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Banus

06-02-2007, 10:56

http://img181.imageshack.us/img181/9382/foto007customaa5.jpg
Nemmeno io sono un esperto di calcolo vettoriale, ma forse con manipolazioni algebriche si riesce a ottenere il risultato.
Il primo membro lo puoi riscrivere così (tn sono i vettori riga del tensore):

http://operaez.net/mimetex/\nabla \cdot (\tau \cdot V) = {\partial \over \partial x_1} (t_1 \cdot V) + ... + {\partial \over \partial x_n} (t_n \cdot V)

Per ogni termine k puoi scrivere:

http://operaez.net/mimetex/{\partial \over \partial x_k} (t_k \cdot V) = ({\partial \over \partial x_k} t_k) \cdot V + t_k \cdot ({\partial \over \partial x_k} V)

Scrivere tutti i passaggi è pesante :p
Se prendi il primo termine al secondo membro per tutti i k e raccogli i termini di v (v1, v2 etc) ottieni il prodotto scalare fra il vettore delle divergenze delle colonne di tau (= divergenza di tau) e V, cioè il primo termine.
Il secondo termine per me è problematico perchè non conosco la definizione di prodotto scalare fra tensori. Se ho capito la definizione su Mathworld (http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html) corrisponde in questo caso alla traccia del prodotto colonne per righe delle matrici corrispondenti, e infatti abbiamo la somma delle colonne di tau trasposta (tk) scalare derivata di V rispetto a xk (riga k-esime del gradiente di V). I calcoli dovrebbero tornare.

flapane

06-02-2007, 14:28

Sembrerebbe la variante multidimensionale di grad(f*g) = f * grad g + g * grad f, con f e g funzioni reali di più variabili reali.
Purtroppo non mi intendo moltissimo di calcolo vettoriale.
OK per la nabla e per V, ma perché tau ha due sbarre anziché una?

tensore degli sforzi

flapane

06-02-2007, 14:31

Nemmeno io sono un esperto di calcolo vettoriale, ma forse con manipolazioni algebriche si riesce a ottenere il risultato.
Il primo membro lo puoi riscrivere così (tn sono i vettori riga del tensore):

http://operaez.net/mimetex/\nabla \cdot (\tau \cdot V) = {\partial \over \partial x_1} (t_1 \cdot V) + ... + {\partial \over \partial x_n} (t_n \cdot V)

Per ogni termine k puoi scrivere:

http://operaez.net/mimetex/{\partial \over \partial x_k} (t_k \cdot V) = ({\partial \over \partial x_k} t_k) \cdot V + t_k \cdot ({\partial \over \partial x_k} V)

Scrivere tutti i passaggi è pesante :p
Se prendi il primo termine al secondo membro per tutti i k e raccogli i termini di v (v1, v2 etc) ottieni il prodotto scalare fra il vettore delle divergenze delle colonne di tau (= divergenza di tau) e V, cioè il primo termine.
Il secondo termine per me è problematico perchè non conosco la definizione di prodotto scalare fra tensori. Se ho capito la definizione su Mathworld (http://mathworld.wolfram.com/DotProduct.html) corrisponde in questo caso alla traccia del prodotto colonne per righe delle matrici corrispondenti, e infatti abbiamo la somma delle colonne di tau trasposta (tk) scalare derivata di V rispetto a xk (riga k-esime del gradiente di V). I calcoli dovrebbero tornare.

ok me li guardo un pò eh? :p
grazie cmq, è veramente una rottura scriversi tutti i passaggi, vedrò che ne esce fuori, se trovo il filo

pazuzu970

06-02-2007, 14:31

eh si ma applicando de l'hopital si ottiene + infinito...prova :D

1) non occorre applicare de l'Hospital poiché non c'è neppure forma di indecisione.

2) riscrivendo la funzione come tu l'hai riscritta, non puoi applicare de l'Hospital perché, a meno di segni, ottieni la forma "inf/0"...

:ciapet:

flapane

06-02-2007, 14:55

ok me li guardo un pò eh? :p
grazie cmq, è veramente una rottura scriversi tutti i passaggi, vedrò che ne esce fuori, se trovo il filo

grazie intanto ho messo a posto il primo pezzo del secondo termine, ora vediamo il secondo :mc:

ChristinaAemiliana

06-02-2007, 18:40

Il secondo termine per me è problematico perchè non conosco la definizione di prodotto scalare fra tensori.

Per i tensori non esiste un vero e proprio prodotto scalare univocamente definito.

