Jarni,
credo di aver capito dove continuavo a sbagliare e a non capire, quanta ruggine :muro:

Esercizi su successioni e convergenza
 

salve ragazzi, il mio libro di analisi, mi chiede di verificare che la successione di termine n-esimo a(n)=(7n)/(3n-2) converge a 7/3. Io proprio non capisco cosa devo fare, ma so che il risultato è: "fissato epsilon>0 è sufficiente prendere n>2/3+14/9epsilon".

:muro: Mi potreste dare un aiutino?

Un altro esercizio chiede: "verificare che la successione di termine n-esimo a(n)=(sin(n))/n converge a 0"; in questo caso il risultato dichiarato è: "fissato epsilon>0, |((sin(n))/n)|<=1/n, quindi è sufficiente prendere n>1/epsilon".

:help: Grazie

Innanzitutto, ricordiamo la definizione di convergenza per le successioni:
Una successione converge ad se e solo se, per ogni , esiste tale che ogniqualvolta .

Per il primo esercizio, riscrivi



Allora



Tale quantità è positiva per n>0, quindi puoi togliere il valore assoluto.
A questo punto devi solo risolvere rispetto a n la disuguaglianza



Il secondo esercizio è simile, anzi addirittura più facile se ricordi che la funzione seno è limitata.

Epsilon!?
Ma fai il limite per n che tende a infinito: a(n) tenderà a 7/3.:D

Il succo di quegli esercizi, dovrebbe essere proprio far capire come si fanno i limiti :)
Quando uno sa fare queste cose, può capire perché funziona la regola generale.

Ciao a tutti,
qualcuno potrebbe spiegarmi in maniera semplice perchè il grafico della funzione derivata NON può presentare discontinuità eliminabile? Per il teorema del "tappabuchi"? :confused: :confused:

Thanks ;)

Eh?:mbe:

Se consideri le definizioni di continuità e derivabilità, ti accorgi di quanto segue:

1. f è continua in x0 se e solo se f(x)-f(x0) è infinitesima in x0.
2. f è derivabile in x0 se e solo se f(x)-f(x0) è infinitesima in x0 almeno dello stesso ordine di x-x0.

Vedi da te che la seconda condizione implica la prima.

P.S.: qual è l'enunciato cui date il nome di "teorema del tappabuchi"?

grazie mille mila!!! Ora esce! :)

Paradossalmente, fare il limite è più semplice, ma devo fingere di non conoscerli :D

Ciao,
ti ringrazio per avermi risposto! Non avendo ancora fatto infiniti e infinitesimi non ho però capito la tua spiegazione :(

Al corso di Analisi I mi hanno appena presentato il teorema dei tappabuchi come alternativa per verificare la derivabilità di una funzione in un punto x0, considerandone un intorno nel quale siamo certi che essa è derivabile. Anzichè verificare che esiste finito il limite del rapporto incrementale per x che tende al valore di x0, basta calcolare il limite, per x che tende al punto x0 che ho dapprima menzionata, della derivata prima (che esiste nell'intorno di x0). Se tale limite è finito, allora la derivata prima è il valore di tale limite. Tale teorema è inoltre dimostrabile (e quindi diretta conseguenza) con il teorema di De L'Hopital.

Siete alle derivate e non avete ancora fatto infinitesimi e infiniti? :confused:

Per quello che serve a noi:
Una funzione si dice infinitesima in x0 se il suo limite per x che tende a x0 è 0.
Se f e g sono infinitesime in x0, si dice che f è infinitesimo di ordine almeno pari a g se f/g si mantiene limitata in un intorno di x0. Questo è vero in particolare se f/g ammette limite finito in x0.

Per quanto riguarda il teorema del tappabuchi, mi sembra che dica che la funzione derivata prima, se converge in un punto, converge al limite del rapporto incrementale.
La dimostrazione di questo fatto non richiede il teorema di de l'Hôpital (che in realtà è di Johann Bernoulli) il quale dal canto suo va adoperato solo come ultima risorsa, quando gli altri metodi (definizione, limiti notevoli, ordine di infinitesimo, ecc.) hanno fatto fiasco.

