Semplificazioni del tipo? mettere a denominatore comune ad esempio?

Quello che mi lascia perplesso è la presenza del logaritmo naturare nella disequazione INSIEME ad altri polinomi.
Se nello studio del segno compariva solo il logaritmo nat. allora bastava porre l'argomento > 1 per le x positive.
Ma qui la x non compare solo nell'argomento del logaritmo, ma anche fuori.

Un aiutino? :p

Prova a sfruttare il fatto che (x^2-1) = -(1-x^2)...:D

Avevo pensato anch'io a questo sistema.
Poni y=x^2-1 e studia come varia f in funzione di y anziché di x.
Quando hai fatto questo, osservi dove y è una funzione crescente di x e dove è decrescente, e valuti di conseguenza il comportamento di f in funzione di x. (Si tratta solo di lasciare lo stesso verso di crescenza, o cambiarlo.)

E' vero, non ci avevo pensato :D

Facendo così mi viene : -2x( log(x^2 -1) +1 ) > 0

che mi da come risultato (x positivi) x < -e^-1 +1 V -1/2 < x < e^-1 +1

Confrontando con il grafico della funzione fatto con Derive, i punti di massimo non coincidono! Quindi ho sbagliato qualcosa :cry:

Inoltre già che ci sono, a me il limite per x -> 1 della funzione viene -infinito, mentre sempre dal grafico di derive dovrebbe venire 1. Ho sbagliato ancora? :(

non capisco l'1/2... ma soprattutto ti sei dimenticato delle radici quadrate

a me la crescenza viene tra x<-sqrt((e^-1)+1) e 1<x<sqrt((e^-1)+1)

:confused:

Mi è venuta un'altra idea.

Sia f(x) = (x^2-1)^(1-x^2).
Osserva che f è pari ed è definita in (-oo,-1) e (1,+oo), e positiva ovunque è definita.
Osserva che f(x) = g(x^2-1), dove g(y) = y^-y.
Osserva che g'(y) = -(y^-y) * (1 + ln y).
Allora, f'(x) = g'(y(x))*y'(x) = -2x * ((x^2-1)^(1-x^2)) * (1 + ln(x^2-1)).
Per x>1, risulta f'(x)>0 se e solo se ln(x^2-1)<-1, ossia se x^2-1<1/e, ossia se x < sqrt(1+1/e).
Quindi, f è crescente in (1,1+1/e) e decrescente in (1+1/e,+oo).
Per parità, f è decrescente in (-1-1/e,-1) e crescente in (-oo,-1-1/e).

Hai ragione! :) Devo essere più calmo quando faccio i calcoli :muro:


Non capisco come hai fatto a calcolarti la derivata di y^-y.
Potresti spiegarmi i passaggi?

Ed infine, mi riquoto:
Grazie :)

Vedila così...

g(y) = y^-y = e^ln(y^-y) = e^(-ylny)

g'(y) = e^(-ylny)*[-lny -y/y] = -g(y)*[1 + lny]

Ponendo y=x^2-1 trovi



Ora, notoriamente



come puoi osservare tu stesso applicando la regola di de l'Hôpital con numeratore log y e denominatore 1/y.

Da questo e dalla continuità dell'esponenziale segue il risultato cercato.

ma che funzione strana! non è definità ovunque in R ma a punti!

ad esempio f(1/2)=(-3/4)^(3/4) che non appartiene a R
!!!
strana, non mi era mai capitata una funzione cosi...

Sei stato molto chiaro, come sempre.
Avevo fatto l' n-esimo errore di calcolo :doh:

Alla prossima :D

Buongiorno ragazzi. Avrei bisogno di un esempio di funzione continua che non ammetta massimo o minimo (o entrambi), riuscite a darmi una mano? :help:

Se oltre ad essere continua non ci sono altre ipotesi, puoi ad esempio prendere il logaritmo naturale di x, oppure e^x.
Queste funzioni non hanno massimo e minimo.

Ti ricordo però che se una funzione è definita in un insieme chiuso e limitato (compatto), per il teorema di weierstrass, l'immagine ha sempre massimo e minimo.

Vado a memoria, se ho scritto cavolate correggetemi. :D

f(x)=x

:stordita:

Ops, non ci avevo pensato :p

Grazie ad entrambi ;).

