[BANUS pay attention...] Integrali doppi su... domini infiniti [Archivio]

Nukles

30-06-2005, 21:25

All'esame-barzelletta di Calcolo II, il professore ha messo il seguente integrale:

http://img12.imageshack.us/img12/9688/image99dy.jpg (http://www.imageshack.us)

Ha detto che non vi sono errori di stampa... ma... è risolvibile oppure no? Nessuno di noi è riuscito a farlo...

JL_Picard

30-06-2005, 22:27

Visto il particolare dominio di integrazione (tutto il piano, con esclusione di una circonferenza di raggio radice di 2), io proverei a passare in coordinate polari...

in questo modo abbiamo come nuovi limiti di integrazione:

0 <= teta <= 2 pi greco
r > radice di 2

non so se funziona, (sono arrugginito...) ma tentar non nuoce

Nukles

30-06-2005, 22:41

JL_Picard

01-07-2005, 07:21

ne hai solo uno infinito (quello di r)

come ti ho detto sono arrugginito.

prima togliti di mezzo l'integrale di teta (che ha dominio finito)

poi calcola l'integrale di r nel dominio

radice di 2 < r < t (t arbitrario)

ed infine calcola il limite della funzione ottenuta per t tendente all'infinito

gtr84

01-07-2005, 08:35

Nukles

01-07-2005, 09:14

non è il fatto di trovare la primitiva, quanto il fatto di RISOLVERE l'integrale stesso! Se è su un dominio infinito, non dovrebbe venire un integrale infinito?

r_howie

01-07-2005, 10:52

Se è su un dominio infinito, non dovrebbe venire un integrale infinito?

Non necessariamente.

http://img74.imageshack.us/img74/140/intsinxx4aq.png per esempio fa http://img74.imageshack.us/img74/2534/pi20du.png.

gtr84

01-07-2005, 12:51

non è il fatto di trovare la primitiva, quanto il fatto di RISOLVERE l'integrale stesso! Se è su un dominio infinito, non dovrebbe venire un integrale infinito?

perchè sei integri

Exp(-x^2) tra - inf e+ inf

l'integrale è infinito? eppure l'integrazione
si fa tra - inf e + inf

la funzione integranda è limitata
quindi anche se è integrata su
un dominio infiinito
perchè dici a priori che
l'integrale diverge?

lowenz

01-07-2005, 13:57

A occhio e croce converge....a parte la traslazione la funzione è dotata di simmetria circolare quindi non dovrebbe essere difficile applicare criteri di convergenza/metodi per integrare.

Spettacolo il "BANUS Pay Attention" :D :D :D

Banus

01-07-2005, 18:04

A occhio e croce converge....
Invece non converge, e per fortuna... mancando la simmetria circolare calcolare un integrale del genere non è una passeggiata :D
Basta traslare l'integranda in modo che il denominatore si annulli nell'origine, e prendere come dominio di integrazione

x^2 + y^2 > a

(nelle nuove variabili) con a abbastanza grande da coprire il "buco" precedente. A questo punto l'integrale diventa (r^2 = x^2 + y^2):

int(a, +oo) (1/r^2)*2r*PI dr = int(a, +oo) (2*PI/r) dr

Cioè circa integrale di 1/r in (a, +oo), che non converge. Quindi non converge neppure l'integrale iniziale, perchè l'integranda è sempre positiva e il dominio di integrazione del nuovo integrale è contenuto strettamente in quello iniziale.

lowenz

01-07-2005, 22:19

Cioè circa integrale di 1/r in (a, +oo), che non converge. Quindi non converge neppure l'integrale iniziale, perchè l'integranda è sempre positiva e il dominio di integrazione del nuovo integrale è contenuto strettamente in quello iniziale.
Eh, ops, mi ero dimenticato che va via il quadrato con la sostituzione :stordita: :D

Cmq ovvio che è circolare DOPO la traslazione, in quel senso dicevo "circolare": quando vedo un (x-a) la prima cosa a cui penso è ricentrare, almeno per studiare il carattere della funzione. ;)

Tadde

02-07-2005, 11:44

non è il fatto di trovare la primitiva, quanto il fatto di RISOLVERE l'integrale stesso! Se è su un dominio infinito, non dovrebbe venire un integrale infinito?