In generale si definisce un particolare tipo di prodotto tensoriale saturando uno o più indici di un fattore con altrettanti indici di varianza diversa dell'altro fattore. L'operazione così definita si chiama composizione e generalizza il prodotto interno tra due vettori, tant'è che, quando il risultato è uno scalare, anche nel caso dei tensori si parla, con un'ovvia estensione di linguaggio, di prodotto scalare.

In questa fattispecie, comunque, non abbiamo da complicarci tanto la vita con l'algebra tensoriale, perché tau è il tensore degli sforzi, cioè un semplice tensore di ordine 2, rappresentabile con una matrice, e lo stesso si può dire del gradiente di V (l'operatore gradiente aumenta di 1 l'ordine del tensore cui si applica).

Quindi ci troviamo di fronte a quello che di solito si definisce come "double dot product":

http://operaez.net/mimetex/A:B = A_{ij}B_{ji}

(è sottintesa una sommatoria sugli indici ripetuti secondo la convenzione di Einstein, pertanto sommando su i e j si ottiene proprio uno scalare).

pazuzu970

06-02-2007, 21:51

(è sottintesa una sommatoria sugli indici ripetuti secondo la convenzione di Einstein, pertanto sommando su i e j si ottiene proprio uno scalare).

:eek:

Mi sovviene alla mente una certa "equazione di campo"...

:rolleyes:

Banus

06-02-2007, 21:58

Quindi ci troviamo di fronte a quello che di solito si definisce come "double dot product"
Grazie, fa sempre piacere imparare qualcosa di nuovo ;)

flapane

06-02-2007, 22:19

infatti stavo cercando informazioni sul doppio prodotto scalare perchè era quell'operazione, però addirittura un sito diceva che non esisteva :confused:

ChristinaAemiliana

06-02-2007, 22:19

:eek:

Mi sovviene alla mente una certa "equazione di campo"...

:rolleyes:

No ti prego, quelle no! :D

ChristinaAemiliana

06-02-2007, 22:19

infatti stavo cercando informazioni sul doppio prodotto scalare perchè era quell'operazione, però addirittura un sito diceva che non esisteva :confused:

Mmmhhh...vediamo se ritrovo il formulario che davamo agli allievi di fluidodinamica...

ChristinaAemiliana

06-02-2007, 22:21

Grazie, fa sempre piacere imparare qualcosa di nuovo ;)

:mbe:

Ho la vaga impressione che mi stia prendendo per i fondelli (e me lo merito per quanto ho tirato lunga la storia di Wikipedia)...ma quest'uomo è talmente ineffabile di default che non ne avrò mai la certezza. :asd: :D

ChristinaAemiliana

06-02-2007, 22:25

Mmmhhh...vediamo se ritrovo il formulario che davamo agli allievi di fluidodinamica...

Eccolo in allegato! :)

pazuzu970

06-02-2007, 22:57

Eccolo in allegato! :)

Che cose stilistiche!

:ciapet:

flapane

06-02-2007, 23:02

gentilissima, il libro di aerodinamica sorvolava un pò troppo (visto anche che per scienza venuta giù dal cielo secondo il libro dovevo già conoscerle:sofico: )

ChristinaAemiliana

06-02-2007, 23:39

il libro di aerodinamica sorvolava un pò troppo (visto anche che per scienza venuta giù dal cielo secondo il libro dovevo già conoscerle:sofico: )

Diamine, si vede che sei un aerospaziale eh! :sofico:

flapane

06-02-2007, 23:41

cavoli mi è venuto naturale :eekk:

ChristinaAemiliana

06-02-2007, 23:52

cavoli mi è venuto naturale :eekk:

Mai sottovalutare l'imprinting da politecnico! :Perfido: :p

"Il libro di aerodinamica sorvolava" comunque è fenomenale...:sbonk:

Ma IMHO non è ancora il caso di preoccuparsi, in fondo hai detto solo che sorvolava, non hai iniziato a stimare l'angolo d'attacco e la portanza...:D

nin

07-02-2007, 09:01

Ciao a tutti! :)

Ho qualche dubbio nella determinazione delle singolarità e nella loro classificazione in campo complesso...Ecco l'esercizio che mi lascia perplesso:

http://operaez.net/mimetex/P(z) = \frac{sen(z)}{e^{z^2}-1}

Si arriva praticamente subito ad individuare le singolarità al finito e all'infinito:

http://operaez.net/mimetex/Z_0 = 0

http://operaez.net/mimetex/k\geq 0
http://operaez.net/mimetex/Z_k = sqrt{2k\pi}e^{i\frac{\pi}{4}} o
http://operaez.net/mimetex/Z_k = sqrt{2k\pi}e^{i\frac{5\pi}{4}}

k< 0
http://operaez.net/mimetex/Z_k = sqrt{2 \mid k \mid \pi}e^{i\frac{3\pi}{4}} o
http://operaez.net/mimetex/Z_k = sqrt{2 \mid k \mid \pi}e^{i\frac{7\pi}{4}}

Infinito non è singolarità isolata.

Il problema nasce nel determinare l'ordine dei poli..
Z=0 per me era polo doppio e invece viene segnalato come polo semplice, a fianco c'è un appunto:"..al numeratore ho sen(z)" seguito da
http://operaez.net/mimetex/\frac{0semplice}{0doppio}
..questo dovrebbe giustificare? In che modo?

I vari Z successivi sono indicati invece come poli doppi, con l'appunto:
http://operaez.net/mimetex/\frac{o(1)}{0 semplice}

..se qualcuno riuscisse a chiarirmi perchè si arriva a queste conclusioni gliene sarei grato. :)

Ziosilvio

07-02-2007, 09:23

Z=0 per me era polo doppio e invece viene segnalato come polo semplice, a fianco c'è un appunto:"..al numeratore ho sen(z)" seguito da
http://operaez.net/mimetex/\frac{0semplice}{0doppio}
..questo dovrebbe giustificare? In che modo?
A denominatore hai l'esponenziale di z^2, non quello di z.

Ora, se

http://operaez.net/mimetex/\lim_{z\to 0}\frac{e^z-1}{z}=1

allora anche

http://operaez.net/mimetex/\lim_{z\to 0}\frac{e^{z^2}-1}{z^2}=1

per cui exp(z^2)-1, in un intorno dell'origine, si comporta come z^2, e non come z. Dato che invece sin z si comporta come z, la funzione si comporta come z/z^2 = 1/z, e l'origine è un polo semplice.

Banus

07-02-2007, 12:23

Ho la vaga impressione che mi stia prendendo per i fondelli
Semplicemente non ho mai visto la notazione ":" né il doppio prodotto scalare (ho visto il suo "cugino" prodotto interno di Frobenius che talvolta è indicato con la stessa notazione). Adesso so cosa significa :D

ChristinaAemiliana

07-02-2007, 14:01

Semplicemente non ho mai visto la notazione ":" né il doppio prodotto scalare (ho visto il suo "cugino" prodotto interno di Frobenius che talvolta è indicato con la stessa notazione). Adesso so cosa significa :D

Mmmhhhh. :D

nin

07-02-2007, 14:19

A denominatore hai l'esponenziale di z^2, non quello di z.

Ora, se

http://operaez.net/mimetex/\lim_{z\to 0}\frac{e^z-1}{z}=1

allora anche

http://operaez.net/mimetex/\lim_{z\to 0}\frac{e^{z^2}-1}{z^2}=1

per cui exp(z^2)-1, in un intorno dell'origine, si comporta come z^2, e non come z. Dato che invece sin z si comporta come z, la funzione si comporta come z/z^2 = 1/z, e l'origine è un polo semplice.

Come sempre chiarissimo.
Immagino allora che gli Z successivi siano poli doppi perchè lontano da 0 sen(z) non si comporta come z..

Grazie :)

Ziosilvio

07-02-2007, 14:39

Immagino allora che gli Z successivi siano poli doppi perchè lontano da 0 sen(z) non si comporta come z..
Mi sa di no.

Come giustamente hai ricordato tu stesso, i punti z0 in cui exp(z^2)-1 si annulla, sono quelli della forma

http://operaez.net/mimetex/z_0^2=2k\pi{i}

per qualche intero k.

Detto z0 uno di tali valori, tu hai per periodicità dell'esponenziale e definizione di derivata complessa

http://operaez.net/mimetex/\lim_{z\to z0}\frac{e^{z^2}-1}{z^2-z_0^2}=\lim_{z\to z0}\frac{e^{z^2}-e^{2k\pi{i}}}{z^2-2k\pi{i}}=1

(Se z è vicino a z0, allora z^2 è vicino a 2 k Pi i, e la frazione è vicina alla derivata di g(w)=e^w in w = 2 k Pi i, che vale 1.)

Ma z^2-z0^2 = (z-z0)(z+z0), e per z-->z0, il primo fattore converge a 0, ma il secondo converge a 2z0: quindi,

http://operaez.net/mimetex/\lim_{z\to z0}\frac{e^{z^2}-1}{z-z_0}=2z_0

Il che ci riporta alla tua

http://operaez.net/mimetex/f(z)=\frac{\sin z}{e^{z^2}-1}

Se z0=0, allora f ha zero semplice su zero doppio, quindi polo semplice.
Se z0<>0, allora f ha valore non nullo su zero semplice, quindi in ogni caso polo semplice.

pazuzu970

07-02-2007, 16:07

Mai sottovalutare l'imprinting da politecnico! :Perfido: :p

"Il libro di aerodinamica sorvolava" comunque è fenomenale...:sbonk:

Ma IMHO non è ancora il caso di preoccuparsi, in fondo hai detto solo che sorvolava, non hai iniziato a stimare l'angolo d'attacco e la portanza...:D

:rotfl: :rotfl: :rotfl:

flapane

07-02-2007, 19:17

e certo, il libro è una lastra piana ad incidenza nulla :Prrr:

pazuzu970

07-02-2007, 20:44

e certo, il libro è una lastra piana ad incidenza nulla :Prrr:

...ed angolo di curvatura costante...

:D

CioKKoBaMBuZzo

07-02-2007, 20:55

pazuzu970

07-02-2007, 21:08

vabbè io conitnuo con i miei questiti che mi fanno sentire un ebete :D

devo calcolare l'integrale definito (estremo superiore: inf; estremo inferiore: a, con a>2) della funzione:
1/x^2

non so che ripercussioni può avere la limitazione a>2...perchè calcolando l'integrale per ogni a verrebbe 1/a, ma il libro dà come soluzione 2-1/a.

inoltre, supponendo che possa valere per ogni a, il risultato è 1/a, quindi se a-->-inf. l'area compresa tra la funzione e l'asse delle x diventa 0. peccato che calcolando invece l'integrale definito con estremi inf e -inf, l'area corrispondente sia inf...che l'area sia 0 (guardando il grafico della funzione) non ha neppure senso...

Per ogni a>0, il valore dell'integrale è 1/a. Non riesco a capire perché il tuo libro indichi quell'altro risultato. Sicuro di aver letto bene il testo?

:confused:

Se poni a = -00, l'integrale devi spezzarlo da -00 a 0 e da 0 a +00, poiché la funzione integranda non è continua in x = 0, quindi ovvio che i conti non ti tornano relativamente a questo discorso.

ciccioweb

09-02-2007, 07:10

Ciao a tutti, volevo sapere se potevate indicarmi una fonte online dove prendere le espressioni della BER (Bit error Rate) e della SER (Symbol error rate) per le modulazioni numeriche, cioè BPSK, QPSK, DBPSK, DQPSK, 8PSK, 16PSK.... etc...
Ho provato a cercare ma ho trovato espressioni contrastanti, lo so che è un argomento un pò particolare, quindi nn sono sikuro ke questa sia la sezione giusta dove kiedere... :muro:

GRAZIE ;)

BlackLothus

09-02-2007, 08:26

prova a cercare su google PSK demodulation, i primi due risultati dovrebbero essere Parte 1 e Parte 2 di un articolo della Watkins-Johnson Company. Spero sia di aiuto.

retorik

09-02-2007, 16:30

Trovare le coordinate della proiezione del punto (-3 ; 4) sulla retta 2x-3y=8
Non so da dove iniziare, mi date una mano? :stordita:
Grazie

ChristinaAemiliana

09-02-2007, 16:42

Trovare le coordinate della proiezione del punto (-3 ; 4) sulla retta 2x-3y=8
Non so da dove iniziare, mi date una mano? :stordita:
Grazie

Considera il fascio improprio delle rette perpendicolari alla retta data e identifica la retta passante per il punto (-3,4). La proiezione è semplicemente l'intersezione di questa retta con quella fornita dal problema.

wisher

09-02-2007, 16:42

Trovare le coordinate della proiezione del punto (-3 ; 4) sulla retta 2x-3y=8
Non so da dove iniziare, mi date una mano? :stordita:
Grazie
Trova il coefficiente angolare della retta, trova il coefficiente angolare della retta perpendicolare e poi trova la retta passante per il tuo punto perpendicolare alla retta originale.
Facendo l'intersezione tra le due rette hai la proiezione.

wisher

09-02-2007, 16:43

Considera il fascio improprio delle rette perpendicolari alla retta data e identifica la retta passante per il punto (-3,4). La proiezione è semplicemente l'intersezione di questa retta con quella fornita dal problema.
come spiegazione meglio questa... :D

ciccioweb

09-02-2007, 19:15

prova a cercare su google PSK demodulation, i primi due risultati dovrebbero essere Parte 1 e Parte 2 di un articolo della Watkins-Johnson Company. Spero sia di aiuto.

