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Calcolare il volume del solido A definito da

A= (x,y,z) appartenenti a R3: x^2+y^2+z^2>=6, 1<=z<=x^2+y^2

Ok devo calcolare l'integrale triplo in A di 1*dxdydz

Ma come lo imposto? la regione A è una sfera

Se c'è >=, allora è l'esterno di una sfera... sicuro di volere quello?

Comunque, visto che quello sembra proprio essere un errore di battitura, io direi che puoi semplificarti i conti se osservi che il solido è simmetrico rispetto a x e y: ossia, se a e b sono -1 o +1, e se (x,y,z) è nel solido, allora anche (ax,by,z) è nel solido.
Per cui, il volume del solido sarà 4 volte il volume della porzione contenuta nel primo ottante (x,y,z tutti >0).

jerrygdm

23-06-2008 14:54

si infatti era un errore di battitura...

ok che è simmetrico rispetto i lati ma non ho capito il tuo ragionamento...

Non riesco a capire come è fatto l'insieme comunque...

Ziosilvio

23-06-2008 16:43

Quote:

Originariamente inviato da jerrygdm (Messaggio 23020879)

ok che è simmetrico rispetto i lati ma non ho capito il tuo ragionamento

Perché ho sbagliato io: non c'è simmetria rispetto all'asse Z. Ora ho corretto.

jerrygdm

23-06-2008 17:11

riusciresti per favore a impostarmi l'integrale? non capisco proprio l'area di integrazione quale sia...ho problemi a visualizzare la figura

Ziosilvio

23-06-2008 18:27

Quote:

Originariamente inviato da jerrygdm (Messaggio 23022747)

riusciresti per favore a impostarmi l'integrale? non capisco proprio l'area di integrazione quale sia...ho problemi a visualizzare la figura

Beh, non è che io proprio sprizzi gioia da tutti i pori all'idea... comunque...

Un'idea che mi è venuta in mente può essere questa.
La forma della figura è una fonte di incertezza più che di aiuto, quindi non te ne stare a preoccupare.
La figura ha simmetria rotazionale, perché puoi farla ruotare come ti pare intorno all'asse Z, e lei non cambia.
Questo ti fa venire un'idea; Se sezioni la figura mediante il piano XZ, vedi da te che puoi considerare il tuo solido, come se fosse un solido di rotazione intorno all'asse Z, di una superficie delimitata dalle rette del piano XZ di equazioni x=0 ed x=sqrt(5). dalla retta z=1, e dal grafico della funzione z=x^2.
Il valore sqrt(5) viene fuori dal fatto che la seconda retta deve passare per un punto della forma (x,0,1) con x>0 giacente sulla superficie della sfera di equazione x^2+y^2+z^2=6.
Adopera la formula del volume dei solidi di rotazione...

jerrygdm

23-06-2008 18:41

perchè questo?
"Il valore sqrt(5) viene fuori dal fatto che la seconda retta deve passare per un punto della forma (x,0,1) con x>0 giacente sulla superficie della sfera di equazione x^2+y^2+z^2=6."

non riesco a cqpire quel sqrt(5)...

EDIT: forse ho capito hai messo gli estremi di x da 0 e sqr(5) considerando che deve appoggiarsi sulla sfera cioè hai fatto x^2+0^2+1^2=6 -> x^2=5 -> x=sqr(5)
però come calcolo la coordinata xg (il baricentro) da usare nel teorema di Guldino?

Ziosilvio

23-06-2008 19:51

Quote:

Originariamente inviato da jerrygdm (Messaggio 23023921)

hai messo gli estremi di x da 0 e sqr(5) considerando che deve appoggiarsi sulla sfera cioè hai fatto x^2+0^2+1^2=6 -> x^2=5 -> x=sqr(5)

Sì.

Quote:

Originariamente inviato da jerrygdm (Messaggio 23023921)

come calcolo la coordinata xg (il baricentro) da usare nel teorema di Guldino?

Non serve il teorema di Guldino: basta la formula del volume del solido di rotazione di una superficie del piano XZ intorno all'asse Z, che è

jerrygdm

23-06-2008 20:13

sicuro che quell'integrale è il volume?...

se geometricamente è un solido di rotazione xchè non dovrei usare guldino? quella "figura" ruota come dici tu sull'asse z..

dario fgx

24-06-2008 07:35

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx (Messaggio 22977847)

Allora il primo teorema di J. (enunciato dal mio prof) dice che:
Se f è ovunque olomorfa in un settore circolare di raggio R individuato dall'angolo (@' - @), a meno del punto z° (centro della cerchio a cui appartiene il settore circolare), e se lim z-->inf di z*f(z)=l , allora:

lim R-->inf dell'Integrale di f(z) sull'arco di circonferenza (quello che racchiude il settore circolare) è il(@'-@)

Ho trovato sul mio libro di analisi "III" un enunciato analogo che in sostanza dice questo:

Prende una semicirconferenza di raggio R e la dispone sul semipiano supeiore (in pratica di diametro -inf +inf quando farà tendere R-->inf)

1) richiede che qui F sia ovunque olomorfa a meno di un numero finito di poli(quindi qui è diverso da ciò che dice il mio prof che ammette 1 solo polo nel centro del cerchio a cui appartiene il settore circolare)
2) richiede che zf(z)-->0 uniformemente

,allora:

Se f è ovunque olomorfa in un settore circolare di raggio R individuato dall'angolo (@' - @), a meno del punto z° (centro della cerchio a cui appartiene il settore circolare), e se lim z-->inf di z*f(z)=l , allora:

lim R-->inf dell'Integrale di f(z) sull'arco di circonferenza (quello che racchiude il settore circolare) è 0

Al contrario del teorema che il prof. ci ha enunciato, in alcuni esercizi, applica il 1° teorema di J a settori circolare in cui vi sono evidentissime polarità all'interno!

Inoltre il problema di questo tipo di integrali è che per calcolarli spesso devi utilizzare integrali più generali, mostrare che sussistono delle maggiorazioni tra gli integrali o mostrare che le funzioni sono limitate:un casotto!

up

plz
tnx
hlp

Calcifer

24-06-2008 10:22

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx (Messaggio 23028288)

CUT

Non capisco alcune cose dal tuo post...

La tesi del teorema del tuo prof è? Che lim R-->inf dell'Integrale di f(z) sull'arco di circonferenza vale... quanto? E la tesi dell'altro teorema?
Poi, con il secondo teorema cosa hai provato a fare? Hai controllato se "appattava" facendo il caso particolare del primo per quell'angolo e per quel valore del limite?

Cioè, alla fine la domanda quale è? :mbe: A parte quella su chi conosce il teorema di Jordan (mi dispiace, anche io no... :stordita: )

dario fgx

24-06-2008 11:33

Ciao, Grazie per la risposta...

Quote:

Originariamente inviato da Calcifer (Messaggio 23030299)

Non capisco alcune cose dal tuo post...

La tesi del teorema del tuo prof è? Che lim R-->inf dell'Integrale di f(z) sull'arco di circonferenza vale... quanto?

lim R-->inf dell'Integrale di f(z) sull'arco di circonferenza (quello che racchiude il settore circolare) è il(@'-@)

dove "i" è l'immaginario; "l" è il limite di z*f(z) per z-->inf

Il teorema enunciato dal mio prof "appatta" con l'enunciato del libro nel caso in cui "l" = 0

Negli altri casi invece non lo posso sapere perchè l'enunciato del libro si limita al caso in cui "l"=0 e non tratta tutti gli altri possibili valori di "l".

Ma anche in nel caso di "l"=0 non ci siamo del tutto perchè il mio prof. richiede che non ci siano poli nel settore, mentre l'enunciato del libro ne ammette in numero finito.

Ziosilvio

24-06-2008 12:08

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx (Messaggio 22977847)

il primo teorema di J. (enunciato dal mio prof) dice che:
Se f è ovunque olomorfa in un settore circolare di raggio R individuato dall'angolo (@' - @), a meno del punto z° (centro della cerchio a cui appartiene il settore circolare), e se lim z-->inf di z*f(z)=l , allora:

lim R-->inf dell'Integrale di f(z) sull'arco di circonferenza (quello che racchiude il settore circolare) è il(@'-@)

Scrivo L (maiuscolo) al posto di l(minuscolo) per maggiore chiarezza.
Se definisci L come sopra, allora L è un caso un po' più generale di residuo di f in z0. Dico un po' più generale, perché il calcolo dei residui richiede che f sia definita in un intorno del punto e ivi olomorfa tranne che nel punto stesso.
Ma allora, il teorema di Jordan nella forma anzidetta sembra generalizzare un caso particolare del teorema dei residui, nel senso che non si richiede più di prendere un'intera circonferenza ma solo un suo arco.

Solo che c'è qualcosa che non mi torna.
Tu puoi valutare il limite di z*f(z) per z-->oo, nel senso di: per |z|-->+oo, solo se f è definita in tutto il piano complesso privato di un disco aperto.
Se poi il limite suddetto esiste finito, allora f è limitata in modulo in tale regione: per un teorema di Liouville, o è costante, oppure ha delle singolarità non eliminabili.

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx (Messaggio 22977847)

Ho trovato sul mio libro di analisi "III" un enunciato analogo che in sostanza dice questo:

Prende una semicirconferenza di raggio R e la dispone sul semipiano supeiore (in pratica di diametro -inf +inf quando farà tendere R-->inf)

1) richiede che qui F sia ovunque olomorfa a meno di un numero finito di poli(quindi qui è diverso da ciò che dice il mio prof che ammette 1 solo polo nel centro del cerchio a cui appartiene il settore circolare)
2) richiede che zf(z)-->0 uniformemente

,allora:

Se f è ovunque olomorfa in un settore circolare di raggio R individuato dall'angolo (@' - @), a meno del punto z° (centro della cerchio a cui appartiene il settore circolare), e se lim z-->inf di z*f(z)=l , allora:

lim R-->inf dell'Integrale di f(z) sull'arco di circonferenza (quello che racchiude il settore circolare) è 0

Questo enunciato sembra un po' più ragionevole: le ipotesi sono più restrittive, e in generale le implicazioni sul comportamento di f mi sembrano tenute in migliore considerazione.

Purtroppo ora come ora non posso dire di più: i teoremi di Jordan in analisi complessa sono molteplici e abbastanza profondi, per cui avrei bisogno di un buon manuale per addentrarmi meglio nella faccenda, e attualmente non ne dispongo.

Calcifer

24-06-2008 13:28

Quote:

Originariamente inviato da dario fgx (Messaggio 23031461)

Ma anche in nel caso di "l"=0 non ci siamo del tutto perchè il mio prof. richiede che non ci siano poli nel settore, mentre l'enunciato del libro ne ammette in numero finito.

Il secondo enunciato però pone delle restrizioni anche sull'angolo da prendere in considerazione (parla di semicirconferenza).
I due insiemi di ipotesi sono abbastanza diversi... sia più stringenti che meno stringenti a seconda di quale si guarda.

Ziosilvio

24-06-2008 14:28

Ho trovato su Wikipedia e sul sito dell'Università di Perugia due versioni sostanzialmente concordi del "lemma di Jordan".

Le ipotesi sono:

sia un cammino semicircolare, contenuto nel semipiano Im(z)>0, e col diametro parallelo all'asse reale;
f sia una funzione analitica nel semipiano superiore compreso l'asse reale al di fuori di un cerchio di raggio opportuno;
importante: uniformemente rispetto ad arg(z).

La tesi è che

essendo

il residuo di f in z.

*MATRIX*

24-06-2008 17:27

scusate raga ma

k *(f(n) *g(n)) = k*f(n) +k*g(n) è vero?

con k è una costante

Ziosilvio

24-06-2008 17:49

Quote:

Originariamente inviato da *MATRIX* (Messaggio 23036984)

scusate raga ma

k *(f(n) *g(n)) = k*f(n) +k*g(n) è vero?

con k è una costante

Se a primo membro tra f e g c'è +, è vero pure se k non è costante.
Se c'è *, è falso in generale. Controesempio: k=1, f(n)=0 per ogni n, g(n)=1 per ogni n.

*MATRIX*

24-06-2008 17:56

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 23037170)

Se a primo membro tra f e g c'è +, è vero pure se k non è costante.
Se c'è *, è falso in generale. Controesempio: k=1, f(n)=0 per ogni n, g(n)=1 per ogni n.

non ho capito

qundi è vero

k *(f(n) *g(n)) = ( k*f(n) )* (k*g(n))

Ziosilvio

24-06-2008 18:13

Quote:

Originariamente inviato da *MATRIX* (Messaggio 23037256)

non ho capito

qundi è vero

k *(f(n) *g(n)) = ( k*f(n) )* (k*g(n))

Non hai capìto.
La formula che hai appena scritto è falsa in generale. Controesempio: k=2, f(n)=g(n)=1 per ogni n.

dario fgx

24-06-2008 19:11

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 23034362)

Ho trovato su Wikipedia e sul sito dell'Università di Perugia due versioni sostanzialmente concordi del "lemma di Jordan".

Le ipotesi sono:

sia un cammino semicircolare, contenuto nel semipiano Im(z)>0, e col diametro parallelo all'asse reale;
f sia una funzione analitica nel semipiano superiore compreso l'asse reale al di fuori di un cerchio di raggio opportuno;
importante: uniformemente rispetto ad arg(z).

La tesi è che

essendo

il residuo di f in z.

Quello che hai citato, se consideriamo solo wiki, è la versione con condizioni indebolite del lemma di Jordan, riportata anche sul mio libro.

e mi ci ritrovo.

Invece quello che dice sul sito di perugia non mi ci trovo, perchè l'integrale su Tp per p-->inf è = 0 solo quando si integra sul tratto di circonferenza, mentre invece l'integrale sull'asse reale da -inf a +inf è = alla somma dei residui.

E' importante per risolvere molti integrali che si annulli l'integrale sul tratto curvilineo!

Cmq oggi vedendo per bene tutti gli esercizi (che ho scoperto essere molto sfiziosi) ho incominciato a masticare sti teoremi...

Allora vi ringrazio tutti, e rimando alla prossima richiesta

Grazie!!!

83darking83

27-06-2008 16:08

Spettro di ampiezza e di fase di sinc...

ho la seguente trasformata di Fourier:

X(f)= Tsinc(fT) - Tsinc(fT)e^(-j2πfT/2)

qual è lo spettro di ampiezza e di fase?

Tutti gli orari sono GMT +1. Ora sono le: 08:27.

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