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utente222223434556 02-01-2007 11:23

Altro integrale che non riesco a risolvere:

arctg(1/x) dx

Idee?

JL_Picard 02-01-2007 11:57

Quote:

Originariamente inviato da fabiomania87
Altro integrale che non riesco a risolvere:

arctg(1/x) dx

Idee?

giusto "al volo"...

io proverei per sostituzione ponendo (1/x)=z

proseguendo con integrazione per parti in modo da togliere dall'argomento dell'integrale l'arctg(z)...

Ziosilvio 02-01-2007 12:27

Quote:

Originariamente inviato da fabiomania87
integrale che non riesco a risolvere:

arctg(1/x) dx

Idee?

Potresti sfruttare il fatto che, per x>0, vale



Ti rendi conto che è vero osservando che, se x è reale e positivo, allora x è la tangente di un angolo acuto, e 1/x è la tangente dell'angolo complementare.

utente222223434556 02-01-2007 12:49

Ho provato come suggeriva JL_Picard, ma ci si complica la vita.

Poi ho provato semplicemente per parti ( 1 * arctg(1/x) ) e mi da questo risultato :

x * arcgt(1/x) + 1/2 * ln(x^2 + 1) + k

che derivandolo mi riporta alla funzione di partenza!

utente222223434556 02-01-2007 12:53

Già che ci sono posto anche questo integrale:

( rad(x) - x ) / ( x - 1 ) dx

dove rad(x) equivale a radice quadrata di x.

pazuzu970 02-01-2007 13:30

Quote:

Originariamente inviato da fabiomania87
Già che ci sono posto anche questo integrale:

( rad(x) - x ) / ( x - 1 ) dx

dove rad(x) equivale a radice quadrata di x.

Per sostituzione ponendo rad(x)=t... e diventa banale.

;)

pazuzu970 02-01-2007 13:58

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio
Dire che |z - 2 log 2| < 46 Pi, è lo stesso che dire che il punto z si trova a distanza inferiore a 46 Pi dal punto 2 log 2.
Il luogo di tali z, è esattamente il cerchio (aperto) di centro 2 log 2 e raggio 46 Pi.

E faglielo fare qualche conto!

;)

D4rkAng3l 03-01-2007 18:01

Domanda su formule di Taylor e stima dell'errore
 
Vi prego aiutatemi il 16 ho il secondo esonero di analisi 1 sono disperatissimo

Da quello che ho capito il sistema di Taylor consiste in un sistema di linearizzazione approssimando il valore di una funzione con un polinomio per mezzo della cosidetta firmula di Taylor:

f(x) = SOMMEdi ((f^(k)(X0))/k!)*(X-X0)^k + En(x)

dove f^(k)(X0) indica la derivata k-esima calcolata nel punto X0 ed En(X) è l'errore commesso nel polinomio formato da n sviluppi con:

En(x) = (f^(n+1)(c)/(n+1)!)*(X-X0)^(n+1) dove f^(n+1)(c) è la derivata n+1esima calolata in un punto c tale che X0<=c<=X

Se X0=0 allora ho gli sviluppi notevoli di McLaurin.

Il problema che non ho molto chiaro sono i tipi di esercizzi che dicono: "stimare un certo valore con una determinata precisione (es: 2 cifre decimali esatte)"

Su un libro ho trovato questo Teorema:

"Se la derivata di ordine n+1 soddisfa le disuguaglianze:
m <= f^(n+1)(t) <= M per ogni t contenente X0, allora per ogni x in questo intervallo abbiamo le seguenti stime dell'errore commesso:

m*[(X-X0)^(n+1)]/(n+1)! <= En(X) <= M*[(X-X0)^(n+1)]/(n+1)! se X>X0
e
m*[(X0-X)^(n+1)]/(n+1)! <= [(-1)^(n+1)]*En(X) <= M*[(X0-X)^(n+1)]/(n+1)! se X<X0

Nota postuma (nel senso che sò morto): forse il secondo esempio è un cincillino più com prensibile

Es 1:
Per esempio se volessi calcolare il valore di: e^(1/2) con sicuramente almeno 2 cifre decimali esatte potrei usare quanto sopra detto nel seguente modo:

pongo:

f(x) = e^x
X0 = 0 (quindi uso gli sviluppi notevoli di McLaurin)
X = 1/2

f^(1)(X) = e^x
f^(n+1)(X) = e^x

quindi posso dire che:

e^(1/2) = Tn(1/2) + [(e^c)/(n+1)!]* (X-X0)^(n+1)

dove Tn(1/2) è lo sviluppo di McLaurin fino all'ordine n e [(e^c)/(n+1)!]* (X-X0)^(n+1) rappresenta l'errore che vado a commettere

Usando il teorema di prima posso dire che:

|f^(n+1)(t)| <= M per ogni X0 <= t <= X e lo verifico facilmente perchè sicuramente t<= 1/2 quindi e^t<= e^(1\2)<3^(1\2)

insomma potrei anche dire che nell'intervallo la derivata n+1esima ammette massimo e minimo nell'intervallo [0,1\2] come diceva il teorema in quanto

e^0 = 1
e^(1\2) < 3^(1\2)

per cui ottengo la seguente disuguaglianza dal teorema precedente:

[(1/2)^(n+1)]/(n+1)! <= En(1/2) <= [(3^(1/2))*(1/2)^n+1)]/(n+1)!

per cui se voglio stimare il valore con la precisione di almeno due cifre decimali sicuramente esatte prendo il valore dell'errore maggiore e risolvo la seguente disuguaglianza:

[(3^(1/2))*(1/2)^n+1)]/(n+1)! <=(1\2)*10^(-3)

per un fatto ceh ora non ricordo bene che indica che la 3 cifra decimale deve essere minodre di 0,5 per evitare problemi di approssimazione sulla seconda cifra o qualcosa del genere

Ora non sò se ho fatto bene i conti perchè li ho fatti velocemente e potrei aver impapocchiato un po' ma come discorso generale fila?


Es 2:
Altro esempio forse un po' più stabile:

Stimare sen(1\2) con 2 cifre decimali esatte

Allora prendo sempre X0= 0 X= 1\2 (quindi uso gli sviluppi notevoli di McLaurin)

Se per esempio considero n=3 allora devo vedere se la funzione ammette derivata 4...ok l'ammette perchè la derivata 4 di sen(x) è proprio sen(x) (e poi sen() è sempre derivabile in [a,b])

Sò anche che la funzione sen(x) (la mia derivata quarta) può oscillare tra i valori -1 e +1 quindi è limitata ed ammette massimo e minimo per cui per il precedente teorema imposto:

-1*[(1\2)^4]\4! <= E4(1\2) <= +1*[(1\2)^4]\4!

Adesso prendo l'errore più grosso e per vedere se le prime due cifre decimali sono sicuramente corrette verifico se:

+1*[(1\2)^4]\4! <= (1\2)*10^(-3)

qualora non fosse vero rifaccio il procedimento impostando il tutto con uno sviluppo maggiore del polinomio di Taylor e rifacendo la maggiorazione e la minorazione fatta sopra

Oddio è un po' lungo e su un forum sensa caratteri matematici forse è un bel casino...per favore ditemi se quello che stò facendo ha un senso...il 16 ho il secondo esonero e sono disperatissimo

Grazie
Andrea

D4rkAng3l 03-01-2007 22:23

qualche parere illuminato? :eek: :cry:

Ziosilvio 04-01-2007 20:42

Quote:

Originariamente inviato da D4rkAng3l
Da quello che ho capito il sistema di Taylor consiste in un sistema di linearizzazione approssimando il valore di una funzione con un polinomio per mezzo della cosidetta firmula di Taylor:

[CUT]

Linearizzazione solo se il polinomio di Taylor è al primo ordine.
Comunque la formula è corretta: se f è derivabile n+1 volte in (x0-d,x0+d), allora per ogni x in tale intervallo si può scrivere



dove c(x) è un punto interno all'intervallo di estremi x0 e x.
Quote:

Il problema che non ho molto chiaro sono i tipi di esercizzi che dicono: "stimare un certo valore con una determinata precisione (es: 2 cifre decimali esatte)"

Su un libro ho trovato questo Teorema:

