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Ziosilvio 22-02-2007 09:09

Quote:

Originariamente inviato da pazuzu970 (Messaggio 16062080)
Piccolo teorema notturno di pazuzu: "Se la somma di tre numeri complessi è nulla, allora la somma dei loro cubi è pari al triplo del loro prodotto".

Funge, funge...

:ciapet:

P.S.: Silvio mi raccomando, non postare la dimostrazione. Piuttosto pensa ad una possibile generalizzazione del teoremino, da mutare in "Grande teorema diurno di Ziosilvio"!... :D

Boh... l'unica cosa che mi viene in mente è questa (non so neanche se sia vera, e adesso non mi va di cercare una dimostrazione).
Dati n numeri complessi z1, ..., zn, se



allora



Per n=2 funziona...

teo 22-02-2007 11:09

Data la serie:


con


  • Determinare l'insieme T dei valori di x per cui la serie converge puntualmente
  • Determinare in tale insieme la somma della serie
  • determinare su quali insiemi converge uniformemente
  • Mostrare che la serie non converge uniformemente su

Grazie a tutti :)

Fenomeno85 22-02-2007 12:16



come si risolve?

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

Ziosilvio 22-02-2007 12:57

Quote:

Originariamente inviato da teo (Messaggio 16081314)
Data la serie:


con


Poni t = sin x.
Osserva che puoi portare un fattore t fuori dalla serie, quindi per t<>0 ti riduci a studiare il comportamento di


Quote:

Determinare l'insieme T dei valori di x per cui la serie converge puntualmente
Per l'analisi fatta poco fa, questo insieme include i valori di x in cui t = sin x >= 0, ed esclude quelli in cui t<0.
Quote:

Determinare in tale insieme la somma della serie
Per t=0 la somma della serie è ovviamente nulla.
Per t>0, dato che



ottieni subito



Sulle altre due ci penso un po'.

teo 22-02-2007 13:18

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16082907)

Per t=0 la somma della serie è ovviamente nulla.
Per t>0, dato che



.

Non abbiamo capito come si passa all'espressione in mezzo...

;)

Ziosilvio 22-02-2007 13:35

Quote:

Originariamente inviato da Fenomeno85 (Messaggio 16082344)


come si risolve?

Tieni conto dei limiti notevoli





e



Per cui,



non può che essere -1/3.

Ziosilvio 22-02-2007 13:37

Quote:

Originariamente inviato da teo (Messaggio 16083261)
Non abbiamo capito come si passa all'espressione in mezzo

Serie geometrica di fattore 1/(1+t).

Fenomeno85 22-02-2007 13:49

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16083555)
Tieni conto dei limiti notevoli





e



Per cui,



non può che essere -1/3.

mm perchè derive mette - 8/3?

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

Ziosilvio 22-02-2007 13:54

Quote:

Originariamente inviato da Fenomeno85 (Messaggio 16083819)
perchè derive mette - 8/3?

Ricontrollato con Maxima: viene -1/3.
Sicuro di aver scritto bene?

Fenomeno85 22-02-2007 14:08

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16083906)
Ricontrollato con Maxima: viene -1/3.
Sicuro di aver scritto bene?

scusa ho scritto male io in latex ... era nel nominatore .. (sin (2x))^3 non sin x^3

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

Ziosilvio 22-02-2007 14:25

Quote:

Originariamente inviato da Fenomeno85 (Messaggio 16084174)
scusa ho scritto male io in latex ... era nel nominatore .. (sin (2x))^3 non sin x^3

Perfetto; infatti, se rifai i conti adesso, l'ultimo fattore a numeratore è (2x)^3, che lascia fuori proprio una costante 8.

Fenomeno85 22-02-2007 18:43

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16084498)
Perfetto; infatti, se rifai i conti adesso, l'ultimo fattore a numeratore è (2x)^3, che lascia fuori proprio una costante 8.

si grazie

numeri complessi

ho



raccolgo



quindi le soluzioni sono


e


fin qui nessun dubbio adesso è come risolvere la seconda



quindi ho


se risolvo




ne trovo solo due però .. le altre due? Fin qui è giusto?

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

ChristinaAemiliana 22-02-2007 19:08

No!

Le radici di un numero complesso si valutano meglio utilizzando la forma esponenziale.

Se devi calcolare la radice n-esima le tue radici saranno tali da avere:

- modulo: (ro)^(1/n)

- argomento: theta/n + 2k*pigreco/n con k=0,1,2,...,n-1

Nel tuo caso devi trovare le radici quarte di -1 che in forma esponenziale si scrive così:

-1 = (1)*e^(pi)i

con modulo ro=1 e argomento theta=pi.

Applica la formula e troverai le tue 4 radici:

z1 = e^(pi/4)i

z2 = e^(pi/4 + pi/2)i

eccetera...noterai che sono i vertici di un quadrato. ;)

Spero di non aver scritto scemenze, sono di fretta, casomai correggo dopo cena! :D

pazuzu970 22-02-2007 21:38

Quote:

Originariamente inviato da teo (Messaggio 16081314)
Data la serie:


con


  • Determinare l'insieme T dei valori di x per cui la serie converge puntualmente
  • Determinare in tale insieme la somma della serie
  • determinare su quali insiemi converge uniformemente
  • Mostrare che la serie non converge uniformemente su

Grazie a tutti :)

Ai primi due punti ha già risposto ziosilvio.

Per il terzo, potendo pensare la serie come prodotto di 1/(1+ senx)^n per la funzione limitata senx, direi che, per un noto teorema, converge uniformemente in ogni compatto contenuto nell'insieme di convergenza della sola 1/(1+senx)^n, cioè ogni compatto contenuto in (0, pi).

