Analisi 2: massimi e minimi relativi con hessiano nullo

[ozeta]

ragazzi sto impazzendo, non riesco a capire come si svolgono questi esercizi! l'eserciziario salta tutti i passaggi nella risoluzione degli esercizi svolti, non c'è la minima traccia di un metodo di risoluzione, mette in mezzo rette e frecce inutili nell'unico esempio che riporta, senza dare altre spiegazioni.

qualche santo mi aiuta a risolvere questo problema e mi dice come si determinano max e min quando l'hessiano è nullo ? :cry:

[ozeta]

dai ragazzi, non siate timidi :D :D

[*nicola*]

Per cercare (e trovare :D ) i massimi e minimi di una funzione devi calcolare il gradiente della funzione e vedere quando è uguale al vettore nullo (poni tutte le componenti uguali a zero in un sistema).
Calcoli poi la matrice Hessiana e ci metti dentro i valori che hai trovato prima.
Se viene definita positiva è un punto di minimo, se negativa è di massimo, se non è definita nel segno è di sella.
Devi inoltre considerare a parte i punti non derivabili (quelli che non appartengono al "dominio del gradiente") sempre con la matrice hessiana.

E qui finisce il discorso riguardante gli estremi liberi.
Ci sono degli esercizi invece dove bisogna calcolare i massimi e i minimi di una funzione ristretta ad un certo intervallo (es un disco chiuso).

In quel caso si usano i moltiplicatori di Lagrange, la parametrizzazione della curva e, molto più raramente per quanto mi riguarda, le curve di livello. In pratica cerchi i massimi e minimi sul bordo anzichè cercarli (come hai fatto prima) all'interno.

Sono questi gli esercizi che ti servono?

Cmq la funzione potrebbe anche non avere massimo e minimo assoluti. Risulta molto utile il teorema di Weiestrass che dice che se la funzione è continua e la consideri ristretta ad un insieme chiuso e limitato devono per forza esistere almeno un punto di max (assoluto) e uno di min (assoluto).

[*nicola*]

Qui (http://www.dmi.units.it/~obersnel/EsLez8.pdf) trovi degli esercizi svolti (alcuni un poco "standard" forse) sugli estremi vincolati di funzioni in più varialibili. Nello stesso sito (http://www.dmi.units.it/~obersnel/) del mio prof di Analisi trovi una dispensa dove viene secondo me spiegato abbastanza bene la ricerca dei minimi e massimi (la trovi sotto il corso di Analisi 2, questo è il link diretto al file (http://www.dmi.units.it/~obersnel/An12.pdf), torvi quello che cerchi a pagina 16).
Questo (http://www.batmath.it/matematica/an_due/maxmin/maxmin.htm) è il sito di un altro professore (che invece cura le esercitazioni oltre ad insegnare in un liceo) invece che tratta l'argomento con meno formalisimi e un po' più praticità (ci sono anche qui degli esempi svolti), tieni a mente questo sio perchè secondo me è veramente utile per superare Analisi 1 e 2.

[thotgor]

Scusa, ma quando l'hessiano è nullo , non ci può dare informazioni, non è che è necessariamente di sella.

Devi annullare prima una delle due cordinate...stringendo devi vedere come si comporta la nostra funzione nell'intorno di quel punto "sospetto"... provi ad annullare e vedi come si comporta la funzione, se è sempre crescente o descrescente in quell'intorno vedrai che la funzione è di massimo o minino...se vedi che invece in quell'intorno può assumere valori negativi o positivi a seconda del valore di una delle due variabili, è un punto di sella.

Un trucchetto è che quando trovi la relazione tra x e y nella derivata prima (nello studio..) la sostituisci ad una delle due coordinate, e vedi cosa succede...

esempio, trovi che :

x=y^2 nel sistema di equazioni della derivata prima, ce lo butti dentro alla funzione al posto della x (o della y) e vedi come si comporta (trovi infatti una funzione in una sola variabile)

[*nicola*]

Scusa, ma quando l'hessiano è nullo , non ci può dare informazioni, non è che è necessariamente di sella.
(cut)
Infatti, io ho detto che quando la matrice hessiana (calcolata nel punto trovato nel passaggio precedente) è indefinita nel segno è un punto di sella. Una matrice indfinita nel segno è una matrice che ha determinante negativo (almeno per quanto riguarda il caso con n=2). La matrice nulla è un'altra cosa.

[pietro84]

OT
Nicola hai mica un link che tratta di moltiplicatori di Lagrange?
devo applicarli ma ho quasi totalmente dimenticato questo metodo...

[*nicola*]

OT
Nicola hai mica un link che tratta di moltiplicatori di Lagrange?
devo applicarli ma ho quasi totalmente dimenticato questo metodo...
Qui (http://www.dmi.units.it/~obersnel/An12.pdf) a pagina 20 se ne parla e secondo me è abbastanza comprensibile. In pratica si tratta solamente di impostare un sistema (come indicato dove ti ho detto) e risolverlo.

[ChristinaAemiliana]

Sposto in Scienza e Tecnica. ;)

[Lucrezio]

Si può sempre usare lo sviluppo di Taylor...
Per quanto in più variabili non sia particolarmente semplice...
Direi che l'andare a tentativi, studiando la crescenza della funzione in funzione di una direzione generica, è il metodo più veloce!
Per i moltiplicatori di Lagrange - se non ti serve dimostrare il teorema :muro: :muro: (è stata la mia domanda all'esame di matematica I...) - non ci sono problemi:
Se hai una funzione che ti esprime il vincolo (implicita, di solito, del tipo G(x,y,z...)=0, basta che tu ponga
http://operaez.net/mimetex/\left { \vec{\nabla}F(x_1, ... x_n) = \lambda \vec{\nabla}G(x_1, ... x_n)\\G(x_1, ... x_n)=0.
Ne ottieni un sistema in n+1 equazioni ed n incognite, risolvi e (si fa per dire...) sei a posto!

[ozeta]

ringrazio tutti per l'aiuto, purtroppo sono stato occupato e non ho potuto leggere. mi scuso anticipatamente con i mod perché non avevo letto l'avviso (meaculpa :doh: ) e adesso leggo i vostri commenti, così cerco di farmi un'idea sul da farsi :mc: