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Se usi questo cambio di coordinate: x=rho*sin(theta)*cos(phi) y=rho*sin(theta)*sin(phi) z=rho*cos(theta) rho>0 0<theta<pi -pi<phi<pi Avrai l'utile proprietà che sin(theta) sarà sempre positiva. Otterrai, quindi: 0<rho<1 -pi/2<phi<pi/2 (data da cos(phi)>0) e la condizione: 2*cos(phi)^2*sin(theta)^2>1 Data la positività sia di cos(phi) che di sin(theta), possiamo fare la radice quadrata ottenendo: sin(theta)>1/(sqrt(2)*cos(phi)) Tuttavia, sin(theta) non potrà mai essere maggiore di 1, quindi il secondo membro deve essere minore di 1: 1/(sqrt(2)*cos(phi))<1 ovvero cos(phi)>1/sqrt(2) il che implica -pi/4<phi<pi/4 condizione più restrittiva della precedente su phi. E infatti la sostituiremo... Come detto, sotto questa considerazione: sin(theta)>1/(sqrt(2)*cos(phi)) theta avrà questi estremi: arcsin(1/(sqrt(2)*cos(phi)))<theta<pi-arcsin(1/(sqrt(2)*cos(phi))) e le altre coordinate: 0<rho<1 -pi/4<phi<pi/4 |
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La prima disequazione identifica i punti interni a una sfera di raggio 1. Le altre due messe insieme dovrebbero essere la parte interna di una delle due falde del cono di vertice l'origine, apertura pi/4 e con l'asse coincidente con l'asse x (in particolare, la falda che si sviluppa lungo il semiasse positivo). Quindi il tuo dominio sarebbe questo cono "tappato" da una calotta sferica. Se questo è corretto, le coordinate più naturali mi sembrano le coordinate sferiche, ma messe in modo tale che la x giochi il ruolo della z (in pratica theta è l'angolo che il vettore posizione forma con x e phi "gira" sul piano yz invece che sul piano xy)...quindi la trasformazione sarà una roba tipo x=rho*cos(theta), y=rho*sin(phi)*cos(theta), z=rho*sin(phi)*sin(theta). In questo modo i limiti di integrazione dovrebbero risultare facili: rho varia tra 0 e 1, theta varia da 0 a pi/4 e phi fa tutto il giro da 0 a 2pi. Vedi un po' se può funzionare (probabilmente no). :asd: Comunque, cerca sempre di visualizzare che diavolo di oggetto sia il dominio...è molto utile per controllare di non aver fatto sciocchezze cercando l'intervallo in cui variano le nuove coordinate. ;) |
Spero di trovare almeno un suggerimento per risolvere questo esercizio....
Allora: Sia D il triangolo formato dai vertici (0,0) (0,2) e (1,0) e si consideri la funzione f(x,y)= e^(x+y) per (x,y) appartenente a D. Si calcoli: a)il flusso attraverso il grafico di f del campo vettoriale F (x,y,z)=(1,3,2z); b)il volume del cilindroide C associato ad f ; c) il flusso di F uscente da C; E' il testo di un esercizio di un compito di matematica E ad ingegneria....se qualcuno di grazia mi puo' dare una mano avra' per sempre il mio riconoscimento... PS: scusatemi ma non so usare il latex..... |
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L'idea di cristina invece l'avevo avuta anchio, cioè considerare la x come rho*cos(theta) al posto della z, però mi frenava il fatto che non sapevo se si potesse fare EDIT : ho provato il metodo di cristina e sembra funzionare, ancora qualche dubbio mi rimane sugli estremi dell'azimut, che lei chiama theta, io chiamo phi , poco cambia in sostanza. Comunque, x=rho*cos(phi) , la seconda equazione si semplifica di molto, e alla fine ottengo : tg(phi)^2 > 1. Fatta la semplice equazione, trovo che la soluzione è : (3/2)pi<phi<pi/2 e (5/4)pi<phi<(3/2)phi. Come simmetria geometrica ci siamo, sono gli "spicchi" esterni al cono quando interseca la sfera. Adesso il mio dubbio è : siccome l'azimut varia da 0 a pi, devo considerare solamente il primo range, dato che il secondo è totalmente fuori il "campo di esistenza" dell'azimut? EDIT2 : mi correggo ancora, siccome dalla condizione x>0 ho ricavato anche che 0<phi<phi/2, secondo quanto detto prima dovrebbe essere, con l'unione,0<phi<(3/4)pi |
Mi sono incastrato su inf e sup di una funzione.
