Infinito all'infinito

[Mezzetti0903]

...testo dell'esercizio:

Dimostrare che infinito elevato infinito = infinito

voi come lo dimostrereste??

Avevo pensato semplicemente

1)
a (alla n) = a * a (n volte)

Per cui infinito * infinito (infinite volte) = infinito

2)
oppure

infinito = e ^ ln infinito
infinito ^ infinito = e ^ (infinito * (ln infinito)) = E all' infinito = infinito

MA MI PAIONO
INCOMPLETE E TROPPO FACILE

.... voi come lo dimostrereste?

[gurutech]

io risponderei al quesito con

le solite s3gh3 mentali dei matematici

[samu76]

e che c'è da dimostrare...

infinito è già di per se infinito :)

infinito ^ 0 = 1
infinito ^ 1 = infinito
infinito ^ x = infinito

ma

infinito ^ 1 < infinito ^ x ????? :D

naturalmente guardando la matemenatica la cosa sopra è vera..ma ai lati pratici..... :)


cmq quoto con gurutech

[thotgor]

ma infinito elevato all'infinito non è indeterminato?

[Mezzetti0903]

nmo perchè mi sto riferendo ad entrambi valori positivi... forse è meglio dire

+infinito ^ + infinito

....cmq.....non pensate si possa buttare giù una dimostrazione più ... rigorosa??

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da Mezzetti0903
Dimostrare che infinito elevato infinito = infinito
Detta così, non vuol dire niente: infinito non è un numero, e non ha senso fare una cosa del tipo:
oo x
oo = lim oo
x-->oo
che è quello che si fa nel caso di a reale, in cui:
oo x
a = lim a
x-->oo
Quello che ha senso (e che secondo me vuol dire l'esercizio) è: "dimostrare che, se f(x) e g(x) divergono entrambe positivamente per x che tende a x0 (o che diverge positivamente, o che diverge negativamente), allora anche (f(x))^(g(x)) diverge positivamente per x che tende a x0 (o che diverge positivamente, o che diverge negativamente).
voi come lo dimostrereste??
Nella seconda forma, è piuttosto facile: fissato K a piacere, per ogni x abbastanza vicino a x0 (o x abbastanza grande, o x abbastanza piccolo) si ha simultaneamente f(x)>K, f(x)>1, e g(x)>1, quindi...

[Mezzetti0903]

in effetti ha precisato che i due infiniti dovevano vedersi come f(x) e g(x)...però...

il punto è che se non capisco che vuol dire

dimostrare che, se f(x) e g(x) divergono entrambe positivamente per x che tende a x0 (o che diverge positivamente, o che diverge negativamente), allora anche (f(x))^(g(x)) diverge positivamente per x che tende a x0 (o che diverge positivamente, o che diverge negativamente).

non posso nemmeno capire la dimostrazione.

Potresti perfavorissima spiegarmelo in 5liceo-ese?
...e soprattutto...quello che stai dimostrando te...grezzamente
è equivalente a infinito ^ inifnito = infinito ??

[D4rkAng3l]

Originariamente inviato da Mezzetti0903
...testo dell'esercizio:

Dimostrare che infinito elevato infinito = infinito

voi come lo dimostrereste??

Avevo pensato semplicemente

1)
a (alla n) = a * a (n volte)

Per cui infinito * infinito (infinite volte) = infinito

2)
oppure

infinito = e ^ ln infinito
infinito ^ infinito = e ^ (infinito * (ln infinito)) = E all' infinito = infinito

MA MI PAIONO
INCOMPLETE E TROPPO FACILE

.... voi come lo dimostrereste?

teoricamente è dimostrabile che l'insieme universo non esiste (l'insieme infinito che contine tutti gli insieme) e cmq infinito al quadrato non è uguale ad infinito...

infinito =una retta
intinito^2=un piano
infinito^3=uno spazio tridimensionale

è una cosa banale...non esiste il ragionamento che fai te...viola tutti i principi della matematica hehe

[Mezzetti0903]

Originariamente inviato da D4rkAng3l
teoricamente è dimostrabile che l'insieme universo non esiste (l'insieme infinito che contine tutti gli insieme) e cmq infinito al quadrato non è uguale ad infinito...

infinito =una retta
intinito^2=un piano
infinito^3=uno spazio tridimensionale

è una cosa banale...non esiste il ragionamento che fai te...viola tutti i principi della matematica hehe

scusami ma stento a crederlo!

al primo punto ti riferisci al paradosso di russell o al fatto che nemmeno R o N è dimostrabile che esista?

e poi....infinito al quardato non è infinito??
ma di CHE matematica stiamo parlando?
perchè io parlo di matematica di 5° liceo...