"Se la derivata di ordine n+1 soddisfa le disuguaglianze:
m <= f^(n+1)(t) <= M per ogni t contenente X0, allora per ogni x in questo intervallo abbiamo le seguenti stime dell'errore commesso:

m*[(X-X0)^(n+1)]/(n+1)! <= En(X) <= M*[(X-X0)^(n+1)]/(n+1)! se X>X0
e
m*[(X0-X)^(n+1)]/(n+1)! <= [(-1)^(n+1)]*En(X) <= M*[(X0-X)^(n+1)]/(n+1)! se X<X0
Basta osservare che il secondo addendo nella formula in LaTeX poco più su, è esattamente lo scarto tra i valori in x di f, e del suo polinomio di Taylor di ordine n e centro x0.
In più, devi fare attenzione al segno di x-x0, ossia se x>x0 o x<x0.
Quote:

Es 1:
Per esempio se volessi calcolare il valore di: e^(1/2) con sicuramente almeno 2 cifre decimali esatte potrei usare quanto sopra detto nel seguente modo:

pongo:

f(x) = e^x
X0 = 0 (quindi uso gli sviluppi notevoli di McLaurin)
X = 1/2

f^(1)(X) = e^x
f^(n+1)(X) = e^x

quindi posso dire che:

e^(1/2) = Tn(1/2) + [(e^c)/(n+1)!]* (X-X0)^(n+1)

[CUT]
OK, l'impostazione è buona. Qui x0=0 e x=1/2, quindi x-x0=1/2. Inoltre, e<4, quindi sqrt(e)<2; dato che l'esponenziale è crescente, e^x<2 per ogni x tra 0 e 1/2.
Per avere due cifre decimali esatte, devi essere sicuro che lo scarto tra f(x) e Tn(x) si ripercuota solo sulle cifre decimali dalla terza in poi, e puoi esserne sicuro se se tale scarto è inferiore a 1/10^3, perché la cosa peggiore che può succedere, è che alla terza cifra ci sia un riporto. Quindi devi avere



ossia



Per n=4 hai 2^n=16 e (n+1)!=120, che vanno bene perché 16*120>10*100=1000.
Per n=3 hai 2^n=8 e (n+1)!=24, che non vanno bene perché 8*24=192<1000.
Quote:

Es 2:
Altro esempio forse un po' più stabile:

Stimare sen(1\2) con 2 cifre decimali esatte

[CUT]
Non hai problemi di derivabilità, quindi puoi applicare la formula di Taylor all'ordine che vuoi.
Dato che seno e coseno variano tra -1 e +1, in ogni caso il tuo En varia in modulo tra 0 e 1/(2^(n+1)(n+1)!). Quindi devi avere



Per n=4 hai 2^(n+1)=32 e (n+1)!=120, che vanno bene.
Per n=3 hai 2^(n+1)=16 e (n+1)!=24, che non vanno bene.
Quote:

su un forum sensa caratteri matematici forse è un bel casino
I caratteri matematici si possono usare se si conosce il LaTeX.

P.S.: perché non usi il thread ufficiale?

D4rkAng3l 05-01-2007 20:42

opsss m'ero scordato del 3d ufficiale...il LaTex...mmm primo a poi me lo dovrò studiare...rimando sempre a linguaggi e traduttori dove ti fanno studiare il compilatore del LaTex e quindi tra una cosa e l'altra sei costretto ad imparartelo.

Grazie come al solito ZioSilvio...cmq come impostazione è giusta? c'ho capito qualcosa secondo te?

Grazie
Andrea

Lucrezio 05-01-2007 21:38

Quote:

Originariamente inviato da D4rkAng3l
opsss m'ero scordato del 3d ufficiale

Unito ;)
Invito comunque ad utilizzare il LaTeX... in prima pagina di questa discussione c'è il link alla guida ad un uso "forumistico" dello stesso ;)

Ziosilvio 05-01-2007 22:23

Quote:

Originariamente inviato da D4rkAng3l
il LaTex...mmm primo a poi me lo dovrò studiare...rimando sempre a linguaggi e traduttori dove ti fanno studiare il compilatore del LaTex

Apperò! Bene, sono contento che all'università facciano studiare cose utili.
Quote:

come impostazione è giusta? c'ho capito qualcosa secondo te?
Direi che devi fare un po' d'esercizio, ma le basi ci sono e i concetti sono sufficientemente chiari.

utente222223434556 06-01-2007 13:26

Svolgendo diversi integrali mi sono accorto che mi trovo in difficoltà a risolvere situazioni del tipo: x * arctg() oppure x * log().

Insomma, non riesco a trovare il modo di risolvere integrali che moltiplicano la x con una funzione inversa.

Se utilizzo il metodo per parti, la situazione si complica (mi ritrovo un integrale con x^(n+1) e per sostituzione pure non mi sembra per niente semplice (di solito pongo t= log() o t=arcgt() )

Che consigli mi date per poter risolvere questa tipologia di integrali?

Grazie :)

Thunderx 06-01-2007 13:31

Quote:

Originariamente inviato da fabiomania87
Svolgendo diversi integrali mi sono accorto che mi trovo in difficoltà a risolvere situazioni del tipo: x * arctg() oppure x * log().

Insomma, non riesco a trovare il modo di risolvere integrali che moltiplicano la x con una funzione inversa.

Se utilizzo il metodo per parti, la situazione si complica (mi ritrovo un integrale con x^(n+1) e per sostituzione pure non mi sembra per niente semplice (di solito pongo t= log() o t=arcgt() )

Che consigli mi date per poter risolvere questa tipologia di integrali?

Grazie :)

di solito questi si risolvono per parti ;) considerando la x la tua f '(x) ;)

pazuzu970 06-01-2007 15:55

Quote:

Originariamente inviato da Thunderx
di solito questi si risolvono per parti ;) considerando la x la tua f '(x) ;)


Quoto.

In effetti è strano, fabio, che tu incontri difficoltà a risolvere per parti integrali di quel tipo.
Controlla, piuttosto, se fai degli errori di cui non ti accorgi...

;)

Python 06-01-2007 19:35

ciao avrei un dubbietto che avevo scritto in un thread in scuola e lavoro, ma forse è meglio qui

si tratta di un limite notevole

Quote:

lim x->0 di senx/x

che per risolverlo si passa a fare questo
(ed è qui che non capisco però come ci si arriva alla prima disequazione a 3 membri)

senx < x < tgx

e poi ovviamente con i vari passaggi (questi poi sono semplicissimi)

1 < x/senx < tgx/senx
1 < x/senx < 1/cosx

si invertono e scambiano

cosx < senx/x < 1

e utilizzando il teorema del confronto o dei carabinieri si spiega il limite per x->0 di senx/x = 1
ciao e grazie in anticipo


P.S. WIKIPEDIA non è di aiuto


Ziosilvio 06-01-2007 20:06

Traccia la circonferenza goniometrica; sia O il suo centro e sia A il punto (1,0).
Considera quello che succede quando x è un angolo del primo quadrante: sia B il punto (cos x, sin x) e sia C il punto di intersezione tra la retta per O e B, e la retta verticale per A.
Considera le aree
1) del triangolo OAB,
2) del settore circolare OAB, e
3) del triangolo OAC.
Dato che le tre figure sono inclusa l'una nell'altra, tali aree sono in ordine crescente. Ma l'area del triangolo OAB è (sin x)/2, mentre l'area di OAC è (tan x)/2; dal canto suo, l'area del settore circolare OAB sta all'area del cerchio goniometrico (che notoriamente è Pi) come l'angolo al centro x sta all'angolo giro (che notoriamente è 2*Pi), quindi è x/2.
Metti in ordine, moltiplica per 2, e hai la relazione cercata: sin x < x < tan x per 0 < x < Pi/2.

Python 06-01-2007 21:28

uhm ok
sto iniziando a vedere la luce :D

grazie mille :)

utente222223434556 06-01-2007 23:30

Quote:

Originariamente inviato da pazuzu970
Quoto.

In effetti è strano, fabio, che tu incontri difficoltà a risolvere per parti integrali di quel tipo.
Controlla, piuttosto, se fai degli errori di cui non ti accorgi...

;)

Avete ragione, errore mio :p


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