Se ho l'insieme tipo tutto N riesco a svolgerla tranquillamente (ad esempio A= n/n+1 con n € N) però quando mi danno un'insieme del tipo (0, 1] non capisco se devo cercare sup/inf di quella funzione usando solo i valori contenuti nell'insieme fornito oppure devo fare altro. Ad esempio devo svolgere: a) x^3 (0, 1] b) 1+2x [-1, 2] c) 1/(x+2) (-2, 0] Come vanno svolti esattamente? |
Ciao ragazzi,
Ho questo integrale INTEGRALE DI [ log(x) / (x+1)^2) ] Penso di doverlo risolvere con l'integrazione per parti ma non sto avendo successo. Ho visto che il risultato è xlog(x)/(x+1) -log(x+1), ma non riesco a ottenerlo. Qualcuno mi può suggerire qualche cosa per svolgerlo? :) |
Guarda io ho chiamato (x+1) = u e ho riscritto:
log(x) / u^2 tutto in du e poi l'ho riscritto: log(x) + u^-2 sempre in du e ho derivato per parti con g(x) = log(x) g'(x) = 1/x f'(x) u^-2 e f(x) -u^-1 seguento la formula: f'g = fg - S(fg') S = simbolo di integrale e poi svolgendo il tutto sono arrivato a: -log(x) / (x+1) - S(-u^-1)/x che risvolgendo esce fuori: -logx(x+1) + xlog(x+1) Anche se non mi convince molto l'ultimo parte che ho svolto puo' esserti utile? :D |
Devo studiare l'andamento delle seguente serie con n>1 al variare del parametro x.
Usando il metodo della radice devo calcolarmi il limite n->+oo di |xn| ------------------------------------------ x^2 + 1[ integrale tra 0 e n(arctg(t^3)dt)] La parte difficile è l'integrale. L'ho sviluppato per parti e integrale tra 0 e n(arctg(t^3)dt) = n*arctg(n^3) - int tra 0..n [t/(1+t^6) dt] Ora ho visto che succedeva al restante integrale per n->+00 int tra 0..n [t/(1+t^6) dt] ~ t/t^6 = 1/t^5 e quindi converge. Riscrivo il limite iniziale lim n->+oo |xn| ------------------- ~ x^2 + n*arctg(n^3) |xn| ------------- = x^2 + n(pi/2) |x| --------- n(pi/2) Quindi la serie converge se |x| < pi/2, diverge se |x| > pi/2. secondo voi è giusto? :mc: :stordita: |
Qualcuno mi sa risolvere il seguente limite:
lim (x,y)->(0,0) sen(x-3y)/sqrt(x^2+3y^2) Io avevo provato a semplificare la funzione eliminando il seno usando il limite notevole, per poi trovarmi un valore candidato e verificarlo passando alle cordinate polari. Ma non ne vengo fuori non riuscendo a ricondurmi ad una forma del tipo sen(x)/x per applicare il limite notevole. Qualcuno mi sa dare un indicazione su come procedere? Grazie |
perchè:
nel considerare angoli piccoli si approssima il seno con l'angolo sen(dteta)=dteta |
Perché
Codice:
lim sen(x) = 1 |
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ragazzi dovrei fare la dimostrazione che la varianza della distribuzione di poisson è lamba. Solo che a me esce lamba^2 + lamba. Mi aiutate? Io ho fatto la trasformazione x^2 = x(x-1)+x e ho diviso in due serie.
EDIT : risolto, mi dimenticavo di fare la formula della varianza, il risultato che mi usciva era semplicemente E[X^2] -.-' |
Ciao a tutti!
Ho una serie numerica a termini positivi, tale che: somma (n=0 ... +oo) an ---> CONVERGE Cosa si può dire su: somma (n=0 ... +oo) (an)^3 somma (n=0 ... +oo) (an)^2 Grazie! :) |
dato che condizione necessaria e sufficiente affinchè serie di an converga è che an->o per n->+inf, si ha che an^3 ->0 molto + rapidamente di an.
an^2 il caso è diverso, dato che diventa una serie a termini positivi, mentre an non lo è necessariamente..e quindi le cose cambiano: serie di an potrebbe convergere per leibniz e non convergere assolutamente..per es.. |
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grazie per avermi risposto. Non mi sono chiare due cose: 1) La condizione che hai enunciato è condizione necessaria, ma NON sufficiente! Prendi 1/n: come serie diverge eppure il limite fa zero! Se la serie converge posso dire che an tende a zero! 2) La serie an di partenza è a termini positivi, me lo dice la traccia :) |
Un aiuto... sono arrugginito anche con le serie... :muro:
Converge, se si' perche'? e a che funzione? x e a sono positivi (reali). Grazie :) |
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prova a fare così: innanzitutto "butta fuori" quell'x dalla serie: è un parametro reale e NON ne altera la convergenza. Poi poni e^(-n/alpha) = t e trova il raggio di convergenza come serie di potenze e infine verifica negli estremi l'eventuale convergenza semplice. ATTENZIONE, però: trattandosi di una serie di funzioni che NON è "nativamente" una serie di potenze, non vale il teorema per cui esiste convergenza uniforme/totale in ogni sottointervallo aperto incluso nell'intervallo di convergenza puntuale dapprima trovato. Per determinare questi altri due tipi di convergenza devi usare i criteri "canonici" (trovare una serie maggiorante ecc....). Spero di non aver detto castronerie e mi scuso per il linguaggio poco matematico :D |
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Dovrei dimostrare la convergenza uniforme per poi usare il trucco della derivata... derivata della serie uguale serie della derivate. |
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Visto che gli sono positivi, quali che siano ed hai . Applica il criterio del rapporto. |
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