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In questo caso, in particolare, y>=0! |
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Avevo fatto un errore nell'integrazione....ora dovrebbe essere giusto...help me (soprattutto per il problema del dominio): giovedì ho l'esame orale :help: :cry: |
Allora, se io voglio trovare il volume del solido che si forma con la rotazione sull' asse delle x di una qualsiasi funzione (in un intervallo ovviamente) utilizzo la formula : pigreco per integrale della funzione al quadrato. (vado a memoria, forse ho dimenticato qualcosa...)
Ma se devo trovare il volume che si forma dalla rotazione dell'asse y?? Cosa devo fare? Va bene se simmetrizzo la funzione per la bisettrice y=x e poi applico la solita formula? Oppure sto dicendo una cavolata? E ancora, se la rotazione avvenisse su una retta qualsiasi (Y=2 ad esempio)? Grazie :D |
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(pi)int(y^2dx) tra y1 e y2 (importante notare che non è piu x1 x2) nel caso in cui sia intorno ad una retta del tipo y=2 (banale) o una qualsiasi retta del tipo y=mx+q basta applicare un affinità isometrica (!!!) che trasformi la retta in uno dei due assi. |
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Infatti il solido di rotazione è formato da tanti cilindretti infinitesimi, aventi raggio di base f(x) e altezza dx. Quote:
Te ne accorgi così: il solido di rotazione è formato da tante corone cilindriche infinitesime, aventi raggi di base x e x+dx, e altezza f(x), quindi volume ((x+dx)^2-x^2)f(x), ossia f(x)*(2x dx + (dx)^2). Quando vai a integrare, la parte f(x) (dx)^2 è un infinitesimo di ordine troppo grande per contribuire, e l'integrale si riduce a quanto detto poc'anzi. Quote:
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equazione differenziale
ho questo problema di cauchy:
y''+2y'+4=3sin(2x) y(0)=0 y'(0)=1/4 la soluzione y(x) che cerco dovrebbe essere data da soluzione dell'omogenea + soluzione particolare. ho il polinomio dell'equazione che è k^2+2k=0, quindi k=0 e k=-2 e la soluzione dell'omgenea è c1 e^0x + c2 e^-2x = c1 + c2 e^-2x a questo punto per trovare la soluzione particolare che forma generale devo usare per poi poter trovare i coefficienti? ho provato mettendo y(x)=a cos (2x) + b sin (2x) ma nn viene, cosa devo mettere? grazie |
Grazie!
Altra domanda: voglio verificare che data una funzione continua (limitata/chiusa e non) questa abbia almeno una e poi più precisamente una sola soluzione. Io farei così: se la funzione è limitata e chiusa allora applico il teorema degli zeri e vedo se esiste almeno una soluzione. Per verificare che sia unica calcolo la derivata (prima o seconda???) e controllo se è monotona o no. Se lo è esiste un'unica soluzione. se la funzione nn è limitata allora calcolo i limiti a + e - infinito della x e se vanno in sensi opposti esiste certamente uno zero. Per verificare che sia l'unico calcolo la derivata (prima o seconda???). Il mio dubbio come potete vedere è quale derivata calcolare x verificare l'unicità dello zero. Io farei la derivata prima, ma ho letto un teorema sul libro che sostiene che bisogna derivare 2 volte! E' così? e perchè? |
allora, la tua equazione differenziale lineare è:
y''+2y'+4=3sin(2x) Ti do un'idea che dovrebbe funzionare ( :D ) Scrivila come: y''+2y'=3sin(2x) - 4 Considera le due equazioni differenziali: y''+2y'= 3sin(2x) (1) y''+2y'= -4 (2) Se la funzione g1(x) è soluzione della (1) e la funzione g2(x) è soluzione della (2) allora la funzione g1(x)+g2(x) è soluzione dell'equazione di partenza (y''+2y'+4=3sin(2x) ) (questo avviene perchè la derivata è un operatore lineare) ;) |
y''+2y'+4= 3sin(2x) (1)
y''+2y'= -4 (2) la 1 nn dovrebbe essere y''+2y'= 3sin(2x) secondo il tuo ragionamento? cmq nn riesco a capire come trovare la soluzione particolare più che altro, come devo fare? |
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Altrimenti devi trovare tutti i max - min - flessi (facendo la derivata seconda ad esempio!) e verificare che la funzione cambi segno solo una volta... |
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C'è il thread apposito
Inoltre da qualche parte ci dovrebbe essere anche una guida alle equazioni differenziali... ad esempio: http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1009809 In questo caso puoi limitarti, una volta trovato l'integrale generale dell'omogenea, a usare questo trucchetto: Il tuo termine non omogeneo è del tipo A sin(wx) Considera le radici del polinomio caratteristico: -se w non è radice del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo A sin(wx) -se w è radice semplice del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo A x sin(wx) - se w è radice doppia del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo a x^2 sin(wx) In tutti i casi ti limiti a sostituire a y la tua funzione e a trovare il giusto valore di A! |
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Sia la fnzione a secondo membro una polinomio P(x) di grado n: - Se lo non 0 è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x) con Q(x) polinomio di grado n. - Se lo 0 è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x)*x^h con Q(x) polinomio di grado n. In generale se la funzione a secondo membro è del tipo f(x)= P(x)e^(ax)sin(bx) (oppure f(x)= P(x)e^(ax)cos(bx) ) con P(x) polinomio di grado n: - Se a+ib (numero complesso) non è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n. - Se a+ib è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=x^h(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n. Insomma la solita papardella per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti :stordita: PS: in genere è un macello trovare ste soluzioni particolari perchè devi calcolare le derivate ennesime ( :eek: ), sostituirle nell'equazione differenziale, e imporre che i due membri coincidano per trovare i coefficienti che ti servono ...noioso!! |
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perfetto ora ho capito, grazie mille a tutti
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Sull'esistenza e unicità... Cazzo è pesissima quella dimostrazione! Secondo me è meglio lasciar stare... anche perché richiede conoscenze non elementari (al limite si potrebbe far vedere solo come si dimostra l'unicità, dando per scontata l'esistenza, che già non è poco...) |
pensavo di aver capito, mi son messo a farlo e nn riesco :cry:
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mi dite i passaggi da fare per trovare la soluzione particolare pls grazie |
Nel tuo caso w è uguale a tre...
se vuoi ti faccio i passaggi! |
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