Esperti di matematica, aiuto
 

Cercherò di essere breve. Più che di matematica sto parlando di teoria della probabilità e due sere fa ho avuto una discussione a proposito con dei miei amici e alla fine ci siamo divisi in due parti senza trovare un accordo. Premetto che nessuno di noi era particolarmente preparato sull'argomento quindi mi scuso in anticipo se la cosa dovesse risultare di una banalità imbarazzante.
Il problema sarebbe lungo da spiegare e quindi cercherò di fare un esempio diverso qui così che possa essere chiaro per tutti.

Diciamo che io ho un mazzo di 40 carte. Se pesco una carta, le probabilità che mi esca un asso sono 4/40 ovvero 1/10, giusto? La probabilità che, sempre pescando una carta, esca un asso di cuori sono 1/40. Credo che in probabilistica sia più corretto scrivere 0.025 però, visto che 1 significa evento certo e 0 è evento impossibile.

Ora, che probabilità ho di pescare questo asso di cuori se faccio tre pescate differenti, ogni volta rimescolando il mazzo? Quindi, nella totalità dei miei tre tentativi, indipendenti l'uno dall'altro, che probabilità ho di vedere ALMENO una volta un asso di cuori?

http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1221191
EDIT: va be', va... per questa volta unisco.

La prima parte di un esercizio di analisi numerica recita così:
Si vuole calcolare la radice positiva di una funzione f(x)= x^3 -2x-5 Si riconduca il problema al calcolo del punto fisso di una funzione x=g(x) .

il fatto è che non ho proprio capito cosa mi stia chiedendo di fare :(
devo farlo con matlab, ma passa in secondo piano, visto che non ho idea di cosa io debba fare...qualcuno può darmi qualche dritta ?

Come spiegavo qualche post poc'anzi, dati N eventi indipendenti di probabilità p, la probabilità che se ne verifichi almeno uno, è 1 meno la probabilità che non se ne verifichi nessuno, ossia 1-(1-p)^N.
Per p=1/40 ed N=4 tale probabilità è di circa il 9,63%.

Mi scuso intanto ma non avevo visto il thread dei problemi matematici.
N=4 sarebbe il numero delle pescate? io ne avevo ipotizzate 3. In tal caso sarebbe quindi circa 7,4. giusto?

Allora il metodo di fermat per trovare i numeri primi dice (almeno secondo i miei appunti)

Se a appartenente a Z >1 e a dispari
A non è primo se e solo se a = x1^2-y1^2

con x1 e y1 opportuni interi positivi
ed 1<x1+y1<a e 1<x1-y1<a

Quindi sia a>1 e a dispari
Cerchiamo, se a intero, gli interi x1,y1 t.c a=x1^2-y1^2

Da qui si ricava
x1^2 - a = y^2
quindi
x1^2-a >= 0 e x1^2 >= a

Da cui x1 >= radice di a

Sia k il minimo intero positivo t.c k >= radice di a

Abbiamo il seguente algoritmo:

1 passo: k^2-a, se otteniamo un quadrato perfetto ci fermiamo altrimenti passiamo al passo successivo

2 passo: (k+1)^2 -a, se otteniamo un quadrato perfetto ci feriamo altrimento continuiamo a sommare 1..

(ora viene il pezzo che non mi è chiaro)
Quindi dice che "l'algoritmo a termine perchè al piu:

x1 = (a+1)/2

perchè:

x1^2-a = ((a+1)/2)^2 -a

sviluppa le operazioni nel secondo membro dell'uguaglianza (sviluppa il quadrato è sottrae a)
ed infine otteniamo il seguente quadrato:

((a-1)/2)^2

Se l'algoritmo termina con questo passo allora A è primo.

Ora, come si spiega questa ipotesi di uscita dall'algoritmo?
Noi da un passo all'altro diciamo che ci fermiamo solo se otteniamo un quadrato perfetto. Quindi quella formula deve spiegare in qualche modo che per forza di cose fino alla fine otteremo un quadrato perfetto?

Sì, con tre pesate l'interprete Python mi dà un circa 7,31%.

