Si, sono corrette.
Bada bene che non tutti gli insiemi in cui vige un ordine totale ammettono massimo e minimo. ;)

Non del tutto... mancano i prerequisiti: A non deve essere vuoto e deve essere un sottoinsieme di in un insieme più grande (del quale farà parte anche x). Gli esempi sono comunque corretti :D

ciao,
grazie per la conferma.

Perè in questo esempio
se A = {x | 2 ≤ x ≤ 5}
allora 5 è il massimo e 2 il minimo

non esiste minorante e/o maggiorante ?

ha infiniti maggioranti e minoranti, per esempio 6 e 7 sono maggioranti di A e 1 e 0 sono minoranti di a; ricordati che l'insieme A è un sott'insieme di uno più grande su cui è definito un ordine

ciao,
allora mi sfugge la sottile differenza :stordita:

se A = {x | 2 ≤ x ≤ 5}
se B = {x | 2 < x < 5}

in entrambi i casi ho maggioranti e/o minoranti però in A ho anche massimo e minimo mentre in B non ho ne massimo ne minimo.

Nel caso di A come mi hai fatto notare i maggioranti sono quei numeri > 5 e minori di 2 quindi 2 e 5 esclusi in quanto fanno parte del sottoinsieme.

Ho capito bene ?

ciao

Chi ti dice che B non abbia massimo o minimo ? Come fai a dirlo ?
Da come hai scritto l'insieme B niente fa supporre che x debba rappresentare un numero reale. Che succede se x rappresenta invece un numero intero ?
Che B ha 3 per minimo e 4 per massimo.

Bisogna essere molto precisi, quando scrivi B = { x |...} devi sempre specificare a quale insieme appartiene x (se questo non e' gia' sottointeso dal contesto). Altrimenti come ti ho appena mostrato il risultato varia.

ciao,
e allora ciò dimostra che non ho capito.
Puoi farmi due esempi coi medesimi insiemi A e B nel caso di numeri naturali e reali specificando se includi o meno lo zero ?

grazie

Che centra lo zero ?

Prendi

A = { x intero | 0<x<5.3} A sottoinsieme di R
B = { x reale | 0<x<5.3} B sottoinsieme di R

A ha come minimo 1 e come massimo 5
B non ha ne' minimo ne' massimo.

Entrambi gli insiemi hanno una infinita' di maggioranti e minoranti.

boh, scusate ma non mi è ancora chiaro, essendo magari per molti questo aspetto matematico elementare

ciao

Allora, parti dall'inzio :

Sia A un sottoinsieme non vuoto di B.

M (M appartenente a B) si dice maggiorante di A se e solo se ogni elemento di A e' minore o uguale a M. E ovvio che se M e' un maggiorante di A, allora qualsiasi altro M' > M (se esiste) sara' anche maggiorante di A.

m (m appartenente a B) si dice minorante di A se e solo se ogni elemento di A e' maggiore o uguale a m. E ovvio che se m e' minorante di A, allora qualsiasi altro m'<m (se esiste) sara' anche minorante di A.

Da queste due definizione emergono tre elementi importanti. Primo che il concetto di maggiorante o minorante per un insieme A non dipende solo dal insieme A ma anche dal insieme B di cui A e' sottoinsieme. Ecco perche' non ha senso parlare di maggiorante o minorante di A senza specificare rispetto a quale insieme B.
Secondo punto, il maggiorante o minorante di un insieme A (il sottoinsieme B lo riteniamo chiaro dal contesto) non deve necessariamente appartenere al insieme A. Puoi benissimo appartenere al insieme B.
Terzo punto, che se M o m sono maggiorante o minorante per A non e' detto che esistano una infinita di maggioranti o minoranti per A.


Infine

Se M appartiene ad A e ogni elemento di A e' minore o uguale a M, M si dice massimo di A.
Se m appartiene ad A e ogni elemento di A e' maggiore o uguale a m, m si dice minimo di A.

Il massimo ed il minimo di un insieme A (se esistono) sono rispettivamente maggiorante e minorante dell'insieme.

Il massimo ed il minimo (se esistono) di un insieme A sono sempre elementi di A. Un maggiorante o minorante (se esistono) per l'insieme A possono benissimo non appartenere ad A.

ragazzi piccolo aiutino(o grande non ne ho idea non ho trovato nulla a riguardo)

come si risolverebbero le disequazioni del tipo log(x)>x ? o cmq quando ci sono due tipi diversi di funzioni a destra e a sinistra mi sto scervellando da stamattina su log(x+1)+2x>=0

spero sia tutto leggibile grazie mille a chi mi dara una mano o almeno una fonte dove poter trovare qualcosa

Li puoi risolvere graficamente. log(x) > x e' l'insieme degli x tale che la curva della funzione logaritmo sta sopra la curva y=x. Questo pero' non succede mai quindi non esiste alcuna soluzione.