Grazie, ma io cercavo le espressioni di tutte le BER... ;)

Fenomeno85

11-02-2007, 12:32

scusate c'è qualche programma che restituisce la serie di furier o la mac laurin?

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

d@vid

11-02-2007, 14:35

scusate c'è qualche programma che restituisce la serie di furier o la mac laurin?

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~
MatLab

taylor() per la serie di McLaurin
fft() per quella di fourier [per ottenere i coeff di quest'ultima c'è un algoritmo da adoperare che se vuoi ti passo]

pazuzu970

11-02-2007, 16:59

scusate c'è qualche programma che restituisce la serie di furier o la mac laurin?

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

:eek:

O santoiddiodelcielo!

Ma proprio non riuscite a cogliere la bellezza di studiare una serie di Fourier con carta e matita?

:confused:

E vabbé... anche le nuove tecnologie hanno la loro bellezza!

:p

d@vid

11-02-2007, 18:10

MatLab

taylor() per la serie di McLaurin
fft() per quella di fourier [per ottenere i coeff di quest'ultima c'è un algoritmo da adoperare che se vuoi ti passo]
in realtà ora che mi ricordo i coeff della fs ML li calcola in numerico
invece per la serie di mcLaurin c'è il simbolico

d@vid

11-02-2007, 18:14

:eek:

O santoiddiodelcielo!

Ma proprio non riuscite a cogliere la bellezza di studiare una serie di Fourier con carta e matita?

:confused:

E vabbé... anche le nuove tecnologie hanno la loro bellezza!

:p
ehm... diciamo che dopo un pò di tempo vien voglia di "cambiare aria" :O

anche se in realtà anche io uso la matitina, ma forse nel caso in questione potrebbe esser necessario un confronto o massimizzare i tempi :sofico:

Fenomeno85

11-02-2007, 20:12

grazie mille per la risposta di prima .. era solo per confronto :D

5. Sia h un parametro per l’applicazione lineare f : R4 ! R3 , f(x1, x2, x3, x4) = (x1 + hx2, hx2 + x3, x3 + hx4).
a) Calcolare dim Imf e dim kerf al variare di h
b) Discutere iniettivit`a e suriettivit`a di f al variare di h .
c) Determinare gli eventuali valori di h per i quali il vettore (1, 1,−1) ammette controimmagini

7. Sia f : R4 ! R4 l’applicazione lineare f(x1, x2, x3, x4) = (0, x2, 2x2 + 3x3 + 4x4, 5x2 + 6x4).
a) La dimensione di Imf `e: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . La dimensione di kerf `e: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
b) Quali sono gli autovalori di f ?

qualcuno ha qualche soluzione?

dim Kerf = n -r???

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

retorik

11-02-2007, 20:27

Trova il coefficiente angolare della retta, trova il coefficiente angolare della retta perpendicolare e poi trova la retta passante per il tuo punto perpendicolare alla retta originale.
Facendo l'intersezione tra le due rette hai la proiezione.
Grazie a te e a ChristinaAemiliana. :)

nin

12-02-2007, 09:24

Mi sa di no.

Come giustamente hai ricordato tu stesso, i punti z0 in cui exp(z^2)-1 si..

OK, adesso dovrei aver afferrato il concetto.
Grazie :)
:mano:

Fenomeno85

12-02-2007, 09:25

nin

12-02-2007, 21:53

Permettetevi di tediarvi ancora un pò con funzioni analitiche e compagnia, stavolta si tratta di equazioni differenziali in campo complesso.

http://operaez.net/mimetex/w''(z)+\frac{z}{(z-1)}w'(z)-\frac{1}{(z-1)z}w(z)=0

Siano:

http://operaez.net/mimetex/P(z)=\frac{z}{(z-1)}
http://operaez.net/mimetex/Q(z)=-\frac{1}{(z-1)z

P(z) ha in Z=1 un polo semplice
Q(z) ha in Z=0 e Z=1 poli semplici

Ho qualche dubbio sull' infinito:
Trattando l'infinito con la variabile z=1/t e studiando P(t) e Q(t) per t->0 ottengo:

http://operaez.net/mimetex/P(t)=\frac{1}{(1-t)}
http://operaez.net/mimetex/Q(t)=-\frac{t^2}{(1-t)}

P(t) ha infinito come punto regolare
Q(t) ha infinito zero del secondo ordine

O sbaglio?

