funzione di trasferimento: poli e zeri significato fisico

[serbring]

Cosa fisicamente introduce in un sistema meccanico,degli zeri o dei poli in una funzione di trasferimento? Potete anche farmi esempi elettrici. Prendiamo ad esempio un sistema massa molla ad 1gdl eccitato da una forza, il sistema avrà due poli e nessun zero. Se invece prendessimo lo stesso sistema, ma lo ecittassi con un'accelerazione alla sua base otterrei una funzione di trasferimento con gli stessi poli del caso precedente, ma con uno zero. Dal punto di vista fisico qual'è il significato degli zeri e dei poli? Quello matematico l'ho capito.

[caurusapulus]

Io ci provo a spiegartela questa cosa, ma prendila con le pinze!

Premesso che tu conosca tutta la roba "teorica" su trasformata di Laplace, risposta in freq etc. cerco di spiegartelo con un esempietto.

Immagina di avere un sistema del primo ordine, normalissimo, con una FDT del tipo: k/s+a (il tipico sistema passa basso)
dove: k= guadagno a=polo del sistema
Nel mio esempio, k=10, a=10
il diagramma di bode sarà:

http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/th_20110219234515_bode_primoordine.JPG (http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/20110219234515_bode_primoordine.JPG)
osservandolo capisci bene che per segnali con frequenza sotto i 10 rad/sec,
i segnali non vengono affatto filtrati dal nostro bel sistema ma vengono riprodotti fedelmente in uscita, infatti se
poniamo in ingresso una sinusoide di ampiezza unitaria, e di frequenza = 5rad/sec otteniamo:

http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/th_20110219234615_uscita_primoord.JPG (http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/20110219234615_uscita_primoord.JPG)
dove giallo = ingresso sinus., viola = uscita
Noterai come il sistema non ha filtrato praticamente nulla! (e se sai leggere i diagrammi di Bode, questo è evidente dal diagramma dei moduli)

Adesso aggiungiamoci un polo, in particolare un polo in zero (un integratore):

http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/th_20110219234636_bode_secondoordine.JPG (http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/20110219234636_bode_secondoordine.JPG)
Rimettiamoci lo stesso ingresso:
http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/th_20110219234813_uscita_secondoord.JPG (http://www.pctunerup.com/up/image.php?src=_201102/20110219234813_uscita_secondoord.JPG)
beh ora è chiaramente evidente che l'uscita è decisamente più attenuata!

In sintesi cosa è successo: avendo aggiunto il polo in zero, abbiamo aggiunto una pendenza di -20dB/dec sul diagramma dei moduli in corrispondenza della pulsazione del polo, e uno sfasamento;
se avessimo aggiunto invece uno zero, avremmo invertito la pendenza (+20dB/dec) dunque avremmo peggiorato la situazione !!

Ora è evidente che il significato fisico di aggiungere un polo o uno zero dipende da sistema a sistema ma la cosa importante è capire il significato nel diagramma di bode! E' lì dentro che tu devi andare a capire cosa comporta aggiungere qualcosa ad una determinata frequenza w perchè ciò chiaramente cambia il comportamento dinamico del sistema quando ne fai la risposta ad un segnale (risposta forzata).


e meno male che ho scelto il curriculum informatica anzichè automazione :asd:
avevo visto anche l'altro thread sulla trasformazione matriciale, ma quella roba c'è su qualsiasi testo di Automatica (tipo il Marro, il Bolzern, e via così )

[serbring]

Io ci provo a spiegartela questa cosa, ma prendila con le pinze!

Premesso che tu conosca tutta la roba "teorica" su trasformata di Laplace, risposta in freq etc. cerco di spiegartelo con un esempietto.

Immagina di avere un sistema del primo ordine, normalissimo, con una FDT del tipo: k/s+a (il tipico sistema passa basso)
dove: k= guadagno a=polo del sistema
Nel mio esempio, k=10, a=10
il diagramma di bode sarà:

http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/th_20110219234515_bode_primoordine.JPG (http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/20110219234515_bode_primoordine.JPG)
osservandolo capisci bene che per segnali con frequenza sotto i 10 rad/sec,
i segnali non vengono affatto filtrati dal nostro bel sistema ma vengono riprodotti fedelmente in uscita, infatti se
poniamo in ingresso una sinusoide di ampiezza unitaria, e di frequenza = 5rad/sec otteniamo:

http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/th_20110219234615_uscita_primoord.JPG (http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/20110219234615_uscita_primoord.JPG)
dove giallo = ingresso sinus., viola = uscita
Noterai come il sistema non ha filtrato praticamente nulla! (e se sai leggere i diagrammi di Bode, questo è evidente dal diagramma dei moduli)

Adesso aggiungiamoci un polo, in particolare un polo in zero (un integratore):

http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/th_20110219234636_bode_secondoordine.JPG (http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/20110219234636_bode_secondoordine.JPG)
Rimettiamoci lo stesso ingresso:
http://www.pctunerup.com/up/results/_201102/th_20110219234813_uscita_secondoord.JPG (http://www.pctunerup.com/up/image.php?src=_201102/20110219234813_uscita_secondoord.JPG)
beh ora è chiaramente evidente che l'uscita è decisamente più attenuata!

In sintesi cosa è successo: avendo aggiunto il polo in zero, abbiamo aggiunto una pendenza di -20dB/dec sul diagramma dei moduli in corrispondenza della pulsazione del polo, e uno sfasamento;
se avessimo aggiunto invece uno zero, avremmo invertito la pendenza (+20dB/dec) dunque avremmo peggiorato la situazione !!

Ora è evidente che il significato fisico di aggiungere un polo o uno zero dipende da sistema a sistema ma la cosa importante è capire il significato nel diagramma di bode! E' lì dentro che tu devi andare a capire cosa comporta aggiungere qualcosa ad una determinata frequenza w perchè ciò chiaramente cambia il comportamento dinamico del sistema quando ne fai la risposta ad un segnale (risposta forzata).


e meno male che ho scelto il curriculum informatica anzichè automazione :asd:
avevo visto anche l'altro thread sulla trasformazione matriciale, ma quella roba c'è su qualsiasi testo di Automatica (tipo il Marro, il Bolzern, e via così )

grazie per il tuo intervento, per la parte teorica sono a posto, ma quello che vorrei sapere è come riuscire a capire guardando un sistema quantio poli e quanti zeri può avere? Quale componente meccanico o quale condizione introduce uno zero o un polo nella funzione di trasferimento.
In un libro ho trovato scritto questo, ma sinceramente non l'ho capito:

Miu [1993] shows that the zeros of any particular transfer function are the
poles of the constrained system(s) to the left and/or right of the system
defined by constraining the one or two dof’s defining the transfer function.
The resonances of the “overhanging appendages” of the constrained
system create the zeros.


Magari qualcuno ha capito cosa vuole dire l'autore e riesce a spiegarmelo.

[caurusapulus]

grazie per il tuo intervento, per la parte teorica sono a posto, ma quello che vorrei sapere è come riuscire a capire guardando un sistema quantio poli e quanti zeri può avere? Quale componente meccanico o quale condizione introduce uno zero o un polo nella funzione di trasferimento.


Vediamo se sono sulla strada giusta:

tu stai dicendo che vuoi capire quanti poli/zeri può avere una FDT di un sistema, semplicemente osservandolo dall'esterno.

Ma, dalle mie conoscenze, non riesci a descrivere un sistema fisico semplicemente dalla sua osservazione. Devi sempre avere delle equazioni che ne descrivono il suo comportamento, e da queste usando la trasformata di Laplace riesci a scriverti la sua FDT e a capire quanti poli/zeri possiede.