Intanto ti ringrazio molto. Un'ultima cosa, mi puoi dire una fonte dove posso trovare questa formula e/o dove se ne parli più approfonditamente? grazie

Mmh ho quasi capito. Grazie :D

ti consiglio i PDF della Garetto dell'università di torino che spiegano in modo molto chiaro ed esaustio ciò che chiedi e sono anche ricchi di esempi

http://www.dm.unito.it/quadernididat...statistica.pdf

p.s.
hanno fatto capire un pò di calcolo combinatorio e statistica a tantissimi studenti

io sto cercando invece un buon articolo(non in puro matematichese) che spieghi in modo dettagliato i limiti di successione e con tanti chiari esempi

grazie 1000

Questa è una procedura abbastanza "classica" in analisi numerica.
Definisci g(x) come f(x)+x. Allora f(x)=0 se e solo se g(x)=x.
Usa uno degli algoritmi per la ricerca dei punti fissi, applicandolo a g(x).

grazie, ora il testo dell'esercizio mi è chiaro.

però non riesco a capire come devo procedere. io mi ritorvo con la mia f(x), la mia g(x) e il relativo x_k+1 .
ehm..la radice positiva come si trova ?
poi devo applicare newton analizzando la velocità di convergenza, ma dalle formule che ho non mi sono per nulla chiari i dati che devo usare. :(

data la seguente successione

n^2
-----------------
(2n + n)*(3n + 4)

n.b: nel testo è proprio scritto 2n + n e non 3n e Derive da come risultato 1/6

mi chiedo perchè sviluppando i prodotti al denominatore il risultato non è quello corretto

a me viene fatte anche le opportune semplificazioni:

n^2
-----------------
9n^2 + 12n

se ora al denominatore raccolgo una n^2

n^2
-----------------
n^2(9 + 12/n)

12/n tende a 0

e quindi fatta questa premessa il tutto tende a:

1
---
9


mentre invece il risultato corretto è 1/6 :muro:


grazie 1000




p.s.
avevo copiato male

n^2
-----------------
(2n + 1)*(3n + 4)

quindi è 1/6

Avrei anche questo problemino che mi attanaglia:

Salve a tutti, stavo svolgendo il seguente esercizio:

Devo fare un mazzo di 15 fiori spendendo in tutto 25euro

Contando che posso scegliere tra i seguenti fiori:

Orchidee che costano 5€
Rose che costano 2€
Tulipani che costano 1€

E devo metterci dentro almeno 3 rose.

Ho assegnato ai vari fiori delle variabili, rispettivamente x,y,z e ho messo tutto a sistema arrivandomi a creare la mia equazione diofantea:

4x+y=10

Essendo il MCD(4,1)=1|10 posso affermare che ha soluzioni e banalmente posso dire che sicuramente la coppia ordinata (1,6) è una delle nostre soluzioni.

Per trovarle tutte uso una formula che, di cui non so il nome e ne la dimostrazione che dice che:

(x0 + b/d * h; y0 -a/d * h) sono tutte le possibili soluzioni della mia equazione diofantea. Ovvero il primo membro sono le nostre x, il secondo membro le nostre y.Da qui mi calcolo anche Z che tra i calcoli per risolvere il precedente sistema ho che Z=15-x-y ovvero z=8+3h.

In conclusione devo trovare, mettendo tutti questi dati a sistema di disequazioni, come può variare H e quindi come posso fare questo mazzo di fiori, quindi arrivo alla seguente disequazione:

{(1+h >= 0),(6-4h >= 3),(8+3h >= 0)}

facendo i calcoli ottengo questo:

{(h>= -1),(h<=3/4),(h >= -8/3)}

Ora il punto in cui mi perdo è trovare le soluzioni di questo sistema tramite rappresentazione grafica di tutte le soluzioni, ovvero nel calcolo del segno.

I miei calcoli dicono, non so se sbagliato o meno, che h è soddisfatta per tutti i numeri minori di -8/3 e per tutti i numeri tra -1 e 3/4 mentre la dimostrazione della professoressa dice che le uniche due soluzioni sono -1 e 0.

Secondo quale procedimento logico dice questo?

Daccordo scarto 3/4 e prendo la cifra precedente perche stiamo parlando di numeri interi. -8/3 invece è -2,qualcosa, non dovrei prendere anche tutte le soluzioni minori di -2? Ovvero per quale procedimento logico ha scartato tutte quelle soluzioni?

data la seguente successione determinarne il limite

sqrt(n)^3-sqrt(n+1)^6
------------------------------
sqrt(n^2 + 1)

note: al numeratore si hanno rispettivamente una radice terza ed una radice sesta

ero partito scrivendo
(n)^1/3 - (n+1)^1/6
--------------------------
(n^2+1)^1/2

ora, se considero il termine al numeratore di ordine maggiore con quello del denominatore mi viene da dire che tende a zero cioè è come se ci fosse scritto:

(n)^1/3
--------------------------
(n^2+1)^1/2

ed essendo il numeratore un numero più piccolo, il tutto va verso lo zero.