Sicuro che al punto successivo chieda di mostrare che non converge uniformemente su tutto (0, pi)?

Se è così devo continuare a pensarci...

:(

Ziosilvio 23-02-2007 11:49

Quote:

Originariamente inviato da teo (Messaggio 16081314)
Data la serie:


CUT

determinare su quali insiemi converge uniformemente

Con delle maggiorazioni abbastanza immediate si vede subito che la serie converge uniformemente in ogni compatto contenuto in (0,Pi). Da qui in poi basta usare la periodicità.
Quote:

Mostrare che la serie non converge uniformemente su
Qui torna utile 'sto lemmino, che mi sono dimostrato un attimo fa.
Sia x0 un punto di accumulazione per X, e sia f[n] una successioni di funzioni a valori reali definite su X-union-{x0} e ivi continue.
Supponiamo che f[n] converga a f uniformemente in X.
Se esiste finito

allora esiste anche

e i due limiti coincidono.

Dato per vero il lemma, supponiamo per assurdo che la serie converga uniformemente in (0,Pi).
Sappiamo che la serie converge nell'origine. Per il lemma, il valore della serie in 0 dovrebbe allora essere uguale al limite per x-->0 dei valori della serie in x, per x in (0,Pi).
Questo non succede, perché per x tra 0 e Pi esclusi la serie vale 1+sin(x), che tende a 1 per x-->0.

Adesso dimostriamo il lemma.
Sia L il limite di cui asseriamo l'esistenza. Fissiamo epsilon>0. Per ogni x in X, n in IN risulta



Scegliamo n tanto grande che
- |f(x)-f[n](x)|<epsilon/3 per ogni x in X, possibile per convergenza uniforme; e
- |f[n](x0)-L|<epsilon/3, possibile per ipotesi.

A questo punto, scegliamo delta tanto piccolo che, se x è in X e |x-x0|<delta, allora |f[n](x)-f[n](x0)|<epsilon/3, cosa possibile per continuità di f[n]. Allora per tali x si ha


pazuzu970 23-02-2007 13:07

Quote:

Originariamente inviato da Ziosilvio (Messaggio 16096444)
Con delle maggiorazioni abbastanza immediate si vede subito che la serie converge uniformemente in ogni compatto contenuto in (0,Pi). Da qui in poi basta usare la periodicità.

Qui torna utile 'sto lemmino, che mi sono dimostrato un attimo fa.
Sia x0 un punto di accumulazione per X, e sia f[n] una successioni di funzioni a valori reali definite su X-union-{x0} e ivi continue.
Supponiamo che f[n] converga a f uniformemente in X.
Se esiste finito

allora esiste anche

e i due limiti coincidono.

Dato per vero il lemma, supponiamo per assurdo che la serie converga uniformemente in (0,Pi).
Sappiamo che la serie converge nell'origine. Per il lemma, il valore della serie in 0 dovrebbe allora essere uguale al limite per x-->0 dei valori della serie in x, per x in (0,Pi).
Questo non succede, perché per x tra 0 e Pi esclusi la serie vale 1+sin(x), che tende a 1 per x-->0.

Adesso dimostriamo il lemma.
Sia L il limite di cui asseriamo l'esistenza. Fissiamo epsilon>0. Per ogni x in X, n in IN risulta



Scegliamo n tanto grande che
- |f(x)-f[n](x)|<epsilon/3 per ogni x in X, possibile per convergenza uniforme; e
- |f[n](x0)-L|<epsilon/3, possibile per ipotesi.

A questo punto, scegliamo delta tanto piccolo che, se x è in X e |x-x0|<delta, allora |f[n](x)-f[n](x0)|<epsilon/3, cosa possibile per continuità di f[n]. Allora per tali x si ha



:winner:

Però maggiorare con epsilon/3 è un esercizio di stile che lascerei a certi autori che credono di portare argomentazioni didattiche sul concetto di limite, rendendo invece "tecnico" ciò che tecnico non è! - so bene che la tua intenzione era ovviamente un'altra...

:D

Bravo Silvio!

;)

retnI W 23-02-2007 16:27

Problema di analitica
 
Allora, so Xa e Ya e Xb e Yb che determinano i punti A e B sul piano.
La retta passante per A e B è quindi nota (retta r).
Come faccio a sapere le coordinate Xc Yc del punto C appartenente alla retta passante per B e perpendicolare alla retta r (passante per A e B).
Ho appena iniziato l' analitica a scuola...una manina me la date?:D

Grazie!

pazuzu970 23-02-2007 19:04

Scusa, ma il punto che cerchi è sempre B, no???

retnI W 23-02-2007 20:39

No.
A me servono le coordinate di C.
Le coordinate di A e B sono note.
La retta passante per B e per C è perpendicolare alla retta passante per A e B.
La distanza d tra B e C è nota.

pazuzu970 23-02-2007 21:26

Quote:

Originariamente inviato da retnI W (Messaggio 16101024)
Allora, so Xa e Ya e Xb e Yb che determinano i punti A e B sul piano.
La retta passante per A e B è quindi nota (retta r).
Come faccio a sapere le coordinate Xc Yc del punto C appartenente alla retta passante per B e perpendicolare alla retta r (passante per A e B).
Ho appena iniziato l' analitica a scuola...una manina me la date?:D

Grazie!


Evidentemente sto invecchiando, perché non riesco a capire di che punto C parli.

Ogni punto della perpendicolare, passante per B, alla retta r di cui parli potrebbe essere il tuo punto C!


:confused:


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