Se mRn significa che m-n è un intero multiplo di 7, allora:
- Verificare che per ogni a risulta aRa, significa verificare che per ogni a, a-a è un intero multiplo di 7.
- Verificare che per ogni a e b risulta che aRb implica bRa, significa verificare che per ogni a e b, se a-b è un intero multiplo di 7 allora b-a è un intero multiplo di 7.
- Verificare che per ogni a, b e c risulta che aRb e bRc implicano aRc, significa verificare che per ogni a, b e c, se a-b è un intero multiplo di 7 e b-c è un intero multiplo di 7 allora a-c è un intero multiplo di 7.

Questa non è neanche matematica: questa è lingua italiana...

Grazie mille :D almeno ho un metodo anche se laborioso veramente grazie anche a chi ha provato ad ad aiutarmi prima di te;)

ps alla fine non era poi una cosa cosi stupida :ciapet:

Grazie.
Ok, d'accordo per la traduzione in italiano (:D )
Ma operativamente come si fa questa cosa?
Devo dimostrare che m-m= 7t ?
n-m=7t?
m-n=7t , n-r=7t (con r qualsiasi in Z) e quindi m-r=7t ?

Scusa se ti sembrano cose banali, ma non capisco:confused:

A me sembra che tu abbia quantomeno capito non bene l'applicazione, nelle formule matematiche, dei quantificatori "per ogni" ed "esiste".
Una frase come "m-n=7t" non significa niente senza ulteriori informazioni su cosa sono m, n, e t. Se, come immagino, sono numeri interi, allora "m-n=7t" è al massimo il risultato di un'operazione, mentre "per m ed n fatti così e cosà, esiste un intero t tale che m-n = 7t" è un'affermazione che può essere vera o falsa.

Ripassa questa parte qui, e vedrai che l'esercizio sulle congruenze ti risulterà più chiaro.

Grazie ho letto solo ora, stavo facendo l'esame quando mi hai risposto. :D

Una questione semplice: probabilmente mi sono rincretinito completamente ma se ho una equazione parametrica come questa:
x=3-t ; y=3 ; z=t
per passare alla forma cartesiana non basta sostituire la z alla t nella prima ?

Perchè mi dice che la forma cartesiana è
x+y-3=0
y-3=0

?

Forse perché la prima equazione contiene un errore di stampa, y anziché z?

La forma parametrica descrive la retta come somma di un punto ed un vettore. La forma cartesiana la descrive come intersezione di due piani. Ma ci sono infinite coppie di piani che si intersecano in una retta data.
In questo caso, nella forma parametrica il punto è (3,3,0) e come vettore puoi prendere (-1,0,1). Due vettori ortogonali a questo sono (1,0,1) e (0,1,0), quindi puoi prendere come equazioni cartesiane quelle che ottieni valutando (x,0,z) e (0,y,0) in (3,3,0).

Dovrebbe dirti:

x + z - 3 = 0

y - 3 = 0

La z devi immaginare di sostituirla anche nella seconda, ma non c'è e quindi rimane così. Devi pensarle come le equazioni di due piani. :)

UPDATE. Ecco, appunto. :D Vabbè, il mio post può essere utile a confrontare la modesta spiegazione di un ingegnere con quella di un matematico vero...:stordita:

Sto studiando ingegneria anche io dunque anche per me mediamente la soluzione è "si fa così? Sì? Ok" (ma non ditelo a ZioSilvio se non non mi aiuta più:D

Grazie, allora ci sarà stato un errore di battitura va bene;)

Ho un quesito che mi ha dato molti problemi:

Date le funzioni f1,…,fn da Rn→R e sia f:Rn→Rm definita cosi:
f(x1,…,xn)=(f1(x1,…,xn),f2(x1,..,xn),…,fm(x1,…,xn))

rispondere:

1) La funzione f è lineare solo se le funzioni f1,...,fm sono ?

2)La funzione f è affine solo se le funzioni f1,...,fm sono ?

Beh, qui si tratta veramente solo di applicare le definizioni...
Magari fa' un po' di prove con n=2.

Secondo me è:
1) La funzione f è lineare solo se le funzioni f1,...,fm sono ?

tutte lineari

2)La funzione f è affine solo se le funzioni f1,...,fm sono ?

lineari o affini ( basta che una sia affine e risulta affine, giusto?)

Non riesco a capire bene cosa significhi continuità uniforme.

con I= [0, +∞[ come può essere uniformemente continua? Non riesco a capire come si riesca a trovare un certo δ affinchè sia vera la definizione di continuità uniforme...

