgere, ripetitivo, da svolgere piu' volte al giorno.
I singoli compiti sono tutti simili tra loro, hanno somiglianze ma anche differenze.

Sappiamo da recenti statistiche che egli terminera' un compito con la seguente distribuzione:
Il 15% delle volte lo termina entro 20 minuti
il 60% delle volte lo termina tra 20 e 40 minuti.
il 25% delle volte lo termina tra 40 e 60 minuti
Non e' mai andato sopra un'ora.

Domanda: Quale e' la distribuzione per 2 compiti? Ovvero, quanto e' l'attesa se invece che 1 deve svolgere 2 compiti consecutivi?
E fin qui mi sembra facile.
Costruisco la distribuzione moltiplicando per se stessa la distribuzione originale.
Ovvero sommo membro a membro sia i minuti che le percentuali e poi alla fine normalizzo.
(20,15) + (20,15) = (40,30)
(20,15) + (40,60) = (60,75)
(20,15) + (60,25) = (80,40)
(40,60) + (20,15) = (60,75)
...
(60,25) + (60,25) = (120,50)

poi raggruppo a pari minuti e ottengo
(40,30) => 40 minuti 5%
(60,150) => 60 minuti 25%
(80,200) => 80 minuti 33.3333%
(100,170) => 100 minuti 28.3333%
(120,50) => 120 minuti 8.3333%

Che mi sembra plausibile (o no?)

E queste due come le risolvo?
- Quale e' la distribuzione per 2 compiti e 2 persone che lavorano contemporaneamente?
(E' forse equivalente a considerare 1 persona e 1 solo compito? Ovvero la distribuzione originale?)

- Considerando che un compito e' atomico, ovvero che non si puo' spaccare in piu' parti ed assegnarlo a piu' persone, quale e' la distribuzione per 6 compiti e 4 persone che lavorano contemporaneamente?
E' forse equivalente a considerare 4 persone con 4 compiti (ovvero 1 persona con 1 compito se sopra e' giusto) + 2 persone con 2 compiti (ovvero 1 persona con 1 compito se sopra e' sempre giusto)?
Ovvero e' forse equivalente a 1 persona con 2 compiti ottenendo quindi il risultato del calcolo precedente? Mi sa di no.

Non so perche' ma sto sognando esponenti non interi per moltiplicazioni di distribuzioni.

PS: NON E' UN COMPITO.
Mi servirebbe per lavoro, e sono un ingegnere e di teoria dei sistemi discreti non ricordo una ceppa, oltre ad avere preso 24.

Ti consiglio di operare fin da subito la sostituzione:



per ottenere



Il corrispondente integrale indefinito non è di difficile soluzione se si usano le tecniche risolutive degli integrali di funzioni razionali e si tiene presente che si può scrivere

.

Ad ogni modo, da questa espressione è facile ricavare i 4 poli semplici di



e fra questi non c'è lo zero per cui applicando il teorema dei residui lungo il contorno C del semicerchio di raggio R sopra l'asse delle ascisse si ottiene



che poi è il risultato cercato (per R che tende all'infinito l'integrale lungo la curva si annulla).

Vista l'ora e considerato che sono un po' arruginito in queste cose, spero di non aver sbagliato.

Grazie per la risposta KuroNeko, non ci avevo pensato in effetti.
Ora dovrei vedere se il professore accetta questo tipo di procedimento o no, negli appunti e sul libro, gli integrali complessi, sono risolti diversamente.
Grazie ancora.

Come di dimostra questa (banalita')?

Con la regola (a+b)*(a-b) = a*a - b*b.
Infatti, in ogni caso, . Se x<<0, allora il secondo membro è molto vicino a 1.

Si può partire dallo sviluppo in serie di Taylor:



ipotizzando .

Operando la sostituzione e notando che se allora si ricava



da cui approssimando al primo ordine si ottiene per

.

Butterfly catastrophe
 

Salve :)
Volevo sapere che caratteristiche ha la curva Butterfly catastrophe di equazione:

13824 * a ^ 5 * x ^ 2 + 4096 * a ^ 4 * y ^ 3 - 86400 * a ^ 3 * x ^ 2 * y - 24576 * a ^ 2 * y ^ 4 + 144000 * a * x ^ 2 * y ^ 2 + 84375 * x ^ 4 + 36864 * y ^ 5 = 0

per un dato a

Mi pare che ha un sacco di cuspidi e cappi....
perchè si chiama 'catastrophe'?
da che differisce dalle altre quintiche?

Help me, please

Butterfly catastrophe
 

Salve :)
Volevo sapere che caratteristiche ha la curva Butterfly catastrophe di equazione:

13824 * a ^ 5 * x ^ 2 + 4096 * a ^ 4 * y ^ 3 - 86400 * a ^ 3 * x ^ 2 * y - 24576 * a ^ 2 * y ^ 4 + 144000 * a * x ^ 2 * y ^ 2 + 84375 * x ^ 4 + 36864 * y ^ 5 = 0

per un dato a

Mi pare che ha un sacco di cuspidi e cappi....
perchè si chiama 'catastrophe'?
da che differisce dalle altre quintiche?

Help me, please
01-10-2011 15:14

[edit]

Calcolare la matrice inversa è una cosa banale e il procedimento senza troppi fronzoli lo trovi qui
http://www.ripmat.it/mate/a/aj/ajdf.html

Se vuoi un po' di teoria a corredo
http://calvino.polito.it/~adiscala/d...i/LeLing10.pdf

Il teorema di LaPlace forse lo usi per trovare il determinante, ma non è niente di che neanche questo
http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Laplace

Salve, come si fa il limite di questa funzione



per x->0,

riconducendola a questo limite notevole?


per x->0?

Grazie a chi avrà voglia!

Ciao a tutti,

esiste un algoritmo/regola/procedimento per determinare la disgiunzione di 2 formule logiche?

Grazie

Ma aggiungere e togliere 1 sopra e sotto, e poi dividere per x sopra e sotto, è tanto complicato? :confused:

Detta così, è troppo vaga.
La disgiunzione semplice ovviamente si può sempre fare. Ma vuoi anche, ad esempio, la forma normale disgiuntiva?