Come sarebbero però tutti i passaggi ?

grazie 1000


io ho risolto così, spero si veda

{\frac{\sqrt[3]{n}-\sqrt[6]{n+1}}\sqrt{n^2+1}}=
{\frac{\sqrt[3]{n}}\sqrt{n^2+1}}-{\frac{\sqrt[3]{n+1}}\sqrt{n^2+1}}=
{\frac{n^{1/3}}{(n^2 + 1)^{1/2}}}-{\frac{(n+1)^{1/6}}{(n^2 + 1)^{1/2}}}=
{\frac{n^{1/3}}{n^2((1+1/n^2))}}-{\frac{n(1+1/n)^{1/6}}{n^2((1+1/n^2))}}=
{\frac{n^{1/3}}{(n^2)^{1/2}}}-{\frac{n^{1/6}}{(n^2)^{1/2}}}=
{\frac{n^{1/3}}{n}}-{\frac{n^{1/6}}n}=
{\frac{1}{n^{2/3}}}-{\frac{1}{n^{5/6}}}
\rightarrow 0


p.s.
ho usato questo programma online

Speri male.:D

se vai al link che ho postato ed incolli quella specie di formula la vedi :)

Questo passaggio non l'ho capito:
{\frac{n^{1/3}}{(n^2 + 1)^{1/2}}}-{\frac{(n+1)^{1/6}}{(n^2 + 1)^{1/2}}}=
{\frac{n^{1/3}}{n^2((1+1/n^2))}}-{\frac{n(1+1/n)^{1/6}}{n^2((1+1/n^2))}}

Se hai (n^2+1)^(1/2) non puoi arrivare a (n^2)(1+1/n^2).
Casomai:


Comunque io risolverei così:

scusa, errore di digitazione

\frac{\sqrt[3]{n}-\sqrt[6]{n+1}}\sqrt{n^2+1}}=
{\frac{\sqrt[3]{n}}\sqrt{n^2+1}}-{\frac{\sqrt[6]{n+1}}\sqrt{n^2+1}}=
{\frac{n^{1/3}}{(n^2 + 1)^{1/2}}}-{\frac{(n+1)^{1/6}}{(n^2 + 1)^{1/2}}}=
{\frac{n^{1/3}}{(n^2(1+1/n^2))^{1/2}}}-{\frac{n(1+1/n)^{1/6}}{(n^2(1+1/n^2))^{1/2}}}=
{\frac{n^{1/3}}{(n^2)^{1/2}}}-{\frac{n^{1/6}}{(n^2)^{1/2}}}=
{\frac{n^{1/3}}{n}}-{\frac{n^{1/6}}n}=
{\frac{1}{n^{2/3}}}-{\frac{1}{n^{5/6}}


QUI

Ciao a tutti, ho un dubbio su come si risolvono le disequazioni con due valori assoluti. Come questa:



E poi anche le disequazioni esponenziali, come questa:



Grazie

altro dubbio!
se abbiamo il caso di:

sqrt(x+1) < 3x + 2

si devono scrivere 3 disequazioni:
A(x)>=0
B(x)>0
A(x)<(B(x))^2

mi chiedevo se nel caso della presenza anche del modulo le disequazioni divento 5 in quanto si deve considerare anche quando il modulo è poisitivo e qudno è negativo

esempio
sqrt(|x+1|) < 3x-4

grazie

ho voluto provare la tua disequazione per esercizio

|2x-3|>|x+1|

|2x-3|=2x-3 quando x >= 3/2
|2x-3|=-2x+3 quando x < 3/2

|x+1|=x+1 quando x >= -1
|x+1|=-x-1 quando x < -1


guardiamo i 4 casi in due sistemi di disequazioni


caso in cui x >= 3/2
2x-3 > x+1
sol: x > 4

caso in cui x < 3/2
-2x+3 > x+1
sol: x < 2/3
caso in cui x >= -1
-2x+3 > x+1
sol: x < 2/3

caso in cui x < -1
-2x+3 > -x-1
sol: x < 4
x < 2/3 v x > 4

Per il primo problema, se spulci le pagine precedenti trovi tutto.
Comunque:

|2x-3|>|x+1|

Il primo valore assoluto mi chiede di studiare il segno di 2x-3.
Ciò implica che quella quantità è >=0 se x>=3/2

Il secondo valore assoluto mi dice che x+1>=0 se x>=-1.

