Salve a tutti. Intanto direi che l'idea di questo topic è carina, speriamo che non diventi troppo dispersivo :)
Veniamo alla mia semplicissima domanda. Sia D un dominio di R^2 limitato dalle curve y=4-x^2 e y=(x-2)^2:



D è regolare rispetto all'asse delle Y?Vorrei solo una conferma. Io direi che NON LO E' perchè:



Invece il dominio è regolare rispetto all'asse x e quindi regolare. Giusto?

è del tipo
Int f'(x) * f(x) dx

Quindi è di tipo potenza e il risultato è ln^2(x)/2 + c ;)

Ti unisco il thread alla discussione sui problemi di matematica. ;)

vi butto un problema che tempo fa era girato in piazzetta e mi aveva molto incuriosita

ci son 4 coccinelle agli angoli di un quadrato

la coccinella all'angolo 1 si dirige verso la coccinella 2
la coccinella all'angolo 2 si dirige verso la coccinella 3
la coccinella all'angolo 3 si dirige verso la coccinella 4
la coccinella all'angolo 4 si dirige verso la coccinella 1

le coccinelle si incontreranno nel centro del quadrato... ma che distanza hanno percorso ??? (in funzione di lato quadrato e velocità coccinelle)

grazie, ciao

Non ho capito :stordita: Disegnino?

_______________
|1....................2|
|.......................|
|.......................|
|.......................|
|.......................|
|.......................|
|4....................3|
_______________


Al via la 1 si dirige verso la 2
Al via la 2 si dirige verso la 3
Al via la 3 si dirige verso la 4
Al via la 4 si dirige verso la 1

In pratica ogni coccinella seguirà un movimento a simil-spirale e le coccinelle si incontreranno in centro.

Il problema sta nel capire quanta strada percorrono e che traiettoria seguono?

Si risolve ricordando che 1/x è la derivata del logaritmo!
dovrebbe venire (ad occhio) 1/2ln^2(x)

Ecco appunto, è proprio quello che non riesco a capire....se si muovono lungo i lati non si incontreranno mai al centro!!!Boh....Il problema NON E' ben posto (imho)

Si me ne ero accorto che 1/x è la derivata del lnx , ma non ricordo la regola che accomuna funzione + la sua derivata.
Non capisco come faccia a venire 1/2ln^2x!!

Me lo spiegheresti?

La regola di integrazione per sostituzione funziona nel modo seguente.
Supponi di avere due funzioni continue, f e g, e di dover integrare g(f(x))*f'(x).
Puoi porre y=f(x): ma allora dy=f'(x) dx, e l'integrale di g(f(x))*f'(x) dx deve essere uguale all'integrale di g(y) dy.

Ora, supponi che g sia la funzione identità: allora l'espressione di cui sopra è semplicemente f(x)*f'(x), e l'integrale di f(x)*f'(x) dx è semplicemente uguale all'integrale di y dy.

Nel tuo caso, f(x) = log x: sostituisci, e l'integrale ti viene 1/2 x^2 + costanti: sostituisci all'indietro, e ti viene 1/2 log(x)^2 + costanti ;)

Funziona!
L'abbiamo fatto l'anno scorso in un'esercitazione di cinematica... non trovo gli appunti e non mi ricordo come si fa, magari cerco di procurarmeli o chiedo ad Alexzeta, che dovrebbe averli (in più è anche un malefico fisico :D )

Se hai tempo facci sapere la risposta, o meglio il testo che ti ritrovi tu...E magari mandaci il fisico malefico....Daltronde, un chimico ce l'abbiamo (indovina chi è :D ), un matematico pure (ZioSilvio)....solo il fisico ci manca e siamo a posto :cool:

X tutti: nessuno ha un idea sul semplice problema della regolarità del dominio?Oggi ho fatto il compito di Analisi II e giovedì ho l'orale :help:
Ah, a proposito, altro piccolo quesito: risolvere l'equazione differenziale

Tralascio la parte teorica (dove sono definite le funzioni etc etc) che comunque sul compito ho riportato con cura e mi concentro sui "conti"
E' un'equazione differenziale omogenea e quindi posso ricondurla a un'equazione a variabili separabili operando la sostituzione y/x = t da cui y = xt' (e quindi y'= x + xt')

Dopo un pò di passaggini (ed è qui che mi sbaglio spesso) giungo a:


Se 1 - 4t = 0 <=> t=1/4 allora la funzione t1(x)=1/4 è soluzione dell'equazione differenziale (anche qui tralasciamo il discorso teorico, comunque la soluzione è unica per la lipschitzianità della funzione a secondo membro). A questa soluzione corrisponde, per la (1) la funzione y(x)=(1/4)x
Se 1 - 4t diverso da 0 allora le soluzioni dell'equazione differenziale sono definite implicitamente dall'equazione:
Risolvendo ottengo:

(si potrebbe fare qualche altro passaggio) con c variabile reale.
Ci siamo?

nessuno ha detto che le coccinelle si muovono lungo i lati del quadrato.
le coccinelle inizialmente stanno sui 4 angoli del quadrato, ma sono poi libere di muoversi come vogliono.
l'unica cosa che fanno è inseguire ognuna la rispettiva coccinella come ho indicato nel mio primo post

Ah ok, infatti mi sembrava strano.....Comunque la traiettoria come hai detto sarà come una sorta di spirale o qualcosa che le assomigli....appena avrò un pò di tempo gli do un'occhiata :) Per ora ho ben altri pensieri :cry: :cry: :cry:

Bisogna giocare con le funzioni complesse

Anche io penso che le coccinelle percorrano una spirale

l'eq è del tipo Exp[at](Cos(bt)+i Sin(bt))

il problema è trovare a e b in modo da soddisfare le
condizioni all'inizio.

Per integrare si trova il differenziale di linea, che non mi
ricordo, ma bastava cansiderare la parte reale e la parte
immaginaria come componenti di un vettore reale a 2 dimensioni

Visto che vi state divertendo, mettiamo in rilievo! :D

Indovinello molto :old: e almeno altrettanto :cool:

Supponi che, oltre alle coccinelle, ci sia un bruco che va dall'angolo 1 all'angolo 2 con la stessa velocità delle coccinelle.

Che differenza c'è tra l'osservazione del moto della coccinella 1 fatta dalla coccinella 2, e l'osservazione del moto del bruco fatta dall'angolo 2?
Nessuna.
Infatti, in ciascuno dei due casi, ad ogni istante il vettore velocità ha modulo costante, direzione lungo la congiungente dei due punti, e verso in direzione del punto da cui si osserva.

Quindi, la distanza percorsa dalla coccinella 1 --- e, per simmetria, dalle altre --- deve essere uguale a quella percorsa dal bruco, ossia al lato del quadrato.

Domanda sulle funzioni inverse:

So che una funzione è invertibile se monotona. Quindi per verificare faccio la derivata prima e vedo se è sempre positiva o negativa.

Al max limito il dominio e la faccio diventare invertibile.

Quello che non so fare è trasformare una funzione nella sua inversa. Come si fa?
Basta semplicemente sostituire le x alle y nella forma?
E' possibile che sia così facile?

Ed il grafico? E' simmetrico rispetto alla bisettrice vero?

PS: i soliti dubbi pre seconda prova scientifico :p

Ahimé purtroppo non è sempre così facile. Una volta che hai verificato che la tua funzione è invertibile puoi provare a risolvere l'equazione f(x) = k, con k nell'immagine di f: se riesci ad isolare la x hai la tua inversa x=g(k) (chiaramente la rappresenti con la k in ascisse e la x in ordinate! il nome delle lettere non conta!).
Molto spesso però non si riesce a trovare un'espressione analitica per le funzioni inverse... prova, ad esempio, ad invertire xe^x!

Una funzione continua è invertibile se e solo se è monotona.
Senza il requisito di continuità, la faccenda cambia: pensa ad esempio a f : [0,1] --> [0,1] tale che f(x)=x se x è razionale, f(x)=1-x altrimenti.
Allora f è invertibile (ed è inversa di se stessa), ma non è monotona. E d'altronde, è discontinua in ogni punto tranne x=1/2.
Infatti non esiste nessun metodo generale per ricavare un'espressione dell'inversa di f, data un'espressione di f.
Al massimo, puoi ricordare che, se f e g sono una l'inversa dell'altra, e se y=f(x), allora x=g(y).
Ad esempio, se hai y=sqrt(x-1), allora hai anche y^2=x-1 e quindi y^2+1=x. Pertanto, l'inversa di f(x)=sqrt(x-1) è g(y)=y^2+1.
Il grafico dell'inversa di f è il riflesso del grafico di f rispetto alla bisettrice dei quadranti dispari.
Te ne accorgi semplicemente pensando che, per passare da f alla sua inversa, devi scambiare i ruoli di x e y.