;)

salve
tra un paio di giorni ho il compito di geometria analitica (siamo alle prime cose, equazione della retta, rette parallele, perpendicolari ecc), ma non ho capito molto bene ( e in particolare le rette parallele agli assi, la legge dei passi, alcune cose sul coefficiente angolare (n= y/x?) ). avete qualche sito o appunto su cui prepararmi e ripassare per il compito? grazie

Ciao ragazzi, mi potreste dire come calcolare il modulo di
e^(-sqrt(i))
Dove i è l'unità immaginaria

Anzitutto, ricorda la definizione dell'esponenziale complesso: se z=x+iy, allora



In particolare, |e^z| = e^x.
Nel nostro caso, z=-sqrt(i).
Ora, un numero complesso non nullo ha n radici n-esime: suppongo l'esercizio intenda la determinazione principale della radice quadrata.
In tal caso, essendo i = cos Pi/2 + i sin Pi/2, risulta sqrt(i) = cos Pi/4 + i sin Pi/4. Quindi:

grazie

Sono a Roma per qualche giorno, e posso usare i libri della mia biblioteca domestica.

Sul "Manuale di matematica" di Spiegel (volume 10 della collana Schaum) ho trovato questa formula:



dove



è la funzione gamma di Eulero, e



è la funzione zeta di Riemann.

Quindi, per calcolare l'integrale, possiamo applicare la formula con n=4.
Ora, Gamma(4)=3!=6, mentre è noto che zeta(4)=Pi^4/90; per cui

si puo costruire uno spazio chiuso a curvatura negativa?

Raga qualcuno mi saprebbe dire come calcolare molteplicità algebrica e geometrica di un autovalore?
Devo verificare se la seguente matrice è diagonalizzabile:
2 3 0
2 1 0
0 0 4

vado prima a trovarmi gli autovalori che sono:
t=4 t=4 e t=-1

il testo mi dice che la molteplicità algebrica per 4 è 2, mentre per -1 è 1. Sinceramente non ho capito il perchè!
Poi dice che la moltecplicità geometrica per 4 è 2, perchè?

Grazie a coloro che mi daranno una mano! :D

La molteplicità algebrica di un autovalore di una matrice quadrata A, è la sua molteplicità come radice del polinomio caratteristico det(tI-A).
La molteplicità geometrica è la dimensione del sottospazio generato dagli autovettori corrispondenti.
La molteplicità geometrica non è mai maggiore della molteplicità algebrica, né minore di 1.
Se ogni autovalore della matrice ha molteplicità geometrica uguale alla molteplicità algebrica, allora la matrice è diagonalizzabile; e viceversa.
Il polinomio caratteristico della matrice è ((t-2)*(t-1)-6)*(t-4)=(t^2-3t-4)*(t-4).
Di questi, il fattore di secondo grado ha somma delle radici pari a 3 e prodotto pari a -4: l'unica coppia di valori reali che soddisfa queste condizioni è quella formata da -1 e 4.
Quindi il polinomio caratteristico si riscrive (t+1)*(t-4)^2, la radice t=-1 ha molteplicità 1, e la radice t=4 ha molteplicità 2.
Sia A la tua matrice.
Il vettore v=(0,0,1) soddisfa l'equazione Av=4v, quindi v è un autovettore corrispondente all'autovalore v=4.
Anche il vettore w=(3,2,0) soddisfa l'equazione Aw=4w, ed è un autovettore corrispondente all'autovalore v=4.
Dato che v e w sono linearmente indipendenti, il sottospazio generato dagli autovettori corrispondenti all'autovalore t=4 ha almeno dimensione 2. Quindi...

Grazie Zio, ho ancora un altro dubbio...la molteplicità geometrica può corrispondere col rango della matrice?

Sì, è possibile: è proprio quello che accade, per esempio, con la matrice identità.

andando a calcolare l'integrale doppio di xe^y^2 con x^2<y<x^(2/3) e 0<x<1 mi sembra proprio non ci sia nessun modo di risolverlo, perchè si avrebbe integrale di e^y^2dy
Posso concludere che è un errore del testo o sto prendendo un abbaglio clamoroso?

Di che esame si tratta?

Se l'integrando fosse y*exp(y^2) invece di x*exp(y^2), si risolverebbe facilmente.
Ma qui, devi calcolare



e le primitive di exp(y^2) non si esprimono per mezzo di funzioni elementari, ma richiedono l'impiego di funzioni speciali, come la funzione degli errori immaginaria.

grazie per la risposta.
In effetti è un esame di Analisi2, dove le funzioni immaginarie non vengono trattate.
Menomale, allora è stato commesso un errore e non da parte mia :)

qualcuno mi può aiutare?

ho una funzione y=(x^2+2x-9)/(x^2-4)

questa funzione ha due punti speculari rispetto all'origine degli assi...proprio non riesco a trovarli :wtf:

