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è del tipo Int f'(x) * f(x) dx Quindi è di tipo potenza e il risultato è ln^2(x)/2 + c ;) |
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Ti unisco il thread alla discussione sui problemi di matematica. ;) |
vi butto un problema che tempo fa era girato in piazzetta e mi aveva molto incuriosita
ci son 4 coccinelle agli angoli di un quadrato la coccinella all'angolo 1 si dirige verso la coccinella 2 la coccinella all'angolo 2 si dirige verso la coccinella 3 la coccinella all'angolo 3 si dirige verso la coccinella 4 la coccinella all'angolo 4 si dirige verso la coccinella 1 le coccinelle si incontreranno nel centro del quadrato... ma che distanza hanno percorso ??? (in funzione di lato quadrato e velocità coccinelle) grazie, ciao |
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_______________ |1....................2| |.......................| |.......................| |.......................| |.......................| |.......................| |4....................3| _______________ Al via la 1 si dirige verso la 2 Al via la 2 si dirige verso la 3 Al via la 3 si dirige verso la 4 Al via la 4 si dirige verso la 1 In pratica ogni coccinella seguirà un movimento a simil-spirale e le coccinelle si incontreranno in centro. Il problema sta nel capire quanta strada percorrono e che traiettoria seguono? |
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dovrebbe venire (ad occhio) 1/2ln^2(x) |
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Non capisco come faccia a venire 1/2ln^2x!! Me lo spiegheresti? |
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Supponi di avere due funzioni continue, f e g, e di dover integrare g(f(x))*f'(x). Puoi porre y=f(x): ma allora dy=f'(x) dx, e l'integrale di g(f(x))*f'(x) dx deve essere uguale all'integrale di g(y) dy. Ora, supponi che g sia la funzione identità: allora l'espressione di cui sopra è semplicemente f(x)*f'(x), e l'integrale di f(x)*f'(x) dx è semplicemente uguale all'integrale di y dy. Nel tuo caso, f(x) = log x: sostituisci, e l'integrale ti viene 1/2 x^2 + costanti: sostituisci all'indietro, e ti viene 1/2 log(x)^2 + costanti ;) |
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L'abbiamo fatto l'anno scorso in un'esercitazione di cinematica... non trovo gli appunti e non mi ricordo come si fa, magari cerco di procurarmeli o chiedo ad Alexzeta, che dovrebbe averli (in più è anche un malefico fisico :D ) |
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X tutti: nessuno ha un idea sul semplice problema della regolarità del dominio?Oggi ho fatto il compito di Analisi II e giovedì ho l'orale :help: Ah, a proposito, altro piccolo quesito: risolvere l'equazione differenziale Codice:
2 2 E' un'equazione differenziale omogenea e quindi posso ricondurla a un'equazione a variabili separabili operando la sostituzione y/x = t da cui y = xt' (e quindi y'= x + xt') Dopo un pò di passaggini (ed è qui che mi sbaglio spesso) giungo a: Codice:
1 - 4t 1 Se 1 - 4t diverso da 0 allora le soluzioni dell'equazione differenziale sono definite implicitamente dall'equazione: Codice:
_ _ Codice:
-t 3 Ci siamo? |
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le coccinelle inizialmente stanno sui 4 angoli del quadrato, ma sono poi libere di muoversi come vogliono. l'unica cosa che fanno è inseguire ognuna la rispettiva coccinella come ho indicato nel mio primo post |
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Anche io penso che le coccinelle percorrano una spirale l'eq è del tipo Exp[at](Cos(bt)+i Sin(bt)) il problema è trovare a e b in modo da soddisfare le condizioni all'inizio. Per integrare si trova il differenziale di linea, che non mi ricordo, ma bastava cansiderare la parte reale e la parte immaginaria come componenti di un vettore reale a 2 dimensioni |
Visto che vi state divertendo, mettiamo in rilievo! :D
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Supponi che, oltre alle coccinelle, ci sia un bruco che va dall'angolo 1 all'angolo 2 con la stessa velocità delle coccinelle. Che differenza c'è tra l'osservazione del moto della coccinella 1 fatta dalla coccinella 2, e l'osservazione del moto del bruco fatta dall'angolo 2? Nessuna. Infatti, in ciascuno dei due casi, ad ogni istante il vettore velocità ha modulo costante, direzione lungo la congiungente dei due punti, e verso in direzione del punto da cui si osserva. Quindi, la distanza percorsa dalla coccinella 1 --- e, per simmetria, dalle altre --- deve essere uguale a quella percorsa dal bruco, ossia al lato del quadrato. |
Domanda sulle funzioni inverse:
So che una funzione è invertibile se monotona. Quindi per verificare faccio la derivata prima e vedo se è sempre positiva o negativa. Al max limito il dominio e la faccio diventare invertibile. Quello che non so fare è trasformare una funzione nella sua inversa. Come si fa? Basta semplicemente sostituire le x alle y nella forma? E' possibile che sia così facile? Ed il grafico? E' simmetrico rispetto alla bisettrice vero? PS: i soliti dubbi pre seconda prova scientifico :p |
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Molto spesso però non si riesce a trovare un'espressione analitica per le funzioni inverse... prova, ad esempio, ad invertire xe^x! |
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Senza il requisito di continuità, la faccenda cambia: pensa ad esempio a f : [0,1] --> [0,1] tale che f(x)=x se x è razionale, f(x)=1-x altrimenti. Allora f è invertibile (ed è inversa di se stessa), ma non è monotona. E d'altronde, è discontinua in ogni punto tranne x=1/2. Quote:
Al massimo, puoi ricordare che, se f e g sono una l'inversa dell'altra, e se y=f(x), allora x=g(y). Ad esempio, se hai y=sqrt(x-1), allora hai anche y^2=x-1 e quindi y^2+1=x. Pertanto, l'inversa di f(x)=sqrt(x-1) è g(y)=y^2+1. Quote:
Te ne accorgi semplicemente pensando che, per passare da f alla sua inversa, devi scambiare i ruoli di x e y. |
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