[Ziosilvio]

l punto è che se non capisco che vuol dire

dimostrare che, se f(x) e g(x) divergono entrambe positivamente per x che tende a x0 (o che diverge positivamente, o che diverge negativamente), allora anche (f(x))^(g(x)) diverge positivamente per x che tende a x0 (o che diverge positivamente, o che diverge negativamente).

non posso nemmeno capire la dimostrazione.
E' un modo corto di dire insieme queste tre cose:
1) se f(x) e g(x) tendono entrambe a +oo per x che tende a x0, allora anche (f(x))^(g(x)) tende a +oo per x che tende a x0;
2) se f(x) e g(x) tendono entrambe a +oo per x che tende a +oo, allora anche (f(x))^(g(x)) tende a +oo per x che tende a +oo;
3) se f(x) e g(x) tendono entrambe a +oo per x che tende a -oo, allora anche (f(x))^(g(x)) tende a +oo per x che tende a -oo.
quello che stai dimostrando te...grezzamente
è equivalente a infinito ^ inifnito = infinito ??
No.
Perché "se f(x) e g(x) divergono entrambe positivamente per x che tende a x0 (o che diverge positivamente, o che diverge negativamente), allora anche (f(x))^(g(x)) diverge positivamente per x che tende a x0 (o che diverge positivamente, o che diverge negativamente)" ha un significato, mentre "infinito ^ inifnito = infinito" non ce l'ha.

EDIT: ho modificato la dimostrazione che avevo dato, prima c'era un errore, adesso dovrebbe essere giusta.

[Ziosilvio]

Originariamente inviato da D4rkAng3l
teoricamente è dimostrabile che l'insieme universo non esiste (l'insieme infinito che contine tutti gli insieme)
... nel senso che esiste, ma è una classe propria e non un insieme...
e cmq infinito al quadrato non è uguale ad infinito...

infinito =una retta
intinito^2=un piano
infinito^3=uno spazio tridimensionale
"Infinito al quadrato uguale un piano" è una frase che si usa in un contesto di Geometria, e che in tale contesto significa "un punto in un piano è determinato da due parametri, ciascuno dei quali può variare in un insieme infinito".
Il contesto in cui è formulato il problema che Mezzetti0903 ci ha chiesto di aiutarlo a risolvere, è un contesto di Analisi e non di Geometria.

[Mezzetti0903]

Ok...zio....Mi piace la domanda...forse è quelle giusta!

ma la dimostrazione...:confused: :confused:

puoi provare a riformularla e concluderla?
ti prego....mi sto avvicinando alla balaustra..

[Mezzetti0903]

Aspetta...forse basta lavorare sulle dimostrazioni dei limiti per capire la tua dimostrazione...

dammi un po' di tempo...!!

[D4rkAng3l]

ma cmq infinito e infinito^2 in matematica sono due cose completamente diverse...vatti anche a vedere i grafici degli studi asintotici delle funzioni..ci sono tante funzioni che vanno all'infinito ma con pendenze diverse...

[Mezzetti0903]

va beh....ci sono vari "gradi" di infinito (hanno anche un nome...ma ora mi sfugge)...ma infinito è sempre infinito

[D4rkAng3l]

Originariamente inviato da Mezzetti0903
va beh....ci sono vari "gradi" di infinito (hanno anche un nome...ma ora mi sfugge)...ma infinito è sempre infinito

non è affatto vero !!!

ogni grado di infinito và a rappresentare una dimensione in più:

1 = retta o semiretta
2 = piano cartesiano
3 = spazio tridimensionale
4 = spazio considerando una 4 dimensione come il tempo

etcetc

sarà che ad informatica ci fanno un culo assurdo con matematica e questo è programma di logica matematica....però ne sonos trasicuro è così

[Mezzetti0903]

cmq....ho un qualcosa di presnetabile.
Grazie a tutti!
domani saprò se avevo/abbiamo capito bene la domanda e se l'ho/abbiaamo dimostrata bene:)

[sardylan]

Ciao ragazzi... Aiuto!!! Non riesco a risolvere un limite... Il problema è questo:

f(x)= (ln(x)+1)^(1/ln(x))

Determinare il campo di definizione ed il comportamento agli estremi...

ln(x) diverso da 0 ed x maggiore di zero...

Quindi limitie di f(x) per x -> 0+ (da destra) ed x -> +00 (+ infinto).

Non riesco a risolvere il limite...