Con le opportune restrizioni sul dominio di G che non può essere più grande dell'immagine di F!
In questo caso, in particolare, y>=0!

Avevo fatto un errore nell'integrazione....ora dovrebbe essere giusto...help me (soprattutto per il problema del dominio): giovedì ho l'esame orale :help: :cry:

Allora, se io voglio trovare il volume del solido che si forma con la rotazione sull' asse delle x di una qualsiasi funzione (in un intervallo ovviamente) utilizzo la formula : pigreco per integrale della funzione al quadrato. (vado a memoria, forse ho dimenticato qualcosa...)

Ma se devo trovare il volume che si forma dalla rotazione dell'asse y??
Cosa devo fare? Va bene se simmetrizzo la funzione per la bisettrice y=x e poi applico la solita formula? Oppure sto dicendo una cavolata?

E ancora, se la rotazione avvenisse su una retta qualsiasi (Y=2 ad esempio)?

Grazie :D

nel caso in cui sia la rotazione intorno a y basta sostituire x con y. Quindi diventa:
(pi)int(y^2dx) tra y1 e y2 (importante notare che non è piu x1 x2)

nel caso in cui sia intorno ad una retta del tipo y=2 (banale) o una qualsiasi retta del tipo y=mx+q basta applicare un affinità isometrica (!!!) che trasformi la retta in uno dei due assi.

Giusto.
Infatti il solido di rotazione è formato da tanti cilindretti infinitesimi, aventi raggio di base f(x) e altezza dx.
Allora è : 2 Pi integrale di (x f(x)) dx.
Te ne accorgi così: il solido di rotazione è formato da tante corone cilindriche infinitesime, aventi raggi di base x e x+dx, e altezza f(x), quindi volume ((x+dx)^2-x^2)f(x), ossia f(x)*(2x dx + (dx)^2). Quando vai a integrare, la parte f(x) (dx)^2 è un infinitesimo di ordine troppo grande per contribuire, e l'integrale si riduce a quanto detto poc'anzi.
Allora le cose si fanno complicate, perché non è detto che il grafico di una funzione della variabile x, sia anche il grafico di una funzione in cui la variabile indipendente varia lungo una retta non orizzontale.

equazione differenziale
 

ho questo problema di cauchy:

y''+2y'+4=3sin(2x)
y(0)=0
y'(0)=1/4

la soluzione y(x) che cerco dovrebbe essere data da

soluzione dell'omogenea + soluzione particolare.
ho il polinomio dell'equazione che è k^2+2k=0, quindi k=0 e k=-2 e la soluzione dell'omgenea è

c1 e^0x + c2 e^-2x = c1 + c2 e^-2x

a questo punto per trovare la soluzione particolare che forma generale devo usare per poi poter trovare i coefficienti?
ho provato mettendo y(x)=a cos (2x) + b sin (2x) ma nn viene, cosa devo mettere?
grazie

Grazie!

Altra domanda: voglio verificare che data una funzione continua (limitata/chiusa e non) questa abbia almeno una e poi più precisamente una sola soluzione.

Io farei così:

se la funzione è limitata e chiusa allora applico il teorema degli zeri e vedo se esiste almeno una soluzione.
Per verificare che sia unica calcolo la derivata (prima o seconda???) e controllo se è monotona o no. Se lo è esiste un'unica soluzione.

se la funzione nn è limitata allora calcolo i limiti a + e - infinito della x e se vanno in sensi opposti esiste certamente uno zero.
Per verificare che sia l'unico calcolo la derivata (prima o seconda???).

Il mio dubbio come potete vedere è quale derivata calcolare x verificare l'unicità dello zero.
Io farei la derivata prima, ma ho letto un teorema sul libro che sostiene che bisogna derivare 2 volte! E' così? e perchè?

allora, la tua equazione differenziale lineare è:

y''+2y'+4=3sin(2x)

Ti do un'idea che dovrebbe funzionare ( :D ) Scrivila come:

y''+2y'=3sin(2x) - 4

Considera le due equazioni differenziali:

y''+2y'= 3sin(2x) (1)

y''+2y'= -4 (2)

Se la funzione g1(x) è soluzione della (1) e la funzione g2(x) è soluzione della (2) allora la funzione g1(x)+g2(x) è soluzione dell'equazione di partenza (y''+2y'+4=3sin(2x) ) (questo avviene perchè la derivata è un operatore lineare)

;)

y''+2y'+4= 3sin(2x) (1)

y''+2y'= -4 (2)

la 1 nn dovrebbe essere y''+2y'= 3sin(2x) secondo il tuo ragionamento?
cmq nn riesco a capire come trovare la soluzione particolare più che altro, come devo fare?