Per la seconda disequazione,
log(x+1)+2x>=0 la puoi riscrivere come log(x+1) >= -2x
e quindi ti basta trovare i punti in cui la curva della funzione log (x+1) e' superiore alla curva della funzione y = -2x.
Si puo' anche vedere ad occhio perche' log X >=0 se e solo se X >=1.

ciao,
benedetta matematica: di sicuro mi mancano molte informazioni di base :stordita:

Leggo quanto segue:
Un numero reale l si dice estremo inferiore per l’insieme A se esso è il più grande dei minoranti e si indica con la scrittura l=inf(A). Se l’estremo inferiore appartiene all’insieme A allora si dice minimo.

data la seguente funzione f(x)=sqrt(2-x) - sqrt(x) allora mi chiedo se l'estremo inferiore è -sqrt(2) e l'estremo superiore è sqrt(2).

Non esistendo la funzione fuori da tali estremi per via delle radici allora:
-sqrt(2) è anche il minimo ?
sqrt(2) è anche il massimo ?

In questo caso maggioranti e minoranti non esistono ?

grazie

Quello che chiedi non ha senso. Hai una funzione f(x), ma quale e' l'insieme A di cui chiedi l'esistenza del estremo inferiore/superiore ?

Idem, quello che chiedi non ha senso. Devi specificare l'insieme A rispetto a cui cerchi l'estremo inferiore/superiore. E dai che non e' difficile, la stessa definizione te lo scrive nero su bianco. Si dice estremo inferiore per un insieme A ..... Se non dici che cosa e' A che ti devo rispondere ? :stordita:

Ripeto per l'ennesima volta, se prima tu non dici a che insieme ti stai riferendo come posso risponderti ?

ciao,
l'insieme dei numeri reali

Scusa ma quando dici che -sqrt(2) e' estremo inferiore, e sqrt(2) e' estremo superiore. Estremo inferiore e superiore di QUALE insieme ?

ciao,
nell'esercizio di parla di numeri reali (x appartenente a R), quindi quell'intervallo è un sottoinsieme dei numeri reali giusto :stordita: ?

Si stai considerando un sottoinsieme di R.
Quello che pero' tu non riesci ad esprimere e' di quale sottinsieme di R stai parlando.
Vuoi sapere l'estremo inferiore/superiore di [-sqrt(2), sqrt(2)] ? E se si cosa centra la funzione f(x) =sqrt(2-x)-sqrt(x) in questa storia ? :stordita:

ciao,
dunque, leggendo di maggioranti/minoranti, max/min, estremo sup/estremo inf me ne stavo chiedendo l'utilità pratica, magari non esiste :stordita:

Il mio esempio serve per capire se tali definizioni vanno applicate allo studio di funzioni e cioè; se ho la funzione menzionata e mi si chiede di determinare l'estremo superiore/inferiore e dire quindi se sono massimi o minimi mi domando se [-sqrt(2), sqrt(2) ] rappresentano gli estremi inferiori e superiori della funzione e se sono anche rispettivamente min e max.

Se come spero ho iniziato a capirci qualcosa, mi chiedevo se allora in quel sottoinsieme di R in cui esiste la funzione [0, 2] e chiedo scusa per le imprecisioni, esistono maggioranti e/o minoranti.
Intuitivamente mi viene da dire di no in quanto per valori minori di 0 e maggiori di 2 la funzione non esiste.

Grazie

ciao

Ok, allora partiamo dalla funzione f(x) = sqrt(2-x)-sqrt(x).
Questo funzione e' definita per x compreso tra 0 e 2.
Quello che ti interessa studiare e' l'insieme A = { y | y=f(x) per x che sta tra 0 e 2}

Vuoi capire se A ha estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo etc...

Dunque, inanzitutto ce' un teorma importante sull'esistenza dell'estremo superiore ed inferiore per un insieme A. Se A e' un insieme non vuoto e che e' maggiorato allora l'estremo superiore esiste. Nello stesso modo se A e' un insieme non vuoto e minorato allora esiste il suo estremo inferiore.

Quindi per sapere se un insieme A ha estremo superiore/inferiore occorre prima di tutto dimostrare che e' un insieme non vuoto, e poi mostrare che ammette rispettivamente almeno un maggiorante e un minorante.

Nel nostro caso A e' ovviamente non vuoto. Come facciamo a dimostrare che A ha almeno un maggiorante e un minorante ? Beh qui ci viene in aiuto un teorema sulle funzione continue, che ci dice che una funzione continua f su un intervallo chiuso e limitato prende tutti i valori compresi tra il massimo e minimo. Questo significa che il teorema applicato al insieme A ci dice che massimo (A) e minimo(A) esistono. Siccome il massimo ed il minimo di un insieme A sono automaticamente maggiorante e minorante per quel insieme abbiamo dimostrato che A e' non vuoto e che ammette almeno un maggiorante (il suo massimo) ed un minorante (il suo minimo).
Pertanto per il primo teorema che ho citato l'insieme A ammette estremo superiore ed estremo inferiore. In questo caso specifico l'estremo superiore ed inferiore coincidono rispettivamente con il massimo ed il minimo. Ma non e' sempre cosi.

Ora che sappiamo che il massimo ed il minimo di A esistono (e quindi anche l'estremo superiore ed inferiore) quanto valgono ?

Beh qui devi studiare la funzione f(x) sul intervallo [0,2] e vedere dove la funzione prende il suo massimo valore, ed il punto dove prende il suo valore minimo.