Ora faccio le seguenti considerazioni:
facendo variare x da -inf fino a valori sempre più positivi, noto che
2x-3<0 e x+1<0
ciò avviene finché arrivo a -1. Infatti, per quel valore
2x-3<0 e x+1=0

Il simbolo valore assoluto mi dice che se la quantità al suo interno è negativa allora devo scriverla col segno cambiato. Se è nulla la lascio tale.
Quindi, finché x è MINORE di -1 la disequazione ha entrambi i valori assoluti minori di zero, quindi va scritta come

3-2x>-x-1

Adesso, facendo variare x da -1 in avanti, ho che
2x-3<0 e x+1>=0
finché non arrivo a 3/2, perché in quel caso ho
2x-3=0 e x+1>0
Ciò significa che da -1 compreso fino a 3/2 escluso, il primo valore assoluto è negativo, il secondo è positivo oppure nullo. Perciò
3-2x>x+1

Ora riparto da 3/2 compreso e vado avanti fino all'infinito.
Ho che entrambe le quantità contenute nei valori assoluti sono positive o nulle(il primo valore assoluto è nullo in 3/2), quindi la disequazione va scritta come

2x-3>x+1

Il succo di ciò è che devo risolvere tre sistemi di disequazioni:

/ 3-2x>-x-1
|
\ x<-1

/ 3-2x>x+1
| x>=-1
\ x<3/2

/ 2x-3>x+1
|
\ x>=3/2

Il primo sistema dice, sviluppandolo, che x<4 e x<-1. Ma la sintesi di ciò è che x<-1(interseco le condizioni).

Il secondo dice che x<2/3, x>=-1 e x<3/2. L'intersezione delle tre condizioni porta a -1<=x<2/3

Il terzo dice che x>4 e x>=3/2. Quindi x>4.

La soluzione di tutto quanto è che x deve appartenere all'unione di queste 3 condizioni. Quindi l'insieme delle soluzioni è

S=]-inf;-1[ U [-1;2/3[ U ]4;+inf[

I primi due insiemi si uniscono in modo naturale, qundi:

S=]-inf;2/3[ U ]4;+inf[


SE NON HO FATTO ERRORI:D

SBAGLI I CASI: sono 3, non 4.
Due valori assoluti tagliano una corda in due punti: quanti pezzi di corda ti rimangono? 3.:D

Questo va bene.

Questo non va bene. x+1 cambia segno se "x è abbastanza minore di 3/2".

Guarda il mio post precedente.

Grazie, il compito era fissato per stamattina, invece il prof ha deciso di rinviare a mercoledì prossimo! Così ho più tempo per esercitarmi:D

Questa è facilmente risolvibile col cambio di variabile, cioè (in questo caso)

Quindi ottieni:

Che si risolve facilmente:

Quindi hai una parabola con concavità rivolta verso l'alto che interseca l'asse x nei punti e .
Da ciò deriva che l'intervallo che soddisfa la tua disequazione è I (1,9), cioè 1 < t < 9.
Ma andando a sostituire, ottieni 1 < < 9, che si scompone in 2 disequazioni:
a-
b-

a:

Dato che la base dell'esponenziale è maggiore di 1, la funzione è crescente, quindi il segno della disuguaglianza rimane invariato.


b:

Stesso discorso di prima, quindi:


Scomponendo la catena di disuguaglianze hai ottenuto un sistema di disequazioni, quindi bisogna trovare le soluzioni comuni:

Funzioni invertibile
 

Buon Salve! Sono tornato!

Non riesco manco a cominciare l'esercizio seguente, cosa bisogna fare?

Data la seguente funzione: y=x+ln(x), determina gli intervalli in cui è invertibile.
Detta g(x) la sua inversa, determina g'(e+1).

:fagiano:

non mi sembra nemmeno lineare quella funzione :stordita: