soluzione dell'equazione di Laplace: separazione delle variabili

[d@vid]

esistono diverse tecniche risolutive dell'equazione di Laplace: http://operaez.net/mimetex/ \nabla^2 \Phi = 0

o, con riferimento ad un sistema cartesiano ortogonale: http://operaez.net/mimetex/ \frac{\partial ^2 \Phi}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2 \Phi}{\partial y^2}+\frac{\partial ^2 \Phi}{\partial z^2} = 0
in particolare, quella per separazione delle variabili.

Si suppone che http://operaez.net/mimetex/ \Phi sia una funzione esprimibile come prodotto di tre funzioni, ciascuna dipendente da una sola delle tre variabili coordinate: http://operaez.net/mimetex/ \Phi = X(x)Y(y)Z(z)

sostituendo questa espressione della http://operaez.net/mimetex/ \Phi nell'equazione di Laplace in coordinate cartesiane, otteniamo: http://operaez.net/mimetex/ YZ \frac{d^2 X}{dx ^2}+XZ \frac{d^2 Y}{dy^2}+XY \frac{d^2 Z}{dz ^2} ovvero (1): http://operaez.net/mimetex/ \frac{1}{X}\frac{d^2 X}{dx ^2}+ \frac{1}{Y}\frac{d^2 Y}{dy^2}+ \frac{1}{Z}\frac{d^2 Z}{dz ^2}

da ciò si conclude che, dovendo l'uguaglianza essere verificata per ogni valore di x, di y e di z, ciascuno dei termini deve essere costante, ovvero:
http://operaez.net/mimetex/ \frac{1}{X} \frac{d^2 X}{dx ^2}=K_1 ^2

http://operaez.net/mimetex/\frac{1}{Y} \frac{d^2 Y}{dy^2}=K_2 ^2

http://operaez.net/mimetex/ \frac{1}{Z} \frac{d^2 Z}{dz ^2}=-K_3 ^2

con http://operaez.net/mimetex/ K_1 ^2+K_2 ^2=K_3 ^2


La soluzione del sistema di tre eq differenziali (1), che può essere riscritto come
http://operaez.net/mimetex/ \frac{d^2 X}{dx ^2}-K_1 ^2 X =0
http://operaez.net/mimetex/ \frac{d^2 Y}{dy ^2}-K_2 ^2 Y =0
http://operaez.net/mimetex/ \frac{d^2 Z}{dz ^2}+K_3 ^2 Z =0

è:

http://operaez.net/mimetex/ X(x)=A_1 \cos(K_1 x + B_1)
http://operaez.net/mimetex/ Y(y)=A_2 \cos(K_2 y + B_2)
http://operaez.net/mimetex/ Z(z)=A_3 \cosh( \sqrt{K_1 ^2 + K_2 ^2} z+B_3)

con http://operaez/mimetex/ A_1 A_2 A_3 B_1 B_2 B_3 costanit da determinare in base alle condizioni al contorno

Questo quanto scritto nel mio libro di fisica (ovviamente precisa che la determinazione delle costanti Ai e Bi dipende dalle condizioni al contorno e che vi possono essere diversi casi...)

Ora il mio dubbio è: come sono state risolte le equazioni differenziali??? :help:

[d@vid]

Io avrei proceduto così

[I caso] ipotizzando che K1^2 e K2^2 (e quindi anche K3^2) siano costanti reali positive

per la X(x):
eq omogenea associata http://operaez.net/mimetex/ \lambda^2 _x - K_1 ^2 = 0
http://operaez.net/mimetex/ \lambda_x_{1,2}=\pm K_1
http://operaez.net/mimetex/ X(x)=a \exp{(-K_1 x)} + b \exp{(K_1 x)}

e lo stesso procedimento per Y(y)
http://operaez.net/mimetex/ Y(y)=c \exp{(-K_2 y)} + d \exp{(K_2 y)}

per la Z(z):
eq omogenea associata http://operaez.net/mimetex/ \lambda^2_z + K_3 ^2 = 0
http://operaez.net/mimetex/ \lambda_z_{1,2}=\pm jK_3
http://operaez.net/mimetex/ Z(z)=e \cos(K_3 z) + f \sin(K_3 z)=e' \cos(K_3 z + f')

quindi: in questo caso non mi trovo con le soluzioni proposte!








