Hardware Upgrade Forum

Hardware Upgrade Forum (https://www.hwupgrade.it/forum/index.php)
-   Scienza e tecnica (https://www.hwupgrade.it/forum/forumdisplay.php?f=91)
-   -   [Official Thread]Richieste d'aiuto in MATEMATICA: postate qui! (https://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1221191)


blue_blue 07-12-2007 21:02

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 20003740)
Ti avevo già suggerito "Esercizi e problemi di analisi matematica" di Demidovic?
In alternativa, prova qualcosa della collana Schaum.

Ok, grazie, questi me li segno :) ..intanto per il weekend (sono a casa e se li ordino nella libreria del mio paese ci mettono un mese ad arrivare :D ) sapete se si trova qualcosina su internet?

-Slash 08-12-2007 23:11

Mi servirebbe una dritta in geometria...

Ho un esercizio del genere: calcolare il piano che contiene la retta r(passante per A(1,0,1) B(0,-1,1)) ed ortogonale al piano alfa: x+y-z=1

Lo svolgo in questo modo: calcolo la retta r che risulta essere:

x-y=1
z=1

calcolo il fascio di piani che contengono r:

a(x-y-1)+b(z-1)=0
ax-ay-a+bz-b=0

ora impongo la condizione che sia ortogonale al piano alfa, ossia considerato che i coefficienti delle incognite di alfa sono i numeri direttori di un vettore ortogonale ad alfa, calcolo dei numeri direttori ortogonali a questi, visto che i due piani devono essere ortogonali

quindi:

(1,1,-1)*(l,m,n)=0
l+m-n=0

e quindi ammette infinite soluzioni la cosa, per esempio (1,-1,0)

ora le sostituisco nel fascio di piani, ma dovrebbe esistere un solo piano, invece ne vengono infiniti a seconda dei numeri direttori :mbe:
(ma in effetti non sono infiniti i piani? :confused: )
help :muro:

ndakota 09-12-2007 09:07

ciao a tutti, sto facendo lo studio di funzione, mi potete spiegare l'intersezione con gli assi? so che per l'intersezione con x si pone y=0 e viceversa ma non capisco se quello che ricavo è il punto che interseca o cosa.. magari se mi fate due esempi anche uno che non c'è intersezione che non ho capito cosa dovrebbe uscire.. grazie :)

JL_Picard 09-12-2007 09:50

Quote:

Originariamente inviato da ndakota (Messaggio 20022670)
ciao a tutti, sto facendo lo studio di funzione, mi potete spiegare l'intersezione con gli assi? so che per l'intersezione con x si pone y=0 e viceversa ma non capisco se quello che ricavo è il punto che interseca o cosa.. magari se mi fate due esempi anche uno che non c'è intersezione che non ho capito cosa dovrebbe uscire.. grazie :)

Esempio 1:

y=x^2+x-6 (parabola)

intersezione con asse y: poni x=0 e ricavi y=-6

quindi il punto P di intersezione ha coodinate P(0;-6)

intersezione con asse x: poni y=0 e devi risolvere x^2+x-6=0

è facile verificare che tale equazione è risolta per x=-3 e x=2

per cui le due intersezioni hanno coordinate:

R(-3;0) e S(2;0)

secondo esempio:

y=x^2+1 (altra parabola)

intersezione con asse y: poni x=0 e ricavi y=1

quindi il punto P di intersezione ha coodinate P(0;1)

intersezione con asse x: poni y=0 e devi risolvere x^2+1=0

è evidente che tale equazione è impossibile (in campo reale)

ne deriva che la parabola non interseca l'asse x.

ndakota 09-12-2007 09:59

Quote:

Originariamente inviato da JL_Picard (Messaggio 20023124)
Esempio 1:

y=x^2+x-6 (parabola)

intersezione con asse y: poni x=0 e ricavi y=-6

quindi il punto P di intersezione ha coodinate P(0;-6)

intersezione con asse x: poni y=0 e devi risolvere x^2+x-6=0

è facile verificare che tale equazione è risolta per x=-3 e x=2

per cui le due intersezioni hanno coordinate:

R(-3;0) e S(2;0)

secondo esempio:

y=x^2+1 (altra parabola)

intersezione con asse y: poni x=0 e ricavi y=1

quindi il punto P di intersezione ha coodinate P(0;1)

intersezione con asse x: poni y=0 e devi risolvere x^2+1=0

è evidente che tale equazione è impossibile (in campo reale)

ne deriva che la parabola non interseca l'asse x.

grazie sei stato chiarissimo.. ora ho capito :)

The_ouroboros 09-12-2007 10:55

Nell'introdurre il concetto di integrale(le + belle lezioni di analisi fin'ora...e si prospetta sempre + interessante) il professore ha usato gli spazi elementari di misura(retta con intervalli, cilindro e sfera).
Volevo sapere se si poteva trovare qualcos' altro su questo argomento e magari qualche altro esempio.


grazie mille

-Slash 09-12-2007 14:16

ragazzi mi consigliate una calcolatrice per ingegneria?

Non deve essere grafica perchè sono proibite... Avevo pensato a questa
http://h41111.www4.hp.com/calculator...cientists.html

che ne dite? li vale 80 euro o ne prendo un'altra?
in cosa mi puo essere utile in futuro una calcolatrice come quella?

per il problema di geometria un aiutino sarebbe gradito, ma io credo siano infiniti i piani, non solo uno :mbe:

MaxArt 09-12-2007 16:37

Quote:

Originariamente inviato da -Slash (Messaggio 20021166)
ora le sostituisco nel fascio di piani, ma dovrebbe esistere un solo piano, invece ne vengono infiniti a seconda dei numeri direttori :mbe:
(ma in effetti non sono infiniti i piani? :confused: )
help :muro:

Calma, ti stai perdendo in un bicchier d'acqua... Hai fatto quasi tutto giusto.
Dunque, il vettore ortogonale al piano alfa è (1,1,-1), giustamente. Ora, tra tutti i piani del fascio che hai scritto, devi considerare quello ortogonale ad alfa, cioè quello il cui vettore ortogonale è ortogonale a (1,1,-1).
Dall'equazione del fascio, il vettore ortogonale generico ha coefficienti (a,-a,b), dunque devi porre
(1,1,-1).(a,-a,b) = 0,
cioè b = 0 ed a lo scegli come ti pare, ad esempio 1. Dunque proprio il piano x - y = 1 è ortogonale al piano alfa.

pazuzu970 09-12-2007 21:13

Quote:

Originariamente inviato da The_ouroboros (Messaggio 20024124)
Nell'introdurre il concetto di integrale(le + belle lezioni di analisi fin'ora...e si prospetta sempre + interessante) il professore ha usato gli spazi elementari di misura(retta con intervalli, cilindro e sfera).
Volevo sapere se si poteva trovare qualcos' altro su questo argomento e magari qualche altro esempio.


grazie mille

Lascia decantare i nuovi concetti... Per ora accontentati...

Vedrai altre meraviglie quando farete gli integrali impropri...


;)

P.S.: sono appena tornato da breve viaggio. Da domani dò una mano anch'io da queste parti :Prrr:

3vi 10-12-2007 17:09

domanda a brucia pelo :D

quand'è che un termine si dice infinitesimo?

se la domanda è troppo generale, posterò l'intero esercizio :asd:

Ziosilvio 10-12-2007 17:17

Quote:

Originariamente inviato da 3vi (Messaggio 20046300)
quand'è che un termine si dice infinitesimo?

Un infinitesimo in un punto x0 della retta reale estesa, o dello spazio d-dimensionale, o quel che è, è una funzione definita in un intorno di x0 (gli intorni di +oo sono gli intervalli illimitati a destra, ecc.) e tale che f(x)-->0 per x-->x0.
Quote:

se la domanda è troppo generale, posterò l'intero esercizio
Posta in ogni caso, che male non fa.

3vi 10-12-2007 17:33

Questo è l'esercizio incriminato :D

mi manca da capire la parte compresa nel rettangolo rosso :)

Ziosilvio 10-12-2007 17:58

Quote:

Originariamente inviato da 3vi (Messaggio 20046684)
Questo è l'esercizio incriminato

La parte in rosso vuol dire che il termine generico della serie non converge a zero per n che tende a +oo. Questo perché, se sqrt[n](a{n}) converge a un numero maggiore di 1, allora a{n}>(1+d)^n per qualche d>0 e per ogni n sufficientemente grande.
Dato che tale requisito è necessario affinché una serie converga, per i valori di x indicati la serie non converge.

Nota: il pezzo "49-2*24<0" è ovviamente sbagliato, ma la condizione su x è quela giusta: semplicemente, il fattore 2 dovrebbe essere un 4.

T3d 10-12-2007 17:59

Quote:

Originariamente inviato da 3vi (Messaggio 20046684)
Questo è l'esercizio incriminato :D

mi manca da capire la parte compresa nel rettangolo rosso :)

praticamente dice che quel termine non va a zero per n che tende ad infinito. che è quello che richiede il criterio della radice affinché la serie converga.

ciao.

3vi 10-12-2007 18:03

Oooooooooooooooooook, capito. Grazie :D

Ziosilvio 10-12-2007 19:37

Quote:

Originariamente inviato da T3d (Messaggio 20047117)
quel termine non va a zero per x che tende ad infinito

Casomai, che per quegli x non va a zero per n che tende all'infinito.

T3d 10-12-2007 19:44

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 20048735)
Casomai, che per quegli x non va a zero per n che tende all'infinito.

si. una svista mia, il concetto era chiaro però ;)

-Slash 10-12-2007 20:23

Quote:

Originariamente inviato da MaxArt (Messaggio 20029795)
Calma, ti stai perdendo in un bicchier d'acqua... Hai fatto quasi tutto giusto.
Dunque, il vettore ortogonale al piano alfa è (1,1,-1), giustamente. Ora, tra tutti i piani del fascio che hai scritto, devi considerare quello ortogonale ad alfa, cioè quello il cui vettore ortogonale è ortogonale a (1,1,-1).
Dall'equazione del fascio, il vettore ortogonale generico ha coefficienti (a,-a,b), dunque devi porre
(1,1,-1).(a,-a,b) = 0,
cioè b = 0 ed a lo scegli come ti pare, ad esempio 1. Dunque proprio il piano x - y = 1 è ortogonale al piano alfa.

ho capito, grazie, certe volte mi perdo veramente in un bicchiere d'acqua :)

comunque ragazzi penso di essermi messo in un bel guaio, mi sono prenotato al preappello di fisica, fondamenti di informatica, geometria ed algebra(ing informatica) di cui i primi due lo stesso giorno, ora vediamo che combino :asd:

Ziosilvio 10-12-2007 22:12

Quote:

Originariamente inviato da Antonio23 (Messaggio 20050778)
incontro spesso anche diag([matrice], ..., [matrice])...e questa sinceramente non riesco a capire cosa vuol dire

È una matrice "diagonale a blocchi": sulla diagonale principale della matrice "grande" allinei le diagonali principali delle matrici "piccole", in sequenza; e all'esterno metti 0.

Esempio un pelo non banale:
Codice:

diag([[1,0],[4,2]],[[2,3,-1],[-5,0,2],[1,1,-4]])
=[[1,0,0,0,0],[4,2,0,0,0],[0,0,2,3,-1],[0,0,-5,0,2],[0,0,1,1,-4]]


The_ouroboros 11-12-2007 19:39

edited

Vash88 12-12-2007 01:05

Domani mattina devo dare Analisi 1 :cry: e ho qualche problema con lo studio delle funzioni integrali :p a questo punto vado a letto! Auguratemi buona fortuna!

danny2005 12-12-2007 07:58

Ragazzi scusate...una trattazione esaustiva sui fasori, fasori vettori e loro uso per determinare valori medi delle grandezze dove la trovo?

-Slash 12-12-2007 08:20

Ragazzi, esiste un algoritmo o comunque qualcosa che possa usare per la scrittura di un programma per la divisione tra polinomi?
Quote:

Originariamente inviato da Vash88 (Messaggio 20070624)
Domani mattina devo dare Analisi 1 :cry: e ho qualche problema con lo studio delle funzioni integrali :p a questo punto vado a letto! Auguratemi buona fortuna!

buona fortuna, ma chi te lo fa fare di dare al preappello(presumo) l'esame piu difficile? :D

limpid-sky 12-12-2007 08:55

Quote:

Originariamente inviato da -Slash (Messaggio 20071523)
Ragazzi, esiste un algoritmo o comunque qualcosa che possa usare per la scrittura di un programma per la divisione tra polinomi?

buona fortuna, ma chi te lo fa fare di dare al preappello(presumo) l'esame piu difficile? :D

alle volte i preappelli sono più "facili" e i prof più comprensivi.

-Slash 12-12-2007 09:00

Quote:

Originariamente inviato da limpid-sky (Messaggio 20071997)
alle volte i preappelli sono più "facili" e i prof più comprensivi.

Non è la prima volta che me lo dicono, infatti do 3 esami su 4 al preappello :D

Ziosilvio 12-12-2007 09:10

Quote:

Originariamente inviato da -Slash (Messaggio 20071523)
esiste un algoritmo o comunque qualcosa che possa usare per la scrittura di un programma per la divisione tra polinomi?

Qualsiasi software di calcolo simbolico dovrebbe essere in grado di farlo.
Maxima, per esempio, ha le funzioni quotient e remainder per il quoziente e il resto della divisione tra polinomi.

blue_blue 12-12-2007 12:34

Ciao!
Scusate la domanda forse stupida..
il dominio di questa funzione



è 1<=x<=e^2 ??
Ci sono stata su mezz'ora ma non sono convinta..:fagiano:

Grazie

Ziosilvio 12-12-2007 12:45

Quote:

Originariamente inviato da blue_blue (Messaggio 20075740)
il dominio di questa funzione



è 1<=x<=e^2 ?

Poni y = log x.
Allora arcsin(sqrt(2 log x - log^2 x)) = arcsin(sqrt(2y-y^2)) = arcsin(sqrt(y(2-y)).
L'argomento di una radice quadrata deve essere non negativo, quindi y e 2-y devono essere entrambi non negativi: quindi, 0 <= y <= 2.
L'argomento di un arcoseno deve essere compreso tra -1 e 1, quindi y(2-y) non deve superare 1; ma fai presto a vedere che il massimo di y(2-y) su [0,2] è raggiunto per y=1, e vale 1.
Quindi: sì, deve essere 0 <= y <= 2; ossia, effettuando la sostituzione inversa x = e^y, 1 <= x <= e^2.

blue_blue 12-12-2007 13:07

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 20075954)
Poni y = log x.
Allora arcsin(sqrt(2 log x - log^2 x)) = arcsin(sqrt(2y-y^2)) = arcsin(sqrt(y(2-y)).
L'argomento di una radice quadrata deve essere non negativo, quindi y e 2-y devono essere entrambi non negativi: quindi, 0 <= y <= 2.
L'argomento di un arcoseno deve essere compreso tra -1 e 1, quindi y(2-y) non deve superare 1; ma fai presto a vedere che il massimo di y(2-y) su [0,2] è raggiunto per y=1, e vale 1.
Quindi: sì, deve essere 0 <= y <= 2; ossia, effettuando la sostituzione inversa x = e^y, 1 <= x <= e^2.

grazie grazie grazie, sono contenta :)
(è la funzione che ho beccato all'esame, almeno il dominio è giusto :yeah: )

Vash88 12-12-2007 14:58

Quote:

Originariamente inviato da -Slash (Messaggio 20071523)
Ragazzi, esiste un algoritmo o comunque qualcosa che possa usare per la scrittura di un programma per la divisione tra polinomi?

Si esiste l'ha fatto un mio amico per un esame (doveva creare un programma in grado di risolvere una funzione) ci vogliono le librerie giuste. Cmq il polinomio deve essere scritto da programma e non digitato dall' utente perchè altrimenti è impossibile. C vero?
Quote:

Originariamente inviato da -Slash (Messaggio 20071523)
buona fortuna, ma chi te lo fa fare di dare al preappello(presumo) l'esame piu difficile? :D

Sono stato ammesso per un pelo, domani o dopodomani ho da fare l'orale. Ci ho provato subito così me lo scavavo di mezzo, non importa con che voto, ma almeno non mi angosciavo con analisi le vacanze. Infatti sto provando a dare 3 esami su 4. mercoledì venerdì e lunedì.

Ziosilvio 12-12-2007 15:46

Quote:

Originariamente inviato da Vash88 (Messaggio 20078952)
il polinomio deve essere scritto da programma e non digitato dall' utente perchè altrimenti è impossibile. C vero?

Ehm...
Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 20072199)
Qualsiasi software di calcolo simbolico dovrebbe essere in grado di farlo.
Maxima, per esempio, ha le funzioni quotient e remainder per il quoziente e il resto della divisione tra polinomi.

Ah: in bocca al lupo per l'orale.

-Slash 12-12-2007 18:59

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 20072199)
Qualsiasi software di calcolo simbolico dovrebbe essere in grado di farlo.
Maxima, per esempio, ha le funzioni quotient e remainder per il quoziente e il resto della divisione tra polinomi.

si uso anche io maxima :D solo che vorrei fare un programmino in basic per la calcolatrice che comprerò e quindi volevo magari qualche dritta su un metodo per farlo :D

Quote:

Originariamente inviato da Vash88 (Messaggio 20078952)
Si esiste l'ha fatto un mio amico per un esame (doveva creare un programma in grado di risolvere una funzione) ci vogliono le librerie giuste. Cmq il polinomio deve essere scritto da programma e non digitato dall' utente perchè altrimenti è impossibile. C vero?

Sono stato ammesso per un pelo, domani o dopodomani ho da fare l'orale. Ci ho provato subito così me lo scavavo di mezzo, non importa con che voto, ma almeno non mi angosciavo con analisi le vacanze. Infatti sto provando a dare 3 esami su 4. mercoledì venerdì e lunedì.

Per il programma ho già risposto :D comunque noi studiamo C++ :D

Per analisi, io lo faccio dopo insieme a fisica... Per il momento mi tolgo dalle scatole geometria ed algebra, e informatica. Inizialmente avevo pensato di fare anche fisica al preappello, ma poi ho deciso che è meglio fare le cose con calma :)

MaxArt 12-12-2007 19:45

Quote:

Originariamente inviato da -Slash (Messaggio 20083024)
si uso anche io maxima :D solo che vorrei fare un programmino in basic per la calcolatrice che comprerò e quindi volevo magari qualche dritta su un metodo per farlo :D

Se si tratta di polinomi ad una variabile la cosa è molto semplice, nel senso che è molto simile all'algoritmo della divisione con i numeri (chiaramente adattato).
Ovviamente devi mettere i coefficienti in un array. Vuoi che ti spieghi passo-passo? Magari butto giù un paio di righe di codice?
Che calcolatrice hai?

The_ouroboros 13-12-2007 10:05

sono agli inizi dselle operazioni su integrali... vorrei sapere... come faccio a integrare per parti


Tnks

Pancho Villa 13-12-2007 10:19

Posto il testo dell'esame di analisi 2 che ho dato qualche giorno fa e il mio svolgimento; se qualcuno gentilmente me le ricontrollasse ve ne sarei grato.

1) Studiare la convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale di questa serie di funzioni.

Purtroppo l'ho fatto alla fine, quindi ho avuto appena il tempo di abbozzarlo. Ho scritto che è una serie geometrica a segno alterno di ragione quindi converge assolutamente in |2^x| < 1, ossia per x<0 mentre diverge per x>0. Naturalmente essendo a segni alterni non diverge ma sarà indeterminata. In x = 0 diventa che per il criterio di Leibnitz converge puntualmente. Poi purtroppo all'esame mi sono fermato qui.


2) Studiare continuità e derivabilità della seguente funzione: che vale in tutti i punti del piano eccetto l'origine in cui la funzione vale 0.


Calcolo subito il limite per (x,y) --> (0,0) e si constata che la funzione è discontinua in quanto tale limite vale +∞ (diverso da zero).

Calcolo le derivate parziali: e e tali funzioni sono derivabili in tutto il piano meno rispettivamente l'asse y e l'asse x.

3) Calcolare il seguente integrale: ove il dominio D è la regione di piano tale che y <= x e 1<= x^2+y^2 <= 9, ossia la parte inferiore della corona circolare di raggio minore 1 e raggio maggiore 3 secata dalla bisettrice del primo e terzo quadrante. Si passa a coordinate polari (x = ρcosΘ, y = ρsinΘ) con ρ compreso tra 1 e 3 e theta tra -3/4 pigreco e pigreco/4 e si trasforma il dominio D nel dominio T.
Quindi l'integrale diventa dove ρ prima di dρ e dΘ è naturalmente lo jacobiano. Svolgendo i calcoli viene

dario fgx 13-12-2007 11:39

Quote:

Originariamente inviato da The_ouroboros (Messaggio 20090042)
sono agli inizi dselle operazioni su integrali... vorrei sapere... come faccio a integrare per parti


Tnks

-cos*e^x + integrale di (cos*e^x)

mi pare

dario fgx 13-12-2007 11:42

Quote:

Originariamente inviato da Pancho Villa (Messaggio 20090315)
Posto il testo dell'esame di analisi 2 che ho dato qualche giorno fa e il mio svolgimento; se qualcuno gentilmente me le ricontrollasse ve ne sarei grato.

1) Studiare la convergenza puntuale, uniforme, assoluta e totale di questa serie di funzioni.

Purtroppo l'ho fatto alla fine, quindi ho avuto appena il tempo di abbozzarlo. Ho scritto che è una serie geometrica a segno alterno di ragione quindi converge assolutamente in |2^x| < 1, ossia per x<0 mentre diverge per x>0. Naturalmente essendo a segni alterni non diverge ma sarà indeterminata. In x = 0 diventa che per il criterio di Leibnitz converge puntualmente. Poi purtroppo all'esame mi sono fermato qui.


2) Studiare continuità e derivabilità della seguente funzione: che vale in tutti i punti del piano eccetto l'origine in cui la funzione vale 0.


Calcolo subito il limite per (x,y) --> (0,0) e si constata che la funzione è discontinua in quanto tale limite vale +∞ (diverso da zero).

Calcolo le derivate parziali: e e tali funzioni sono derivabili in tutto il piano meno rispettivamente l'asse y e l'asse x.

3) Calcolare il seguente integrale: ove il dominio D è la regione di piano tale che y <= x e 1<= x^2+y^2 <= 9, ossia la parte inferiore della corona circolare di raggio minore 1 e raggio maggiore 3 secata dalla bisettrice del primo e terzo quadrante. Si passa a coordinate polari (x = ρcosΘ, y = ρsinΘ) con ρ compreso tra 1 e 3 e theta tra -3/4 pigreco e pigreco/4 e si trasforma il dominio D nel dominio T.
Quindi l'integrale diventa dove ρ prima di dρ e dΘ è naturalmente lo jacobiano. Svolgendo i calcoli viene

Gli estremi mi paiono corretti e l'integrale non è impossibile ma per i dettagli lascio ai LUREATI :D

Ziosilvio 13-12-2007 12:18

Quote:

Originariamente inviato da The_ouroboros (Messaggio 20090042)
come faccio a integrare per parti

Integra una volta, considerando l'esponenziale come derivata di se stesso: viene fuori
Codice:

int exp(x)*sin(x) dx = exp(x)*sin(x) - int exp(x)*cos(x) dx
Integra un'altra volta, sempre considerando l'esponenziale come derivata di se stesso: viene fuori (attenzione ai segni)
Codice:

int exp(x)*sin(x) dx = exp(x)*sin(x) - exp(x)*cos(x) - int exp(x)*sin(x) dx
Sposta tutti gli integrali al primo termine: viene fuori


The_ouroboros 13-12-2007 15:29

grazie molte...
Ora siamo verso la fine di Analisi A(il 19 febbraio ho l'unico appello della sessione) e gli integrali(che non avevo fatto, venendo da un classico) sono un argomento niente male :eek:

Pancho Villa 13-12-2007 16:37

Quote:

Originariamente inviato da The_ouroboros (Messaggio 20096603)
grazie molte...
Ora siamo verso la fine di Analisi A(il 19 febbraio ho l'unico appello della sessione) e gli integrali(che non avevo fatto, venendo da un classico) sono un argomento niente male :eek:

Ah!, se ti mettono in difficoltà gli integrali semplici vorrò ridere quando arriverai a fare robbaccia come quella che ho postato più sopra... :asd: :sofico:










(Scherzo) :D


Tutti gli orari sono GMT +1. Ora sono le: 06:32.

Powered by vBulletin® Version 3.6.4
Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Hardware Upgrade S.r.l.