E' evidente che ogni sistema fisico ha delle sue caratteristiche per le quali si conosce il rapporto tra comportamento fisico del componente -> sua FDT -> #poli/zeri (mi vengono ad esempio in mente i circuiti elettrici dove conosci perfettamente le equazioni di resistenze/condensatori/induttori/generatori, o i sistemi meccanici massa/molla/smorzatore dove anche qui conosci perfettamente quanto vale la massa, il coefficiente di smorzamento, la lunghezza della molla, e le varie leggi sul moto smorzato etc.).

Dunque se tutto ciò che ho scritto qua sopra è esatto, il discorso di "capire che cosa rappresenta in una FDT un determinato elemento in un sistema" è fine a se' stesso, poichè se conosci quanto è la sua relazione ingresso/uscita, puoi tranquillamente trovarti la sua FDT, e osservando quest'ultima capire il contributo in poli/zeri che fornisce alla FDT del sistema totale.

[serbring]

Vediamo se sono sulla strada giusta:

tu stai dicendo che vuoi capire quanti poli/zeri può avere una FDT di un sistema, semplicemente osservandolo dall'esterno.

Ma, dalle mie conoscenze, non riesci a descrivere un sistema fisico semplicemente dalla sua osservazione. Devi sempre avere delle equazioni che ne descrivono il suo comportamento, e da queste usando la trasformata di Laplace riesci a scriverti la sua FDT e a capire quanti poli/zeri possiede.

E' evidente che ogni sistema fisico ha delle sue caratteristiche per le quali si conosce il rapporto tra comportamento fisico del componente -> sua FDT -> #poli/zeri (mi vengono ad esempio in mente i circuiti elettrici dove conosci perfettamente le equazioni di resistenze/condensatori/induttori/generatori, o i sistemi meccanici massa/molla/smorzatore dove anche qui conosci perfettamente quanto vale la massa, il coefficiente di smorzamento, la lunghezza della molla, e le varie leggi sul moto smorzato etc.).

Dunque se tutto ciò che ho scritto qua sopra è esatto, il discorso di "capire che cosa rappresenta in una FDT un determinato elemento in un sistema" è fine a se' stesso, poichè se conosci quanto è la sua relazione ingresso/uscita, puoi tranquillamente trovarti la sua FDT, e osservando quest'ultima capire il contributo in poli/zeri che fornisce alla FDT del sistema totale.

certamente non voglio conoscere la funzione di trasferimento solamente guardandola, ma mi piacerebbe capire se la fdt calcolata potrebbe essere giusta oppure no, e da quel che ho capito per corpi a parametri concentrati dovrebbero esistere dei metodi, come quello illustrato in questo libro, che però dall'anteprima non sono riuscito a capire.http://books.google.com/books?id=kxJRkFSdxGcC&pg=PA114&lpg=PA114&dq=miu+poles+zeros&source=bl&ots=S381esSpsS&sig=eQVQvgUeFPH4BFhhuNM14DYJ9ac&hl=it&ei=rIhiTcbjLcKq8QO4ksnxCA&sa=X&oi=book_result&ct=result&resnum=1&ved=0CBUQ6AEwAA#v=onepage&q=miu%20poles%20zeros&f=false

[caurusapulus]

prova a vedere sul Franklin-Powell se trovi qualcosa, io lì ci ho studiato una buona parte del mio esame di sistemi e ci trovi qualche esempio spiegato veramente bene

per il resto, non ho fatto l'esame di modellistica e simulazione dunque non so darti delle linee guida

[serbring]

ti ringrazio proverò a dare una vista a quella cosa....Il problema è che se io ho un sistema un po' complicato, non posso calcolare la fdt manualmente, è improponibile ed allora mi devo affidare a matlab, ma per evitare cazzate devo riuscire a capire a grandi linee l'ordine del sistema. Con i poli non ho problemi, ma sugli zeri ho qualche dubbio

[caurusapulus]

ok ho capito :D
in bocca al lupo per qualsiasi cosa tu stia facendo comunque :p

[serbring]

ok ho capito :D
in bocca al lupo per qualsiasi cosa tu stia facendo comunque :p

grazie...:)