[II caso] ipotizzando che K1^2 e K2^2 (e quindi anche K3^2) siano costanti reali negative

per la X(x):
eq omogenea associata http://operaez.net/mimetex/ \lambda^2_x - K_1 ^2 = 0
http://operaez.net/mimetex/ \lambda_x_{1,2}=\pm jK_1
http://operaez.net/mimetex/ X(x)=a \cos(K_1 x) + b \sin(K_1 x)=a' \cos(K_1 x + b')

e lo stesso procedimento per Y(y)
http://operaez.net/mimetex/ Y(y)=c \cos(K_2 y) + d \sin(K_2 y)=c' \cos(K_2 y + d')

per la Z(z):
eq omogenea associata http://operaez.net/mimetex/ \lambda^2 + K_3 ^2 = 0
http://operaez.net/mimetex/ \lambda_z_{1,2}=\pm K_3
http://operaez.net/mimetex/ Z(z)=e \exp(-K_3 z) + f \exp(K_3 z)= \frac{e-f}{2} \exp(-K_3 z) + \frac{f-e}{2} \exp(K_3 z) + \frac{e+f}{2} \exp(-K_3 z) + \frac{e+f}{2} \exp(K_3 z)= \frac{f-e}{2} \sinh(K_3 z) + \frac {f+e}{2} \cosh(K_3 z) = e' \sinh(K_3 z) + f' \cosh(K_3 z) = e'' \cosh(K_3 z +f'')

quindi: anche in questo caso non mi trovo con le soluzioni proposte!
edit: nel II caso mi troverei, ma non so se l'ultima uguaglianza (sempre valide per le funzioni sinusoidali) è lecita per anche per le funzioni iperboliche :confused: ma soprattutto: è corretto il ragionamento in entrambi i casi? :mbe:

grazie

[Lucrezio]

Dopo pranzo ti rispondo!
Ci sono due modi principali per risolvere l'equazione di Laplace: o in coordinate cartesiane (come hai fatto tu) o in coordinate sferiche... magari non posto la soluzione rigorosa nel secondo caso perché è un casino, ma cerco di spiegarmi (e al limite di risolvere il caso a simmetria azimutale... se me lo ricordo!)

[d@vid]

Dopo pranzo ti rispondo!
Ci sono due modi principali per risolvere l'equazione di Laplace: o in coordinate cartesiane (come hai fatto tu) o in coordinate sferiche... magari non posto la soluzione rigorosa nel secondo caso perché è un casino, ma cerco di spiegarmi (e al limite di risolvere il caso a simmetria azimutale... se me lo ricordo!)
grazie mille!

[Lucrezio]

Tutte le soluzioni proposte mi sembrano coerenti, a patto di intendere che il segno delle costanti al quadrato sia assolutamente arbitrario (ovvero a patto di prendere in generale costanti complesse). Il caso che si presenta più frequentemente è quello che hai analizzato tu nel secondo punto (tutte e tre le costanti al quadrato sono negative): soluzione periodica lungo due direzioni ed esponenziale lungo la terza. Chiaramente per decidere che segno attribuire alle costanti devi considerare le condizioni al bordo. Magari quando recupero il mio quaderno (sono un po' arrugginito) posto anche un esempio svolto!
Lo stesso vale anche per la soluzione in coordinate sferiche... temendo di screvere troppe vaccate (non ci si può mica ricordare tutto a memoria :muro: ) preferisco avere i miei appunti sotto mano ;)
Sorry... :cry:

[d@vid]

Tutte le soluzioni proposte mi sembrano coerenti, a patto di intendere che il segno delle costanti al quadrato sia assolutamente arbitrario (ovvero a patto di prendere in generale costanti complesse). Il caso che si presenta più frequentemente è quello che hai analizzato tu nel secondo punto (tutte e tre le costanti al quadrato sono negative): soluzione periodica lungo due direzioni ed esponenziale lungo la terza. Chiaramente per decidere che segno attribuire alle costanti devi considerare le condizioni al bordo. Magari quando recupero il mio quaderno (sono un po' arrugginito) posto anche un esempio svolto!
Lo stesso vale anche per la soluzione in coordinate sferiche... temendo di screvere troppe vaccate (non ci si può mica ricordare tutto a memoria :muro: ) preferisco avere i miei appunti sotto mano ;)
Sorry... :cry:
no anzi ti ringrazio

è quindi probabile che, poichè da come mi hai detto il II è il caso più frequente, per tal motivo sia stato riportato sul libro di fisica come unico esempio risolutivo (ovviamente non mi meraviglio del fatto che su un libro di fisica non si sviluppino tutti gli aspetti matematici :p )
però quello che non capisco è il senso appunto 'fisico' della soluzione: che senso fisico avrebbe una soluzione sinusoidale con argomento complesso? :mbe:
che poi a quanto pare gli autori si divertono a rendere più nascosto possibile questo senso 'fisico': come hai visto, per la Z(z) hanno preferito esprimerla in termini di un cosh di variabile complessa, anzichè come la somma di 2 esponenziali complessi (che se non altro è riconducibili ad una sinusoide reale, anche se sulla validità generale di quest'ultima cosa devo rifletterci un pò :p )

ho una tale confusione... :muro:

[Lucrezio]

no anzi ti ringrazio

è quindi probabile che, poichè da come mi hai detto il II è il caso più frequente, per tal motivo sia stato riportato sul libro di fisica come unico esempio risolutivo (ovviamente non mi meraviglio del fatto che su un libro di fisica non si sviluppino tutti gli aspetti matematici :p )
però quello che non capisco è il senso appunto 'fisico' della soluzione: che senso fisico avrebbe una soluzione sinusoidale con argomento complesso? :mbe:
che poi a quanto pare gli autori si divertono a rendere più nascosto possibile questo senso 'fisico': come hai visto, per la Z(z) hanno preferito esprimerla in termini di un cosh di variabile complessa, anzichè come la somma di 2 esponenziali complessi (che se non altro è riconducibili ad una sinusoide reale, anche se sulla validità generale di quest'ultima cosa devo rifletterci un pò :p )

ho una tale confusione... :muro:
Mmmhh.. no, fai un po' di confusione.
Complesse possono essere le radici del polinomio caratteristico; una volta che scrivi seni, coseni o funzioni iperboliche l'argomento è la parte reale ;)
le varie "i" si mangiano risolvendo le equazioni differenziali ;)

[d@vid]

Mmmhh.. no, fai un po' di confusione.
Complesse possono essere le radici del polinomio caratteristico; una volta che scrivi seni, coseni o funzioni iperboliche l'argomento è la parte reale ;)
le varie "i" si mangiano risolvendo le equazioni differenziali ;)
è vero :doh: e pensare che ero ormai fissato a ritenere K1 K2 e K3 immaginarie pure, ritenendole radici di quantità reali negative, mentre invece l'unità immaginaria compare solo nelle soluzioni dell'omogenea associata :doh::doh:

:ave::ave:

[Lucrezio]

Ogni promessa è un debito!
Si consideri un parallelepipedo cavo di vertici (vedi figura sotto):
(0,0,0) (0,0,c)
(a,0,0) (a,0,c)
(a,b,0) (a,b,c)
(0,b,0) (0,b,c)
Con le seguenti condizioni al bordo:
- il potenziale è nullo su tutte le facce tranne quella appartenente al piano z=c (in figura è ombreggiata)
- sulla faccia ombreggiata il potenziale vale f(x,y) (una funzione generica di x e y!)

Soluzione
Dalle condizioni al bordo risulta immediatamente ovvio che
- X(x) si annulla ad entrambi gli estremi quindi sarà un seno
- Y(y) idem
- Z(z) è nulla ad un estremo ed ha un valore stabilito sull'altro, sarà dunque un seno iperbolico.
Veniamo ai conti!
http://operaez.net/mimetex/\frac{d^2X(x)}{dx^2} = -\alpha^2 X(x)

http://operaez.net/mimetex/\frac{d^2Y(y)}{dy^2} = -\beta^2 Y(y)

http://operaez.net/mimetex/\frac{d^2Z(z)}{dz^2} = -\gamma^2 Z(z) = (\alpha^2 + \beta^2) Z(z)

1) Pongo X(x) = sin(alfa x) ed impongo X(0) = X(a) = 0:
http://operaez.net/mimetex/\sin(\alpha a) = 0 \Rightarrow \alpha a = k \pi \Rightarrow \alpha = \frac{k\pi}{a}
2) Con un ragionamento assolutamente identico si ottiene:
http://operaez.net/mimetex/\beta = \frac{h\pi}{b}
3) Ne segue quindi ovviamente che
http://operaez.net/mimetex/\gamma = \sqrt{\alpha^2 + \beta^2} = \pi \sqrt{\frac{k^2}{a^2} + \frac{h^2}{b^2}}

Il termine generale dello sviluppo in serie del potenziale sarà quindi:
http://operaez.net/mimetex/V_{h,k} = \sin(\alpha_k x) \sin(\beta_h y) \sinh (\gamma_{h,k} z)
e quindi il potenziale avrà la forma seguente:
http://operaez.net/mimetex/V(x,y,z) = \sum_{h,k=1}^{+\infty} A_{h,k}\sin \left (\frac{k\pi}{a} \ x \right) \sin \left (\frac{h \pi}{b} \ y\right ) \sinh \left ( \sqrt {\frac{k^2}{a^2} + \frac{h^2}{b^2}}\ \ z \right )
Resta da imporre l'ultima condizione al bordo:
http://operaez.net/mimetex/V(x,y,c) = \sum_{h,k=1}^{+\infty} \sin(\alpha_k x) \sin(\beta_h y) \sinh (\gamma_{h,k} c) = f(x,y)
Per determinare i coefficienti dello sviluppo basta fare i prodotti scalari, ovvero si decompone la funzione f(x,y) nella base (sin(alpha x), sin(beta y)):
http://operaez.net/mimetex/A_{h,k} = \frac{1}{\sinh (\gamma_{h,k} c)} \ \frac{2}{a} \int_0^a dx \ \frac{2}{b} \int_0^b dy \left \{ f(x,y)\sin(\alpha_k x) \sin(\beta_h y) \right \}
Ora si tratta solo di fare l'integralaccio... e il gioco è fatto ;)
Spero che l'esempio sia stato di conforto :D

Questo pomeriggio coordinate sferiche!

[Lucrezio]

Veniamo alle coordinate polari (allacciatevi le cinture :Perfido: )!
L'equazione di Laplace in coordinate sferiche prende la forma:
http://operaez.net/mimetex/\nabla^2 V= \frac{1}{r}\frac{\partial^2}{\partial r^2} \left ( rV \right ) + \frac{1}{r^2\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left ( \sin \theta \frac{\partial V}{\partial \theta} \right ) + \frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2 V}{\partial \phi^2} = 0
Si cerca una soluzione della forma
http://operaez.net/mimetex/V(r,\theta,\phi) = \frac{U(r)}{r}P(\theta)Q(\phi)
Dunque:
http://operaez.net/mimetex/\frac{P(\theta)Q(\phi)}{r}\frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{U(r)Q(\phi)}{r^3\sin \theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left ( \sin \theta \frac{\partial P(\theta)}{\partial \theta} \right ) + \frac{U(r)P(\theta)}{r^3\sin^2\theta}\frac{\partial^2 Q(\phi)}{\partial \phi^2} = 0
Dividendo tutto per
http://operaez.net/mimetex/\frac{U(r)P(\theta)Q(\phi)}{r^3\sin^2 \theta}
Si separa la dipendenza da phi:
http://operaez.net/mimetex/\frac{r^2\sin^2 \theta}{U(r)}\frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{P(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left ( \sin \theta \frac{\partial P(\theta)}{\partial \theta} \right ) + \frac{1}{Q(\phi)}\frac{\partial^2 Q(\phi)}{\partial \phi^2} = 0
Si pone quindi il termine in phi uguale a -m^2 e il resto uguale a m^2:
http://operaez.net/mimetex/\frac{1}{Q(\phi)}\frac{d^2Q(\phi)}{d\phi^2} = - m^2 \Rightarrow Q(\phi) \sim e^{\pm im\phi}
Affiché la soluzione sia periodica di periodo 2pi è necessario che m sia intero.
Resta l'altro pezzo dell'equazione, che va posto uguale a +m^2:
http://operaez.net/mimetex/\frac{r^2\sin^2 \theta}{U(r)}\frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{\sin\theta}{P(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left ( \sin \theta \frac{\partial P(\theta)}{\partial \theta} \right ) = m^2
Dividendo per sin^2 theta:

http://operaez.net/mimetex/\frac{r^2}{U(r)}\frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} + \frac{1}{\sin\theta P(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left ( \sin \theta \frac{\partial P(\theta)}{\partial \theta} \right ) = \frac{m^2}{\sin^2 \theta}
Si pone quindi la parte radiale uguale ad una costante, scelta per comodità della forma l(l+1):
http://operaez.net/mimetex/\frac{r^2}{U(r)}\frac{\partial^2 U(r)}{\partial r^2} = l(l+1) \Rightarrow U(r) = Ar^{l+1} + Br^{-l}
come è facile verificare.
Rimane infine la dipendenza da theta; mi limito al caso m=0 (sistema a simmetria azimutale):
http://operaez.net/mimetex/\frac{1}{\sin\theta P(\theta)} \frac{\partial}{\partial \theta} \left ( \sin \theta \frac{\partial P(\theta)}{\partial \theta} \right ) = - l(l+1)
Riarrangiando:
http://operaez.net/mimetex/\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta} \left ( \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta} \frac{\partial P(\theta)}{\partial \theta} \right ) + l(l+1) P(\theta) = 0
Si pone ora
x=cos(theta) (N.B.: x € [-1,1])
dx = -sin(theta)d(theta); ricordando che cos^2x + sin^2x = 1:
http://operaez.net/mimetex/\frac{d}{dx}\left ( (1-x^2)\frac{d P(x)}{dx}\right ) + l(l+1) P(x) = 0
Si cerca una soluzione come serie di potenze; chiaramente solo potenze positive altrimenti si avrebbe una singolarità nell'origine!
http://operaez.net/mimetex/P(x) = \sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n
Per poter inserire tutto questo nell'equazione devo prima calcolare:
http://operaez.net/mimetex/\frac{d P(x)}{dx} = \sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}
http://operaez.net/mimetex/\frac{d}{dx}\left ( (1-x^2)\frac{dP(x)}{dx} \right )= \frac{d}{dx} \left (\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1} - \sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n+1} \right )=
http://operaez.net/mimetex/ = \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_nx^{n-2} - \sum_{n=0}^{\infty} n(n+1)a_nx^n
Per ricondurre ad x^n il termine con x^(n-2) si può cambiare indice alla sommatoria, facendola partire da zero e scalando tutto di 2:
http://operaez.net/mimetex/ \sum_{n=2}^{\infty} n(n-1)a_nx^{n-2} = \sum_{n=0}^{\infty} (n+2)(n+1)a_{n+2}x^n
Se ne ottiene dunque:
http://operaez.net/mimetex/ \sum_{n=0}^{\infty} [(n+2)(n+1)a_{n+2} - n(n+1)a_n + l(l+1)a_n]x^n = 0
che dev'essere valida per ogni n; si ottiene quindi una relazione ricorsiva del tipo:
http://operaez.net/mimetex/ a_{n+2} = \frac{n(n+1) - l(l+1)}{(n+1)(n+2)}a_n

[Lucrezio]

Poiché il rapporto ricorda quello della serie armonica, affinché la serie di potenze converga anche agli estremi del dominio essa deve *terminare* (ovvero essere solo una somma finita!); ponendo il numeratore uguale a zero si ottiene
n = l
n = -(l+1) (non accettabile, solo potenze positive!)
dunque l dev'essere un numero intero!
I polinomi in x così trovati si chiamano polinomi di Legendre; essi sono normalizzati in modo che P(1) = 1; inoltre la relazione lega solo termini dispari con dispari e pari con pari; ne segue che se, risolvendo l'equazione di Legendre l è pari i polinomi avranno solo potenze pari; se invece è dispari i polinomi avranno solo potenze dispari (segue ovviamente dal fatto che la relazione è ricorsiva di 2 in 2 e dal fatto che la serie deve terminare!).
ponendo, ad esempio, l=0 ed a_0 =1
a_1 = 0 (automaticamente); a_2 = 0 (facendo i conti)
Quindi il polinomio per l=0 sarà semplicemente P(x) = 1 (l=0)
l=1; a_1 = 1
viene banalmente che a_3 = 0; quindi P(x) = x (l=1)
l=2; a_0 = 1; a_2 = -6/2 = -3
Quindi, a meno di una costante di normalizzazione: P(x) = 1-3x^2 (l=2); normalizzando si ottiene (1-3x^2)/2
andando avanti così si ottengono tutti. La soluzione dell'equazione di Laplaca avrà quindi la forma
http://operaez.net/mimetex/V(r,\theta) = \sum_l (A_l r^l + B_l r^{-(l+1)})P_l(\cos \theta)
dove i P_l sono i polinomi di Legendre e i coefficienti si determinano a partire dalle condizioni al bordo ;)
Spero che si capisca qualcosa...

[Tadde]

Lucrezio, siamo un po' OT, ma tu sai nulla della notazione di C.T. Tai per quanto riguarda la rappresentazione del rotore e della divergenza col simbolo di "nabla", che si differenzia da quella classica per il fatto che non usa gli operatori di prodotto vettoriale e scalare?

[Lucrezio]

Lucrezio, siamo un po' OT, ma tu sai nulla della notazione di C.T. Tai per quanto riguarda la rappresentazione del rotore e della divergenza col simbolo di "nabla", che si differenzia da quella classica per il fatto che non usa gli operatori di prodotto vettoriale e scalare?
Dici la notazione con gli epsilon?

[d@vid]

Dici la notazione con gli epsilon?
:wtf:

cmq ottimo post (come sempre direi)
si comprende bene, anche se non ho rifatto a mano i calcoli data l'ora :D

[Lucrezio]

:wtf:

cmq ottimo post (come sempre direi)
si comprende bene, anche se non ho rifatto a mano i calcoli data l'ora :D
Grazie ;)
L'esempio di sopra è servito a qualcosa?
(epsilon ijk è il tensore di rango 3 totalmente antisimmetrico; puoi usarlo per definire un qualsiasi prodotto vettoriale come:
http://operaez.net/mimetex/(a \wedge b)_i = \epsilon_{ijk}a_jb_k
se al posto di a metti un nabla ottieni il rotore!)

[Tadde]

Dici la notazione con gli epsilon?

Intendevo questa (http://media.wiley.com/product_data/excerpt/32/07803341/0780334132.pdf)

Serve (a quanto ho capito) a superare le incongruenze tra la rappresentazione del rotore (ad esempio) tramite prodotto vettoriale tra nabla ed il campo ed il fatto che :


nabla non è un vettore e quindi non può essere trattato come tale
il discorso smette di funzionare per sistemi di coordinate diversi da quello rettangolare

[Lucrezio]

Mai vista :eek:
Boh, di solito io uso quella di Gibbs (il mio mito personale! Padre della termochimica, della meccanica statistica e ora scopro pure di un pezzo di analisi vettoriale :eek: )

[Lucrezio]

P.S.: mi sono accorto di aver scritto una boiata tremenda e l'ho corretta... certo che voi mai farmele notare queste cose :ncomment: :ahahah:
:D