Ma gli integrali impropri li hai fatti?

Nukles

02-07-2005, 14:54

dovresti prima conoscere il Bongiorno, e poi farmi questa domanda...

gtr84

03-07-2005, 10:46

Non è un integrale improprio

perchè sul dominio di integrazione la
funzione è finita

non saprei dire se l'integrale converge

bisogna vedere se rispetta le condizioni di
Abel-Dirichlet ma non mi ricordo come si
fa perchè sono ricordi che risalgono a
3 anni fa... :p

Banus

03-07-2005, 12:28

perchè sul dominio di integrazione la
funzione è finita
In genere si definisce integrale improprio anche un integrale di funzione finita sul dominio, ma con dominio di misura infinita. Infatti non è garantito un risultato finito, come è il caso dell'integrale postato.

gtr84

05-07-2005, 22:32

In genere si definisce integrale improprio anche un integrale di funzione finita sul dominio, ma con dominio di misura infinita. Infatti non è garantito un risultato finito, come è il caso dell'integrale postato.

a dir la verità la definizione di integrale improprio che
conoscevo è quella di funzione integrata su un dominio
che comprende 1 o più punti di discontinuità della funzione...

Banus

06-07-2005, 08:29

a dir la verità la definizione di integrale improprio che
conoscevo è quella di funzione integrata su un dominio
che comprende 1 o più punti di discontinuità della funzione...
http://en.wikipedia.org/wiki/Integral#Improper_integrals

Improper integrals usually turn up when the range of the function to be integrated is infinite or, in the case of the Riemann integral, when the domain of the function is infinite. ;)

gtr84

06-07-2005, 15:56

http://en.wikipedia.org/wiki/Integral#Improper_integrals

Improper integrals usually turn up when the range of the function to be integrated is infinite or, in the case of the Riemann integral, when the domain of the function is infinite. ;)

http://mathworld.wolfram.com/ImproperIntegral.html

An improper integral is a definite integral that has either or both limits infinite or an integrand that approaches infinity at one or more points in the range of integration. Improper integrals cannot be computed using a normal Riemann integral.

Banus

06-07-2005, 16:11

An improper integral is a definite integral that has either or both limits infinite or an integrand that approaches infinity at one or more points in the range of integration. Improper integrals cannot be computed using a normal Riemann integral.
Se noti anche Mathworld considera gli estremi di integrazione. Inoltre questa definizione è più ristretta perchè limitata agli intervalli in R, e quindi a integrali di funzioni in una variabile, mentre gli integrali (propri o impropri) sono definiti anche per funzioni a più variabili, per le quali non è semplice definire il senso di "estremo di integrazione non finito".

gtr84

06-07-2005, 16:18

Se noti anche Mathworld considera gli estremi di integrazione. Inoltre questa definizione è più ristretta perchè limitata agli intervalli in R, e quindi a integrali di funzioni in una variabile, mentre gli integrali (propri o impropri) sono definiti anche per funzioni a più variabili, per le quali non è semplice definire il senso di "estremo di integrazione non finito".

non dico che la tua definizione sia sbagliata

ma è giusta anche la seconda. Nella seconda definizione non
c'è alcun riferimento sulla natura degli estremi di integrazione.

Banus

06-07-2005, 16:35

ma è giusta anche la seconda. Nella seconda definizione non
c'è alcun riferimento sulla natura degli estremi di integrazione.
Sì ma è incompleta :p
Una funzione come la campana di Gauss è limitata in qualsiasi intervallo finito o infinito, ma l'integrale su tutto R di questa funzione è ancora un integrale improprio. Si deve specificare: funzione non limitata nell'intervallo di integrazione oppure intervallo di integrazione non limitato.

Tadde

06-07-2005, 18:15

a dir la verità la definizione di integrale improprio che
conoscevo è quella di funzione integrata su un dominio
che comprende 1 o più punti di discontinuità della funzione...

Se con "punto di discontinuità" intendi un punto tale che il lim del valore assoluto della funzione per x tendente a quel punto tenda all'infinito ma nel quale la funzione non è definita allora, per essere pignoli, non è corretto neanche dire che la funzione è "discontinua" in quel punto.
Infatti per poter parlare di continuità/discontinuità di una funzione in un punto, la definizione richiede che tale funzione sia DEFINITA in quel punto.