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JoJo87 19-09-2006 15:47

Grazie mille, mi chiedo come ho fatto a sbagliare il secondo >_< a vederlo così era una stupidata :D

Ps: Mi sa che iscrivendomi a matematica ho firmato per sempre la mia presenza su questo thread, :D

pietro84 19-09-2006 16:01

devo svolgere il seguente esercizio di teoria dei sistemi che in realtà diventa un esercizio di analisi matematica:

Sia f: |R ----> |R una funzione continua

se f(-1)>=0 e f(1)<=0 allora il sistema del primo ordine x'(t)=f(x) ha almeno un punto di equilibrio in J=[-1,1].
cioè in termini più vicini all'analisi esiste almeno un punto x0 app a [-1,1] tale che f(x0)=0.

visto che non sono molto abituato a simili esercizi, qualcuno mi può dire se è corretto?


se f(-1)=0 o f(1)=0 la tesi è provata banalmente
quindi consideriamo il caso in cui f(-1)>0 e f(1)<0 e supponiamo per assurdo che la f non abbia zeri in J.
essendo f(-1)>0 ed f(1)<0 esiste almeno un punto x0 di J, tale che, in un intorno di x0, per ogni x<x0 si ha f(x)>f(x0) e per ogni x>x0 si ha f(x)<f(x0).
calcolando il limite per x---->x0 di f(x) si ha che il limite destro è diverso dal limite sinistro e ciò non è possiblile perchè la tesi prevede la continuità della f in tutto l'intervallo [-1,1]; per cui f(x) deve necessariamente annullarsi in un punto x0 di J.

ChristinaAemiliana 19-09-2006 16:03

Quote:

Originariamente inviato da retorik
Prima di tutto grazie. :) Quindi se un sistema è formato da due equazioni uguali è indeterminato? :confused: Non lo rocordavo proprio... :( :muro:


E' una conseguenza del teorema di Rouchè-Capelli. Lo trovi sicuramente con Google, con tanto di esempi. E' uno dei teoremi più importanti che si fanno nei corsi di algebra lineare. ;)

Nel "tuo" caso puoi apprezzare intuitivamente la cosa osservando che con la sola equazione che hai puoi scrivere x in funzione di y (o viceversa) ma poi ti "manca" la seconda equazione dove sostituiresti a x la sua espressione in funzione di y, ottenendo una equazione nella sola y da risolvere per trovare appunto il valore di y, trovato il quale dalla prima equazione risaliresti a x. Invece così hai un solo vincolo, che è il valore della somma di x e y, e ti resta pertanto un grado di libertà, ergo hai oo^1 soluzioni ("indeterminato" è un termine vago, agli ing non piace e suppongo nemmeno ai matematici:D).

ChristinaAemiliana 19-09-2006 16:15

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
devo svolgere il seguente esercizio di teoria dei sistemi che in realtà diventa un esercizio di analisi matematica:

Sia f: |R ----> |R una funzione continua

se f(-1)>=0 e f(1)<=0 allora il sistema del primo ordine x'(t)=f(x) ha almeno un punto di equilibrio in J=[-1,1].
cioè in termini più vicini all'analisi esiste almeno un punto x0 app a [-1,1] tale che f(x0)=0.

visto che non sono molto abituato a simili esercizi, qualcuno mi può dire se è corretto?

se f(-1)=0 o f(1)=0 la tesi è provata banalmente
quindi consideriamo il caso in cui f(-1)>0 e f(1)<0 e supponiamo per assurdo che la f non si abbia zeri in J.
essendo f(-1)>0 ed f(1)<0 esiste almeno un punto x0 di J, tale che, in un intorno di x0, per ogni x<x0 si ha f(x)>f(x0) e per ogni x>x0 si ha f(x)<f(x0).
calcolando il limite per x---->x0 di f(x) si ha che il limite destro è diverso dal limite sinistro e ciò non è possiblile perchè la tesi prevede la continuità della f in tutto l'intervallo [-1,1]; per cui f(x) deve necessariamente annularsi in un punto x0 di J.