Non riesco ad integrare questa funzione.
Probabilmente bisogna utilizzare il metodo di sostituzione, che non mi è molto chiaro (in particolare non sempre riesco a capire quale parte della funzione devo porre come parametro).

int e^2x/(e^2x - e^x - 2) dx

Qualcuno può aiutarmi?

provo a darti uno spunto, anche perchè di più nn riesco, a quest'ora nn connetto più e inoltre sono mesi che nn faccio un integrale e nn sono freschissimo, prova così

scomponi il denominatore in (e^x - 2)(e^x + 1) e ottieni quindi

int( e^2x / [(e^x - 2)(e^x + 1)] ) dx

a questo punto dovresti dividere in due parti la frazione, ognuna con denominatore uno dei fattori del denominatore e quindi integrare i due integrali che ottieni

ciao

Purtroppo anche scomposti, non sono in grado di integrarli!
Proprio non ho idea di come possa fare!!!


E' quello che avevo fatto. E dopo? Come lo integro?

Grazie a tutti e due :)

Mamma mia, non ho mai visto ste formule prima!!! (ed i prof non ne hanno mai parlato).

Mi sembra strano che non ci sia un metodo più semplice :D

Comunque grazie

integrali di quinto liceo? e certo, purtroppo la maggior parte dei prof non sa neanche bene cosa è un integrale :cry:

spero di avere risposta veloce ad una domanda scema...

argomento: soluzione approssimata di un'equazione utilizzando il metodo di bisezione

con la mia prof abbiamo utilizzato la tabella che vedete sotto
allora:

-data l'equazione prendo un'intervallo dove un valore sia <0 e l'altro >0 (in questo caso 1 e 2)
inizio a riempire la tabella
fino ad f(bk) non c'è problema... Xk cos'è? o meglio, come lo calcolo?

nel passaggio successivo ricordo che devo sostituire Ak o Bk con Xk, ma non ricordo seguendo quale regola...

help :mc:

ok, Xk è metà intervallo... calcolo f(Xk)... e Ak-Bk come "controllo"...

poi? :mc:

forse ho trovato...

dopo aver completato la 1° riga :

SE Ak*Bk>0 sostiuisco Ak della 2° iterazione con Xk
SE Ak*Bk<0 sostituisco Bk della 2° iterazione con Xk

matematici ditemi che è così :cry:

infatti è giusto ti sembri strano.
Le matematiche non elementari raramente si basano sul sapere un numero enorme di formule. Molte volte bastano un paio di regole e un po di inventiva. Ad analisi ho imparato una cosa: l'analisi base (tipo questa) è fondamentalmente o lo studio di polinomi, o il rincondursi allo studio di polinomi :D:D
quindi è importante sempre ricordarsi le principali operazioni nei campi di polinomi (divisione, MCD, fattorizzazione, algoritmo divisioni successive...)

Comunque, tornando al tuo problema:
Effettuiamo una sostituzione prima:
t=e^x -- x=log(t) -- x'=1/t

quindi

int(f(e^x) dx=int(f(t)*(1/t) dt = int( t/(t^2-t-2) dt

mi accorgo che il polinomio sotto è riducibile, aggiungo poi sopra +1 -1

int( (t+1-1)/(t+1)(t-2) dt = int ( 1/(t-2) - 1/(t+1)(t-2) = 0

già è molto piu carino, ma il secondo membro ancora non lo integrare.
Provo quindi a riscrivere la frazione di secondo grado come somma di due frazioni di primo grado

A/(t+1) + B/(t-2) = (At-2A +Bt+B)/(t^2-t-2) = [ (A+B)t + B-2A ]/(t^2-t-2)

mettendo a sistema A+B=0 (essendo di grado zero i termini di primo grado) B-2A=1 (essendo uno il termine noto) otteniamo A=-1/3 B=1/3

otteniamo che il polinomio frazionario di secondo grado di prima si può scrivere come somma di due polinomi frazionari di primo grado:

int( 1/(t-2) +1/[3(t+1)] - 1/[3(t-2)] dt )

L'integrale della somma è la somma degli integrali, e gli integrali dentro sono integrali banali che sappiamo risovere, e quindi diventa:

log(t-2) +(1/3)log(t+1) -(1/3)log(t-2)

che si può riscrivere come (sostituendo t)

(1/3)log[ (e^x -2)^2 * (e^x+1) ]


ora però io non sò se i miei calcoli sono giusti, magari ho sbagliato. Che faccio? vado a verificare qui http://integrals.wolfram.com/index.jsp e scopro che è corretto.

Facile no? :D:D