Continuità uniforme in un intervallo I vuol dire che la distanza delta, a cui y (appartenente ad I) deve stare da x (appartenente ad I) affinché f(y) sia entro una distanza prestabilita epsilon da f(x), dipende da epsilon ma non da x.

Nel caso specifico I = [0,oo), f(x) = sqrt(x) puoi fare così:
Nel sottointervallo [0,2] puoi adoperare il teorema di Heine-Cantor. (Imparare bene!)
Nel sottointervallo [1,oo) puoi adoperare il fatto che f(x) cresce più lentamente di x. (Dimostrare!)
Allora, dato epsilon, come delta per tutto [0,oo) puoi scegliere il più piccolo tra quello che vale per [0,2] e quello che vale per [1,oo).

Grazie mille :)

per la sommatoria usi l'identità (1+x + x^2 + ... x^(n-1) )(1-x) = 1-x^n

perciò ottieni che è pari a (1- exp(i*2pi*DF*N))/(1-exp(i*2pi*f))
che però non è in una forma molto agevole per trovare la sua fase
si può raccogliere un fattore a numeratore e denominatore in modo da semplificare le cose:

exp(i*pi*DF*N)*(exp(-pi*DF*N) -exp(i*pi*DF*N))/(exp(i*pi*DF)*(exp(-i*pi*DF)-exp(i*pi*DF)))

che nonostante la lunghezza diventa semplicemente:

exp(i*pi*(N-1)) *sin(pi*DF*N)/sin(pi*N)

Ciao, scusate la domanda forse banale, ma gli zero di una funzioni sono anche gli zero delle sue derivate successive (tutti ma non solo loro) ?
Mi viene questo dubbio perchè il libro mi sembra faccia delle semplificazioni negli esercizi in questo senso e ricordandomi il significato geometrico della derivata in R^2 mi sembra che sia plausibile, se ho dedotto giusto, questo è valido anche in R^n?

Grazie

non credo, esempi grafici ora sono difficili, ma:
y=x^2-4 ha uno zero in x=2, e uno in -2
y'=2x non ha zero in x=2.

Giustamente.
Torno in modalità "guardo il risultato dell'esercizio e mi chiedo :che diavolo sta facendo ?" XD
Grazie

EDIT : scrivo e posto il ragionamento di un esercizio tra un minuto così se hai voglia mi spiegi come fa a risolvere

Pensa alle funzioni seno e coseno...:D

Prova a postare il ragionamento che usano e che ti lascia perplesso...:p

@Christina: effettivamente pensando alle funzioni sin e cos il risulato è palese

In allegato il problema che non mi torna

A me non torna il raccoglimento, nella prima espressione di f ci vorrebbe un 2y^4, se non vedo male. Comunque non importa, i ragionamenti successivi sono evidentemente fatti sulla seconda espressione.

Non dovrebbero esserci dubbi sul fatto che f >= 0 per ogni x e y: f è evidentemente il quadrato di qualcosa, quindi al minimo varrà zero. Per quanto poi riguarda i punti dove vale zero, essi saranno i punti dove annulli almeno uno dei due fattori, da cui le condizioni x + y^2 = 0 e x + 2y^2 = 0. Sposti le y a secondo membro ed eccoti le tue parabole. Senza usare le derivate. :)

E' proprio l'ultimo ragionamento che non mi torna, annullo la funzione, ma io non sto cercando i punti dove annullo la derivata?
Se hai voglia di spiegarmelo o hai un link dove poterlo leggere perchè sul mio libro non la spiega esplicitamente questa cosa
Grazie

Stai annullando la funzione perché usi una scorciatoia "furba" che va bene solo in casi simili a questo, proprio per evitare fare calcoli laboriosi con derivate parziali, hessiani eccetera. Naturalmente, se volessi usare pedestremente il metodo delle derivate, alla fine giungeresti allo stesso risultato, con più fatica.

La scorciatoia consiste nel fatto che, osservando la funzione, per quella particolare funzione lì sei in grado di dire che guardacaso il minimo è zero (perché il quadrato di qualcosa o è positivo o è zero se il qualcosa è zero, a meno che non pensi a oggetti strani che non c'entrano nulla con questo livello di matematica :D) e i punti di minimo quindi sono quelli in cui si annulla la funzione.

Togliendo una dimensione, è come se io ti mostrassi una funzione che è una parabola rivota verso l'alto e ti chiedessi di trovarmi il minimo, ma tu riconosci che è una parabola e mi dici che il minimo è in corrispondenza del vertice e me lo calcoli con le formulette delle coordinate del vertice al posto di fare le derivate e studiare il segno.

Meglio? :stordita:

Quindi il ragionamento è: poichè so che questa funzione valori più bassi di 0 non ne può assumere, sono sicuro sicuro che se trovo i valori per cui la funzione si annulla questi saranno anche i tutti e soli i punti di minimo della funzione.
Giusto?

Grazie

Detto terra terra, sì. :D

Ciao, ma questo thread lo sto monopolizzando io ? XD
Volevo chiedervi aiuto perchè non capisco i calcoli dell'esercizio 10 del link sottostante.
http://dl.dropbox.com/u/52074377/IMG_012.jpg
( con il punto tra i vettori si intende prodotto scalare), a me vengono diversi, ma la regola del prodotto scalare tra vettori non è
x*y=x1y1 + x2y2 +x3y3 ?

Grazie

come fare a calcolare la distanza tra un punto di coordinate (px,py) ed una circonferenza di centro di coordinate (cx,cy) e raggio r?

No, in generale no.
Per esempio, f(x) = x ha uno zero in x=0, am f'(x) = 1 non ha zeri.

Esprimi il generico punto sulla circonferenza in funzione del centro, del raggio, e di un parametro t; e poi calcola il minimo (rispetto a t) della distanza fra il punto sulla circonferenza ed il punto esterno ad essa.

sarebbe sbagliato fare la distanza tra il punto ed il centro della circonferenza e poi togliere poi il raggio?

Aiuto:

Mi trovo a dover calcolare la radice quarta di -100 nel campo dei numeri complessi.

Visto che la versione normale sarebbe un numero irrazionale, suppongo che la versione complessa sarebbe il suddetto irrazionale moltiplicato 'i' giusto?

Esiste una maniera per rappresentarla diversamente?

No...i numeri complessi non nulli hanno n radici n-esime. ;)

Vedi QUI per esempio, a pagina 7.

Quindi per un equazione tipo X^4 - 100 = 0 avrei 4 radici di 100?

Oppure posso semplificare la cosa visto che essendo X^4 = 100 non ho bisogno di usare il modulo 'i'?

in effetti non hai tutti i torti...sentiamo che dice zio silvio :)

intanto grazie a tutti e due

Dipende...se cerchi le radici reali allora hai +/-3.16..., se cerchi quelle complesse invece ne hai altre due, che sono gli altri due vertici del quadrato. :D

Che sarebbero 0 + 3.16i e 0 - 3.16i?

Giusto per essere pignoli, le quattro coordinate sarebbero:

R 3,16 \ i 0
R -3,16 \ i 0
R 0 \ i 3,16
R 0 \ i -3,16

Mi sento un po' ignorantello a chiedere tutte ste conferme, ma pace. Nessuno nasce istruito.

Sì esatto. :)

Il trucco potrebbe funzionare per i punti esterni al cerchio, ma direi che stiamo considerando proprio quelli...

E io direi che si può fare, per questo motivo qui:
Se P è il tuo punto esterno al cerchio, e O è il centro del cerchio, traccia il segmento OP e chiama Q il punto di intersezione del segmento con la circonferenza. Allora OQ è il raggio del cerchio, quindi il cerchio sta tutto dalla parte opposta a P rispetto alla retta tangente al cerchio in Q. Pertanto, la distanza da P di un qualsiasi punto del cerchio è almeno pari alla distanza da P della retta tangente al cerchio e passante per Q: che, per costruzione, è pari alla distanza di P dal centro del cerchio, meno il raggio. Dato che questo minoorante viene eguagliato nel punto Q, la distanza è quella.

OK, intanto grazie ancora per tutto l'aiuto, ultima conferma:

(X^2 - 2x +10) * (X^4 - 100) = 0 Da risolvere nel campo dei numeri complessi:

Scompongo nel sistema di equazioni

(X^2 - 2x +10) = 0
(X^4 - 100) = 0

Risolvo la prima Equazione:
X = 1 + 3i, 1 - 3i

Risolvo la seconda Equazione:
X = 3.16, -3.16, 3.16i, -3.16i

Trasposizione sul piano di Gauss delle radici:

R 1 | i 3
R 1 | i -3
R 3.16 | i 0
R - 3.16 | i 0
R 0 | i 3.16
R 0 | i - 3.16

Grazie ancora infinite, mi serve pratica con gli esercizi ma spero di aver infilato il metodo.

ma usando la formula |r-|P-C|| non dovrebbe funzionare in ogni modo?