Esiste un risultato secondo il quale se f: [a,b] ---> |R e f(a)*f(b)<0, allora esiste almeno un c per cui f(c)=0.

Immagino derivi dal teorema dei valori intermedi (o almeno, io me lo ricordo con questo nome). Il teorema al quale mi riferisco è quello che dice che se f: |R ---> |R è continua, allora assume almeno una volta tutti i valori compresi tra sup(f) e inf(f).

Mi rendo conto che sono ricordi un po' vaghi, speriamo che passi Ziosilvio a mettere i puntini sulle i...:stordita:

pietro84 19-09-2006 16:20

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Esiste un risultato secondo il quale se f: [a,b] ---> |R e f(a)*f(b)<0, allora esiste almeno un c per cui f(c)=0.

Immagino derivi dal teorema dei valori intermedi (o almeno, io me lo ricordo con questo nome). Il teorema al quale mi riferisco è quello che dice che se f: |R ---> |R è continua, allora assume almeno una volta tutti i valori compresi tra sup(f) e inf(f).

Mi rendo conto che sono ricordi un po' vaghi, speriamo che passi Ziosilvio a mettere i puntini sulle i...:stordita:

sì la prima proposizione è vera, l'esercizio che ho cercato di svolgere sotto consiste nel dimostrarla correttamente...

Verro 19-09-2006 18:00

Ragazzi, facilissimo, ma risolvetemi questa funzione!!
 
Lo so, praticamente è una cazzata, ma non riesco a "studiare" questa funzione...non c'è qualche anima pia che mi trova Dominio, Positività, limiti, derivate, flessi, crescenza, decrescenza e asintoti della seguente funzione??

Y= (3x-1)/(x+2)

Grazie!!! :muro:

Ziosilvio 19-09-2006 18:45

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
Sia f: |R ----> |R una funzione continua

se f(-1)>=0 e f(1)<=0 allora il sistema del primo ordine x'(t)=f(x) ha almeno un punto di equilibrio in J=[-1,1].
cioè in termini più vicini all'analisi esiste almeno un punto x0 app a [-1,1] tale che f(x0)=0.

OK: si tratta del Teorema di esistenza degli zeri (o Teorema di Bolzano), un risultato classico di Analisi 1, che segue dal Teorema di permanenza del segno e ha come conseguenza il Teorema dei valori intermedi.
La dimostrazione più elegante che conosco, sta nell'osservare che nel caso f(-1)>0, si può scegliere:

Quote:

visto che non sono molto abituato a simili esercizi, qualcuno mi può dire se è corretto?


se f(-1)=0 o f(1)=0 la tesi è provata banalmente
quindi consideriamo il caso in cui f(-1)>0 e f(1)<0 e supponiamo per assurdo che la f non abbia zeri in J.
essendo f(-1)>0 ed f(1)<0 esiste almeno un punto x0 di J, tale che, in un intorno di x0, per ogni x<x0 si ha f(x)>f(x0) e per ogni x>x0 si ha f(x)<f(x0).
Qui volevi dire 0 invece di f(x0), per caso?
Non vorrei sbagliare, ma questo non è garantito.
Controesempi non me ne vengono in mente, e la mia copia di Counterexamples in Analysis sta a qualche migliaio di chilometri di distanza, per cui semmai ne riparliamo tra una settimana.
Andiamo avanti...
Quote:

calcolando il limite per x---->x0 di f(x) si ha che il limite destro è diverso dal limite sinistro e ciò non è possiblile perchè la tesi prevede la continuità della f in tutto l'intervallo [-1,1]; per cui f(x) deve necessariamente annullarsi in un punto x0 di J.
Non necessariamente: tutto quello che puoi dire, è che il limite destro non supera f(x0), e il limite sinistro non scende sotto f(x0). Quindi, se la funzione è continua, entrambi sono uguali a f(x0).

pietro84 19-09-2006 19:38

Quote:

essendo f(-1)>0 ed f(1)<0 esiste almeno un punto x0 di J, tale che, in un intorno di x0, per ogni x<x0 si ha f(x)>f(x0) e per ogni x>x0 si ha f(x)<f(x0).
ok,su questo ci rifletterò un po allora, però secondo me il fatto che f(-1)>0 e f(1)<0 garantisce ciò che ho scritto sopra.