[Ziosilvio]

Ciao ragazzi... Aiuto!!! Non riesco a risolvere un limite... Il problema è questo:

f(x)= (ln(x)+1)^(1/ln(x))

Determinare il campo di definizione ed il comportamento agli estremi...

ln(x) diverso da 0 ed x maggiore di zero...
Non basta: deve essere anche 1+ln(x)>0, perché deve essere definita una potenza ad esponente reale.
Quindi limitie di f(x) per x -> 0+ (da destra) ed x -> +00 (+ infinto).
Per quello che ho detto prima, esiste un intorno destro dell'origine nel quale la funzione non è definita.
Non riesco a risolvere il limite...
Per x-->+oo, poni y=ln(x) e vedi cosa ottieni.

[Ilbaama]

scusa Ziosilvio, potresti spiegarmi perché la base deve essere positiva?


poi ponendo y=ln(x)
otteniamo:
lim y--> +oo (y+1)^ (1/y)
e non è uguale ad e perché dovrebbe essere lim y -->0

... :help:

[Ziosilvio]

potresti spiegarmi perché la base deve essere positiva?
Tu hai un'espressione della forma a^b con a e b entrambi reali.
Se a è positivo, allora a^b si può definire senza problemi così:
- è 1, se a=1;
- è l'estremo superiore degli a^t con t razionale e <=b, se a>1;
- è 1/((1/a)^b), se a<1.
Se a è negativo, questo trucchetto non lo puoi più fare, perché allora non sono definite le radici pari di a.

Se a è 0... la regola sarebbe che a^b è 1 se b=0, ed è 0 altrimenti.
Quindi... sì, ripensandoci, puoi porre 1+ln(x)>=0, perché corrisponde a x >= una quantità il cui logaritmo è definito.
poi ponendo y=ln(x)
otteniamo:
lim y--> +oo (y+1)^ (1/y)
e non è uguale ad e perché dovrebbe essere lim y -->0
E' vero, chiedo scusa.
Ripensandoci: per x-->+oo hai una cosa della forma oo^0, che si risolve passando agli esponenziali: a^b = e^(b ln a).
E a questo punto...

[Ilbaama]

penso di aver risolto:

lim x-->oo e^( ln(ln(x)+1) / ln(x) );
ora possiamo scrivere:

e^( lim x-->oo ln( ln(x)+1 ) / ln(x) );
ora risolvo solo l'esponente tralasciando per il momento la base e ;
poiché è nella forma oo/oo applichiamo il Teorema di l'Hopital e otteniamo:
( 1/(ln(x) +1) * 1/x )/ (1/x) = 0;

quindi e^0 = 1

[Ziosilvio]

penso di aver risolto:

lim x-->oo e^( ln(ln(x)+1) / ln(x) );
ora possiamo scrivere:

e^( lim x-->oo ln( ln(x)+1 ) / ln(x) );
ora risolvo solo l'esponente tralasciando per il momento la base e ;
poiché è nella forma oo/oo applichiamo il Teorema di l'Hopital e otteniamo:
( 1/(ln(x) +1) * 1/x )/ (1/x) = 0;

quindi e^0 = 1
Giusto!

Un solo appunto: non hai bisogno di de l'Hopital per calcolare questo secondo limite.
Basta che poni y = ln x e hai:
ln (1 + ln x) ln(1+y)
lim ------------- = lim ------- = 0
x-->+oo ln x y-->+oo y

[Ilbaama]

non proprio, cioé non esce 0 ma 1 :

ln (1 + ln x) ln(1+y)
lim ------------- = lim ------- ;
x-->+oo ln x y-->+oo y

ora ln(1+y) asintotico a 1+y;
y asintotico a se stesso;
otteniamo:

1+y 1
lim ------- = lim ----- + 1 = 1
y-->+oo y y-->+oo y

:D

[Ziosilvio]

non proprio, cioé non esce 0 ma 1 :

ln (1 + ln x) ln(1+y)
lim ------------- = lim ------- ;
x-->+oo ln x y-->+oo y

ora ln(1+y) asintotico a 1+y;
Cosacosacosacosacosa??? :eek: :eek: :eek:
Da quando in qua il logaritmo ha lo stesso ordine di infinito del proprio argomento? :read: :read: :read:
y asintotico a se stesso;
otteniamo:

1+y 1
lim ------- = lim ----- + 1 = 1
y-->+oo y y-->+oo y

Invece no: log(1+y)/y = (log(1+y)/(1+y)) * ((1+y)/y), e per y-->+oo il primo fattore converge a 0 e il secondo a 1. Quindi il limite è 0, non 1.
:D
:Prrr:

[Ilbaama]

Ops scusa, hai ragione, il limite notevole era

ln( x +1 )
lim --------- = 1
x-->0 x


era il sen che è asintotico al suo argomento...
;)