Questo è stato l'ultimo tuo post in merito che ho letto. Scusami ancora se ti presso.

Mi sembra che Banus abbia dato un'ottima risposta poco sotto:
Passando alle definizioni:

La derivata di Gâteaux nella direzione v è definita, se esiste, come il numero



La derivata di Fréchet è definita, se esiste, come l'operatore lineare limitato A tale che



Quindi, la derivata di Gâteaux generalizza la derivata direzionale, e richiede solo l'esistenza di un intorno convesso; la derivata di Fréchet generalizza il differenziale, e richiede una metrica, anzi, leggo su Wikipedia, addirittura una struttura di spazio di Banach.

ZioSilvio grazie per l'aiuto, ma in realtà ho capito molto poco. Tuttavia la colpa è solo mia.

Ora ho un altro problema. Ho lim (per x che tende a zero) di cos(x)^(1/sinx).
Per risolverlo ho provato a trasformarlo facendo e^ln(cosx/sinx). Ma poi?Che questa non sia la strada giusta. Illuminatemi ragazzi.

No, no.
Così non va.
Sta' alla larga dai sensi di colpa: sono l'arma che i governi, le associazioni, le religioni, le donne ecc. adoperano contro di noi per costringerci a fare quello che vogliono loro.
Il senso di colpa è un pericolosissimo regolatore degli equilibri sociali.
Va detto che (cos(x))^(1/sin(x)) è uguale ad e^ln(cosx/sinx), se e solo se cos(x)/sin(x) è positivo; altrimenti, è uguale ad e^ln(-cosx/sinx).

Io adopererei i limiti notevoli: per x vicino a 0, cos x si comporta come 1-x^2/2 e sin x si comporta come x.
Quindi, per x vicino a 0, (cos x)^(1/sin x) s comporta come



Per t vicino a 0, (1-t)^(1/t) è vicino ad 1/e... ti manca solo qualche manipolazione...

:sbonk: :sbonk: :sbonk: :sbonk: :sbonk: :sbonk: :sbonk:

non vorrei dire una troiata ma x^y non è =e^(y*ln(x))?

È vero.
Mi sa che ci siamo fatti imbrogliare dal fatto che l'esponente fosse una frazione.

Riproviamo:



L'esponente, per x vicino a 0, è circa



o anche a



Quindi direi che il limite è lo stesso che si calcola nell'altro modo, ossia...

sei cosi autorevole che mi è venuto il dubbio di ricordarmi male anche se l'evidenza era quella:D

Tieni sempre a mente che il principio di autorità non è valido in scienza.

Vabbé, lui ti ha definito "autorevole", non autoritario...

:Prrr:

chiedo gentilmente un aiuto su come procedere per il calcolo di questa sommatoria:

grazie come al solito :)

Facendo un esperimentino in Python, ho ottenuto che
- per M=1 la sommatoria vale 0,
- per M=2 vale 2,
- per M=3 vale 8 = 2*(1+3),
- per M=4 vale 20 = 2*(1+3+6),
eccetera.

Quindi, direi che la somma è uguale al doppio di quella dei primi M-1 numeri triangolari.

Per una dimostrazione formale, però, mi sa che dovrai aspettare domani, o chiamare qualche altra anima pia...

Prendi il termine generico (2m-1-M)^2, espandilo ((2m) - (1+M))^2 = ... e poi applica la proprietà associativa della somma e distributiva del prodotto rispetto alla somma: ti basterà conoscere la



e la

Ricordo che l'n-esimo numero triangolare è T(n) = n*(n+1)/2, la somma dei primi n interi positivi.
Si osservi che T(n)+T(n+1) = (n+1)^2 per ogni n.

Per induzione su M. La tesi è vera per M=1 e per M=2.

Supponiamo la tesi vera per M. Allora

Questo, però, quale uguaglianza dimostra?

Non riesco a capire il senso di questa domanda.

Credo che lo scopo sia calcolare una funzione di una variabile:

f(M) = \sum_{m=1}^{M} (2m-1-M)^2

dove basta fare i calcoli:

f(M) = \sum_{m=1}^{M} (2m-1-M)^2 =

= \sum_{m=1}^{M} (2m-(1+M))^2 =

= \sum_{m=1}^{M} 4m^2 - 4m(1+M) + (1+M)^2 =

= 4 \sum_{m=1}^{M} m^2 - 4 (1+M) \sum_{m=1}^{M} m + (1+M)^2 \sum_{m=1}^{M} 1 =

= 2 M (M+1) (2M+1) / 3 - 2 M (1+M)^2 + M (1+M)^2 =

= 2 M (M+1) (2M+1) / 3 - M (1+M)^2 =

= M (1+M) (2/3 (2M+1) - 1 - M) =

= M (1+M) (1/3 M - 1/3) =

= M (M^2 - 1) / 3



PS1: infatti f(M) = M (M^2 - 1) / 3 si accorda coi valori espliciti per M=1..4 trovati da Ziosilvio.

PS2: ok, ora ho capito l'osservazione: credo che l'esercizio consistesse semplicemente nel trovare la forma chiusa di f(M); Ziosilvio ne ha dato la definizione ricorsiva. Dipende da che cosa voleva d@vid.

Sì; ripensandoci, credo anch'io che stiamo parlando di due cose diverse.
Tu hai dato una formula per f(M) meno complicata di quella originaria.
Io volevo evidenziare un'uguaglianza che trovavo interessante.

grazie a tutti!!
si, volevo riuscire a capire come si arrivava alla soluzione per esprimere f(M)

grazie di nuovo!

ragazzi ho questa equazione differenziale:


come faccio a trovare il rapporto r/delta?
Riesco a trovare r, ma poi non riesco a ricavare r/delta...

Serbring, ritaglia l'immagine, scombicchera tutto il layout... :eek:

Comunque non saprei aiutarti, per esplicitarla rispetto a r/d dovresti avere un da qualche parte ma non ce ne sono...