Quote:

Non necessariamente: tutto quello che puoi dire, è che il limite destro non supera f(x0), e il limite sinistro non scende sotto f(x0). Quindi, se la funzione è continua, entrambi sono uguali a f(x0).
qui mi sono incartato :doh:
devo fare ancora moooolta pratica per risolvere questi esercizi :mc: :D

pietro84 19-09-2006 19:41

il fatto è che i casi particolari che ho in mente influenzano troppo le considerazioni generali che faccio.
ho scritto l'ultima frase pensando che la f deve avere una discontinuità almeno di prima specie per non intersecare l'asse delle ascisse...perciò essendo continua,deve per forza avere zeri. però scrivo sempre qualche inesattezza alla fine :fagiano: :mc:

retorik 20-09-2006 09:04

Quote:

Originariamente inviato da retorik
Sistema di disequazione di primo grado:

√2 + x ≥ √2x – 1
2-(2+√3)x < √3 + x

Se ricordo bene, devo portare tutto a sinistra, scomporre e fare una tabella per ciascuna disequazione e infine la terza con le intersezioni.
Ma non riesco a scomporre la prima. :cry:

Grazie

Ci ho pensato, basta portare le x a sinistra e i numeri a destra. :muro:

Ziosilvio 20-09-2006 10:56

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
qui mi sono incartato

Il punto è che, se in un intorno di x0 (privato al più di x0) è verificata una certa disuguaglianza tra i valori f(x) e il valore L, ed esiste il limite di f(x) per x che tende a x0 in tale intorno, allora tale limite verifica la stessa disuguaglianza in senso lato, ma non necessariamente in senso stretto.
Per cui, se f(x)>f(x0) in un intorno sinistro di x0, allora lim {x-->0-} f(x) >= f(x0).

giannola 20-09-2006 11:07

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Io ho usato le serie di Taylor e ho ricontrollato con Maxima: viene zero.

quindi la f è differenziabile giusto ?
Ma lo stesso risultato nn lo posso ricavare vedendo che le derivate parziali esistono e sono tutte definite ?

superteodj 20-09-2006 11:22

Quote:

Originariamente inviato da ChristinaAemiliana
Rispondo alle prime due che son più veloci...;)

Gli zeri di sinz e cosz (con z complesso) sono reali e sono gli stessi delle corrispondenti funzioni di variabile reale.

Gli zeri di sinhz e coshz sono immaginari puri e sono rispettivamente k*Pi*j e (Pi/2 + k*Pi)j con k appartenente a Z.

La dimostrazione è abbastanza semplice, basta pensare alla definizione di sinz, cosz, sinhz e coshz in forma esponenziale e porre = 0.


quindi sin(pi*k)!=0 e cos (pi/2*k)!=0 ????

e sinh (k*Pi*i)=0 cosh(k*Pi/2*i)=0 ???

la j ke hai messo equivale alla i??

mandi

Ziosilvio 20-09-2006 11:23

Quote:

Originariamente inviato da giannola
Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Io ho usato le serie di Taylor e ho ricontrollato con Maxima: viene zero.

quindi la f è differenziabile giusto ?
Ma lo stesso risultato nn lo posso ricavare vedendo che le derivate parziali esistono e sono tutte definite ?

Aspetta un momento: quella risposta te l'avevo data quando mi avevi chiesto aiuto su:

La risposta è che il limite è 0; e il motivo per cui questo accade, è che, come avevo mostrato, il numeratore N(x) è una funzione analitica che ha una radice doppia nell'origine, quindi N(x)/x ha un prolungamento analitico su IR che vale zero nell'origine.

Invece, mi pare che tu questa domanda me la stia facendo sulla funzione:

che effettivamente è definita in un dominio che ha per frontiera un'ellisse (di semiassi sqrt(2) e 1).
Ora, tale funzione è sicuramente differenziabile all'interno di tale dominio; ha invece poco senso chiedersi se sia differenziabile in un punto della frontiera (per esempio, (0,1)), perché non esiste un intorno di un simile punto in cui la funzione sia definita, quindi il limite richiesto nella definizione di differenziabilità non può esistere.

giannola 20-09-2006 11:30

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Aspetta un momento: quella risposta te l'avevo data quando mi avevi chiesto aiuto su:

La risposta è che il limite è 0; e il motivo per cui questo accade, è che, come avevo mostrato, il numeratore N(x) è una funzione analitica che ha una radice doppia nell'origine, quindi N(x)/x ha un prolungamento analitico su IR che vale zero nell'origine.

Invece, mi pare che tu questa domanda me la stia facendo sulla funzione:

che effettivamente è definita in un dominio che ha per frontiera un'ellisse (di semiassi sqrt(2) e 1).
Ora, tale funzione è sicuramente differenziabile all'interno di tale dominio; ha invece poco senso chiedersi se sia differenziabile in un punto della frontiera (per esempio, (0,1)), perché non esiste un intorno di un simile punto in cui la funzione sia definita, quindi il limite richiesto nella definizione di differenziabilità non può esistere.


lascia quella io mi riferivo a (xy - senxy) / (x^2 + y^2)

facendo il calcolo per la differenziabilità.
mi viene una moltiplicazione di limiti uno->0 e l'altro->+infinito.
una forma di indecisione.
Ti avevo pure detto che avevo provato ad usare de l'hospital sulla restrizione h=k e mi dava +/-infinito.
Tu mi hai detto che hai provato a usare i polinomi di taylor e ti veniva zero.
Allora io ho controllato le derivate parziali, che danno zero nell'origine ed esistono in tutto R^2.

Ziosilvio 20-09-2006 11:36

Quote:

Originariamente inviato da Verro
non riesco a "studiare" questa funzione

Male.
Molto male.
A quest'ora, e con un esame sicuramente in vista, dovresti essere in grado di farlo.
Quote:

non c'è qualche anima pia che mi trova Dominio, Positività, limiti, derivate, flessi, crescenza, decrescenza e asintoti della seguente funzione??

Y= (3x-1)/(x+2)
Purtroppo sono dichiaratamente malvagio, per cui ti darò solo qualche imbeccata.

Dominio: per quali valori di a e b ha senso definire a/b?
Positività: meno per meno fa più, meno per più fa meno.
Limiti: per x-->+-oo esiste una regola generale, che puoi trovare sul libro di testo; quali altri punti possono dare problemi?
Derivate: anche qui trovi la regola generale sul testo.
Flessi: sono i punti in cui la funzione è definita e il verso di convessità cambia; la funzione è abbastanza "buona" da permetterti di associare il verso di convessità al segno della derivata seconda.
Crescenza e decrescenza: la funzione è abbastanza "buona" da permetterti di associarle al segno della derivata prima.
Asintoti: si tratta di studiare qualche limiti. Qui ne bastano quattro.

pietro84 20-09-2006 11:41

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Il punto è che, se in un intorno di x0 (privato al più di x0) è verificata una certa disuguaglianza tra i valori f(x) e il valore L, ed esiste il limite di f(x) per x che tende a x0 in tale intorno, allora tale limite verifica la stessa disuguaglianza in senso lato, ma non necessariamente in senso stretto.
Per cui, se f(x)>f(x0) in un intorno sinistro di x0, allora lim {x-->0-} f(x) >= f(x0).

ok.
allora forse ho capito come si potrebbe dimostrare.
come hai detto prima posso scrivere 0 invece che f(x0).
quindi esiste un punto x0 tale che f(x)<0 se x>x0 e f(x)>0 se x<x0 in un intorno di x0.
perciò calcolando il limite per x--->x0 si ha che il limite sinistro l- è >=0 e il limite destro l+ è <=0 quindi essendo la funzione continua deve necessariamente essere l+=l-=0
così va un po meglio?! :fagiano:

8310 20-09-2006 12:58

Quote:

Originariamente inviato da giannola
cut

[OT] Gaeta? [/OT]

ChristinaAemiliana 20-09-2006 13:07

Quote:

Originariamente inviato da superteodj
quindi sin(pi*k)!=0 e cos (pi/2*k)!=0 ????

e sinh (k*Pi*i)=0 cosh(k*Pi/2*i)=0 ???

la j ke hai messo equivale alla i??

mandi


Sì, scusa, la j è l'unità immaginaria, a ingegneria la indichiamo così perché i è la corrente. :D

Le relazioni che hai scritto sono giuste per i seni ma non per i coseni: la distanza tra uno zero e il successivo è sempre Pi anche in quei casi. Devi scrivere:

cos(Pi/2 + kPi) = 0

cosh[i(Pi/2 + kPi)] = 0

altrimenti, come hai scritto tu, ottieni che sono zeri del cos anche Pi, 2Pi, -Pi, -2Pi eccetera, e del cosh anche i*Pi, i*2Pi eccetera, cosa che non è vera.

Ecco come vanno le cose:


giannola 20-09-2006 13:09

Quote:

Originariamente inviato da 8310
[OT] Gaeta? [/OT]

:confused:

giannola 20-09-2006 13:10

Quote:

Originariamente inviato da giannola
lascia quella io mi riferivo a (xy - senxy) / (x^2 + y^2)

facendo il calcolo per la differenziabilità.
mi viene una moltiplicazione di limiti uno->0 e l'altro->+infinito.
una forma di indecisione.
Ti avevo pure detto che avevo provato ad usare de l'hospital sulla restrizione h=k e mi dava +/-infinito.
Tu mi hai detto che hai provato a usare i polinomi di taylor e ti veniva zero.
Allora io ho controllato le derivate parziali, che danno zero nell'origine ed esistono in tutto R^2.

mi basterebbe che qualcuno mi dicesse se sono sulla strada giusta :muro:

giannola 20-09-2006 13:23

Quote:

Originariamente inviato da Verro
Lo so, praticamente è una cazzata, ma non riesco a "studiare" questa funzione...non c'è qualche anima pia che mi trova Dominio, Positività, limiti, derivate, flessi, crescenza, decrescenza e asintoti della seguente funzione??

Y= (3x-1)/(x+2)

Grazie!!! :muro:

intanto guarda l'insieme di definizione.
per x=-2 la y nn è definita, se fai limite destro e limite sinistro vedrai che y tende a infinito, una volta col segno più una col segno meno.
Vuol dire che c'è un asintoto verticale.
y=0 per x=1/3 ed abbiamo trovato uno zero.
Per x-> a infinito y->3 quindi c'è anche un asintoto orizzontale.
Per x=0 y=-1/2
Facendo y' noterai che il numeratore è un numero quindi è costante ovvero la derivata è sempre crescente (nn è mai zero) ragion per cui nn ti puoi aspettare nei punti interni della funzione dei minimi, dei massimi o dei flessi.
Nei punti in cui è definita la f è strettamente crescente.

Ziosilvio 20-09-2006 13:35

Quote:

Originariamente inviato da giannola
io mi riferivo a (xy - senxy) / (x^2 + y^2)

Vista adesso per la prima volta.
Quote:

facendo il calcolo per la differenziabilità.
mi viene una moltiplicazione di limiti uno->0 e l'altro->+infinito.
una forma di indecisione.
Ti avevo pure detto che avevo provato ad usare de l'hospital sulla restrizione h=k e mi dava +/-infinito.
Tu mi hai detto che hai provato a usare i polinomi di taylor e ti veniva zero.
Allora io ho controllato le derivate parziali, che danno zero nell'origine ed esistono in tutto R^2.
Allora: se esistono e sono continue le derivate parziali nel punto, allora la funzione è differenziabile nel punto.
Solo che io sono pigro, e di starmi a studiare le derivate prime non mi andava; così, ho fatto in un altro modo.

E' fuori di dubbio che, se il limite della funzione nell'origine esiste, è 0, perché la funzione si annulla sugli assi.
Passa in coordinate polari: fai presto a vedere che, per valori di theta diversi da k Pi/2, il limite per rho che tende a 0 esiste e vale 0. Fin qui, OK.
Poi: a te, per la differenziabilità nell'origine, bastano le derivate parziali prime nell'origine, le quali però non possono che essere nulle.
Allora tu hai che:

se e solo se

o, passando in coordinate polari,

e quest'ultimo limite non deve dipendere da theta.

Ora, dallo sviluppo in serie di Taylor del seno si ha che t-sin(t) va a zero come t^3: ma allora, t^2-sin(t^2) va a zero come t^6. Quindi, l'ultimo limite è 0 quale che sia theta.

giannola 20-09-2006 15:34

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Vista adesso per la prima volta.

Allora: se esistono e sono continue le derivate parziali nel punto, allora la funzione è differenziabile nel punto.
Solo che io sono pigro, e di starmi a studiare le derivate prime non mi andava; così, ho fatto in un altro modo.

E' fuori di dubbio che, se il limite della funzione nell'origine esiste, è 0, perché la funzione si annulla sugli assi.
Passa in coordinate polari: fai presto a vedere che, per valori di theta diversi da k Pi/2, il limite per rho che tende a 0 esiste e vale 0. Fin qui, OK.
Poi: a te, per la differenziabilità nell'origine, bastano le derivate parziali prime nell'origine, le quali però non possono che essere nulle.
Allora tu hai che:

se e solo se

o, passando in coordinate polari,

e quest'ultimo limite non deve dipendere da theta.

Ora, dallo sviluppo in serie di Taylor del seno si ha che t-sin(t) va a zero come t^3: ma allora, t^2-sin(t^2) va a zero come t^6. Quindi, l'ultimo limite è 0 quale che sia theta.

Ok, allora dunque sei giunto alla mia stessa conclusione.
Io lungi dall'usare lo sviluppo in serie di Taylor (che mi sta pure sui maroni) mi sono calcolato le derivate nel punto (0,0), che ovviamente sono uguali a zero.
Poi ho fatto le generiche derivate parziali e ho visto che essendo il denominatore nullo solo per (0,0) esse esistono e sono continue per tutti i valori <> (0,0).
Quindi la f è differenziabile.
Grazie ciao.

Ziosilvio 20-09-2006 17:05

Quote:

Originariamente inviato da giannola
mi sono calcolato le derivate nel punto (0,0), che ovviamente sono uguali a zero.
Poi ho fatto le generiche derivate parziali e ho visto che essendo il denominatore nullo solo per (0,0) esse esistono e sono continue per tutti i valori <> (0,0).

E però questo non ti basta: devi anche avere che il limite in (0,0) delle derivate parziali deve essere zero, altrimenti non puoi concludere che f è differenziabile in (0,0).
L'hai fatto 'sto controllo?

giannola 20-09-2006 17:48

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
E però questo non ti basta: devi anche avere che il limite in (0,0) delle derivate parziali deve essere zero, altrimenti non puoi concludere che f è differenziabile in (0,0).
L'hai fatto 'sto controllo?

ma se le derivate parziali calcolate in (0,0) danno zero a che mi serve calcolare il limite in (0,0) delle derivate parziali per (x,y) <> (0,0) ?

Ziosilvio 20-09-2006 18:45

Quote:

Originariamente inviato da giannola
ma se le derivate parziali calcolate in (0,0) danno zero a che mi serve calcolare il limite in (0,0) delle derivate parziali per (x,y) <> (0,0) ?

Perché una cosa è il valore della derivata parziale in un punto, e un'altra è il limite dei valori della derivata parziale.
Se queste due cose coincidono, e se questo succede per tutte le derivate parziali, allora puoi concludere che la funzione è differenziabile. Altrimenti, no.

pietro84 20-09-2006 18:58

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
ok.
allora forse ho capito come si potrebbe dimostrare.
come hai detto prima posso scrivere 0 invece che f(x0).
quindi esiste un punto x0 tale che f(x)<0 se x>x0 e f(x)>0 se x<x0 in un intorno di x0.
perciò calcolando il limite per x--->x0 si ha che il limite sinistro l- è >=0 e il limite destro l+ è <=0 quindi essendo la funzione continua deve necessariamente essere l+=l-=0
così va un po meglio?! :fagiano:

piccolo uppino.... ZioSilviooooo ( :ave: ) :help: :D

giannola 20-09-2006 18:59

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Perché una cosa è il valore della derivata parziale in un punto, e un'altra è il limite dei valori della derivata parziale.
Se queste due cose coincidono, e se questo succede per tutte le derivate parziali, allora puoi concludere che la funzione è differenziabile. Altrimenti, no.

ho capito ma se il limite della funzione in (0,0) è già prolungato per continuità = 0 e dunque le derivate sono nulle in tale punto che bisogno ho di provare a farne il limite, visto che andrebbe in 0/0 ?

Ziosilvio 20-09-2006 19:29

Quote:

Originariamente inviato da giannola
se il limite della funzione in (0,0) è già prolungato per continuità = 0 e dunque le derivate sono nulle in tale punto

Questo è un non sequitur: il valore di una funzione in un punto non ha a priori niente a che vedere col valore di una sua derivata nello stesso punto.
Quote:

che bisogno ho di provare a farne il limite, visto che andrebbe in 0/0 ?
Finora, tutto quello che puoi dire è che le derivate parziali convergono a zero lungo gli assi.
A te, invece, serve la convergenza da qualunque direzione, che è una condizione molto più severa.

Ziosilvio 20-09-2006 19:32

Quote:

Originariamente inviato da pietro84
ZioSilviooooo

Come ti ho già detto: non sono sicuro che l'avere f(a)>0 ed f(b)<0, implichi l'esistenza di un punto x0 in (a,b) tale che f(x)>0 in un suo intorno sinistro e f(x)<0 in un suo intorno destro; e ho il libro dei controesempi a svariate migliaia di chilometri di distanza.
Io faccio quello che posso, ma tu porta pazienza!

giannola 20-09-2006 20:06

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Questo è un non sequitur: il valore di una funzione in un punto non ha a priori niente a che vedere col valore di una sua derivata nello stesso punto.

scusa ma se una funzione è zero, la derivata di zero è zero.

Quote:

Finora, tutto quello che puoi dire è che le derivate parziali convergono a zero lungo gli assi.
A te, invece, serve la convergenza da qualunque direzione, che è una condizione molto più severa.
ho fatto anche la derivata direzionale e mi da zero, per t che tende a zero.
Adesso mi basta ?


P.S. veramente io avrei scritto per chiedere un aiuto ed invece mi sono ritrovato a far tutto da solo. :cry:

pietro84 20-09-2006 20:51

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Come ti ho già detto: non sono sicuro che l'avere f(a)>0 ed f(b)<0, implichi l'esistenza di un punto x0 in (a,b) tale che f(x)>0 in un suo intorno sinistro e f(x)<0 in un suo intorno destro; e ho il libro dei controesempi a svariate migliaia di chilometri di distanza.
Io faccio quello che posso, ma tu porta pazienza!

ah ok, pensavo che non avessi visto il post.....

Ziosilvio 20-09-2006 22:31

Quote:

Originariamente inviato da giannola
se una funzione è zero, la derivata di zero è zero.

Qui però hai una funzione che è zero lungo gli assi e in qualche altro punto, ma non su tutto il piano.
Quote:

ho fatto anche la derivata direzionale e mi da zero, per t che tende a zero.
Adesso mi basta ?
Purtroppo no: esistono funzioni che hanno la derivata direzionale in tutte le direzioni, ma che non sono nemmeno continue!

giannola 20-09-2006 22:36

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Qui però hai una funzione che è zero lungo gli assi e in qualche altro punto, ma non su tutto il piano.

Purtroppo no: esistono funzioni che hanno la derivata direzionale in tutte le direzioni, ma che non sono nemmeno continue!

bene così invece di chiarire ho solo più confusione.
Invece di risolvere il problema si è solo complicato.
:muro:

Come caspita si dovrebbe risolvere allora ? :confused:

Ziosilvio 21-09-2006 10:23

Quote:

Originariamente inviato da giannola
Invece di risolvere il problema si è solo complicato.

Il problema ha una "complicatezza" di suo, contro la quale non si può fare niente.
Quote:

Come caspita si dovrebbe risolvere allora ?
Il metodo che ho usato io è uno di quelli possibili.
Dopotutto, a te interessa solo che esistano due costanti, a e b, per le quali

Tu, poi sai che, se a e b esistono, allora f ammette derivate parziali nell'origine e:

C'è poi il teorema che dice che, se f ammette derivate parziali in un intorno dell'origine e se tali derivate parziali sono continue nell'origine, allora il limite di prima esiste e vale effettivamente zero.
Non c'è, invece, nessun risultato che ti dica che, se la funzione ammette derivate parziali in tutte le direzioni, allora è differenziabile; e l'errore nel tuo procedimento sta proprio qui. E dopotutto, se ci pensi, (x,y) non è obbligato a tendere a (0,0) rimanendo su una retta, che è la cosa che supponi quando fai il limite delle derivate parziali: potrebbe seguire una sinusoide, una parabola, o quant'altro.

giannola 21-09-2006 10:45

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Il problema ha una "complicatezza" di suo, contro la quale non si può fare niente.

Il metodo che ho usato io è uno di quelli possibili.

quale metodo ? il polinomio di taylor ?
ma quello nn dava zero come risultato indipendentemente da theta ?


Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Dopotutto, a te interessa solo che esistano due costanti, a e b, per le quali

Tu, poi sai che, se a e b esistono, allora f ammette derivate parziali nell'origine e:

C'è poi il teorema che dice che, se f ammette derivate parziali in un intorno dell'origine e se tali derivate parziali sono continue nell'origine, allora il limite di prima esiste e vale effettivamente zero.
Non c'è, invece, nessun risultato che ti dica che, se la funzione ammette derivate parziali in tutte le direzioni, allora è differenziabile; e l'errore nel tuo procedimento sta proprio qui. E dopotutto, se ci pensi, (x,y) non è obbligato a tendere a (0,0) rimanendo su una retta, che è la cosa che supponi quando fai il limite delle derivate parziali: potrebbe seguire una sinusoide, una parabola, o quant'altro.

e io alla prof che dico che il problema è insolubile?
che nn si può dire se è differenziabile o meno perchè il problema ha una "complicatezza" di suo ?

8310 21-09-2006 14:05

Quote:

Originariamente inviato da giannola
:confused:

Mi riferivo al nome del docente...non fai imgegneria a Pa?

giannola 21-09-2006 14:20

Quote:

Originariamente inviato da 8310
Mi riferivo al nome del docente...non fai imgegneria a Pa?

si ma io frequento l'albanese.

Ziosilvio 21-09-2006 15:10

Quote:

Originariamente inviato da giannola
quale metodo ? il polinomio di taylor ?

E tutto quello che viene prima, ossia:
- verifichi che f è infinitesima nell'origine;
- osservi che f ha derivati parziali nell'origine, e che tali derivate sono nulle;
- deduci che la differenziabilità di f nell'origine si riconduce all'essere nullo un certo limite;
- passi in coordinate polari;
- usi lo sviluppo di Taylor di una opportuna funzione di rho per dimostrare che il limite per rho-->0 è zero.
Quote:

ma quello nn dava zero come risultato indipendentemente da theta ?
Certo: ed è proprio quello che serve a te.


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