Allora, il teorema degli zeri ok, se la funzione cambia segno agli estremi ed è continua ha sicuramente uno zero; per vedere che la soluzione sia unica fai la derivata prima: se la funzione è monotona sei a posto.
Altrimenti devi trovare tutti i max - min - flessi (facendo la derivata seconda ad esempio!) e verificare che la funzione cambi segno solo una volta...

Sì sì certo, scusami, nel fare copia è incolla ho dimenticato a togliere il 4 :D Ora edito ;)

C'è il thread apposito
Inoltre da qualche parte ci dovrebbe essere anche una guida alle equazioni differenziali... ad esempio:
http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1009809
In questo caso puoi limitarti, una volta trovato l'integrale generale dell'omogenea, a usare questo trucchetto:
Il tuo termine non omogeneo è del tipo A sin(wx)
Considera le radici del polinomio caratteristico:
-se w non è radice del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo A sin(wx)
-se w è radice semplice del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo A x sin(wx)
- se w è radice doppia del polinomio caratteristico puoi cercare una soluzione particolare del tipo a x^2 sin(wx)
In tutti i casi ti limiti a sostituire a y la tua funzione e a trovare il giusto valore di A!

A ogni tipo di funzione a secondo membro corrisponde un certo tipo di soluzione. inoltre devi controllare le soluzioni dell'equazione caratteristica. Spiegarlo a parole mi viene difficile ti faccio un esempio.

Sia la fnzione a secondo membro una polinomio P(x) di grado n:

- Se lo non 0 è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x) con Q(x) polinomio di grado n.
- Se lo 0 è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=Q(x)*x^h con Q(x) polinomio di grado n.

In generale se la funzione a secondo membro è del tipo f(x)= P(x)e^(ax)sin(bx) (oppure f(x)= P(x)e^(ax)cos(bx) ) con P(x) polinomio di grado n:

- Se a+ib (numero complesso) non è soluzione della caratteristica troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n.
- Se a+ib è soluzione della caratteristica con molteplicità h troverai una soluzione particolare nella famiglia di funzioni y(x)=x^h(Q1(x)*xe^(ax)*sin(bx)+Q2(x)*e^(ax)*cos(bx)) con Q1(x) e Q2(x) polinomi di grado n.

Insomma la solita papardella per le equazioni differenziali lineari a coefficienti costanti :stordita:

PS: in genere è un macello trovare ste soluzioni particolari perchè devi calcolare le derivate ennesime ( :eek: ), sostituirle nell'equazione differenziale, e imporre che i due membri coincidano per trovare i coefficienti che ti servono ...noioso!!

Carina la guida, mi era sfuggita, complimenti :) Ci sarebbe da spendere qualche parolina sugli altri tipi "principali" (a variabili separabili, omogenee, di Bernoulli) e magari anche sull'unicità (teorema di Cauchy di esistenza e unicità etc)...Appena mi do analisi II (spero domani :stordita: ) magari scrivo due paroline (nei limiti dele mie esigue conoscienze in merito) che dici?

perfetto ora ho capito, grazie mille a tutti

io ce l'ho il 26 analisi B, speriamo in bene, il primo parziale 25 spero di nn abbassarlo! cosa studi?

Ingegneria elettrica :) Ho fatto lo scritto lunedì ed è andato abbastanza bene...ora viene il bello :stordita: In bocca al lupo per l'esame!Anche tu ingegneria?Cosa?

Una trattazione generale delle equazioni a variabili separabili e di quelle di Bernoulli mi sembra un'ottima idea...
Sull'esistenza e unicità...
Cazzo è pesissima quella dimostrazione! Secondo me è meglio lasciar stare... anche perché richiede conoscenze non elementari (al limite si potrebbe far vedere solo come si dimostra l'unicità, dando per scontata l'esistenza, che già non è poco...)

pensavo di aver capito, mi son messo a farlo e nn riesco :cry:
devo sceglierla io w o fare i vari casi?
mi dite i passaggi da fare per trovare la soluzione particolare pls
grazie

Nel tuo caso w è uguale a tre...
se vuoi ti faccio i passaggi!