L' equazione allora non dovrebbe essere totalmente fucshiana a causa dell'infinito.

Per il teorema di Fuchs conosco la forma che avrà la soluzione in un intorno di Z=1, che è punto fuchsiano per l'equazione.
Mi viene chiesto però:

Nessuna soluzione può avere singolarità essenziali al finito
Almeno una soluzione ha una singolarità essenziale all'infinito

Io so che nell'intorno di Z=1 le soluzione non avranno singolarità essenziali, al più poli.
Nell'intorno di z=0 io non conosco che tipo di soluzione possa esserci, quindi non posso teoricamente fare previsioni.
Infinito da problemi a causa di Q(z), ma ancora una volta non ho abbastanza informazioni per stabilire a priori che tipo di soluzioni (e con che singolarità) avrò all'infinito.

Tutto questo per chiedervi se ho ragionato bene e abbastanza, a me sembra di no :doh:

Ziosilvio

12-02-2007, 23:33

stavolta si tratta di equazioni differenziali in campo complesso.
Purtroppo non ne so praticamente nulla...
http://operaez.net/mimetex/P(z)=\frac{z}{(z-1)}
http://operaez.net/mimetex/Q(z)=-\frac{1}{(z-1)z

P(z) ha in Z=1 un polo semplice
Q(z) ha in Z=0 e Z=1 poli semplici

Ho qualche dubbio sull' infinito:
Trattando l'infinito con la variabile z=1/t e studiando P(t) e Q(t) per t->0 ottengo:

http://operaez.net/mimetex/P(t)=\frac{1}{(1-t)}
http://operaez.net/mimetex/Q(t)=-\frac{t^2}{(1-t)}

P(t) ha infinito come punto regolare
Q(t) ha infinito zero del secondo ordine
Sì; e puoi vederlo anche in un altro modo.
Tanto P quanto Q sono funzioni razionali: per cui, la somma degli ordini degli zeri al finito e all'infinito, è uguale alla somma degli ordini dei poli al finito e all'infinito.
Dato che P ha uno zero semplice e un polo semplice al finito, l'infinito è un punto regolare (e non è uno zero); dato che Q ha due poli semplici e nessuno zero al finito, l'infinito è uno zero doppio.

nin

13-02-2007, 08:51

Purtroppo non ne so praticamente nulla...

Sì; e puoi vederlo anche in un altro modo.
Tanto P quanto Q sono funzioni razionali: per cui, la somma degli ordini degli zeri al finito e all'infinito, è uguale alla somma degli ordini dei poli al finito e all'infinito.
Dato che P ha uno zero semplice e un polo semplice al finito, l'infinito è un punto regolare (e non è uno zero); dato che Q ha due poli semplici e nessuno zero al finito, l'infinito è uno zero doppio.

Mi basta avere riscontro su quanto ho scritto riguardo l'infinito e il tuo consiglio basta e avanza. Spero che gli altri pezzi del ragionamento seguano da soli..

Grazie :)

Phoenix85

14-02-2007, 17:47

Non è che potreste aiutarmi con l'integrale indefinito di senx/x?

Ziosilvio

14-02-2007, 18:02

Non è che potreste aiutarmi con l'integrale indefinito di senx/x?
Non c'è una primitiva esplicita; la funzione

http://operaez.net/mimetex/{\rm Si}(x)=\int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt

ha addirittura un nome speciale, integralseno.

Guarda anche su PlanetMath (http://planetmath.org/encyclopedia/SineIntegral.html).

pazuzu970

14-02-2007, 23:15

Non c'è una primitiva esplicita; la funzione

http://operaez.net/mimetex/{\rm Si}(x)=\int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt

ha addirittura un nome speciale, integralseno.

Guarda anche su PlanetMath (http://planetmath.org/encyclopedia/SineIntegral.html).

Infatti.

C'è un buon numero di tali funzioni che non è possibile integrare in modo elementare (vedi anche x^x, tgx/x, cosx/x, e^x/x, e^(-x^2),...) e per cui, quindi, ha poco senso parlare di integrale indefinito.
L'integrale definito di tali funzioni può essere ottenuto, invece, mediante integrazione per serie o altri metodi, anche numerici...

Phoenix 85, in che modo ti sei imbattuto nell'integrale indefinito di senx/x?

:confused:

d@vid

15-02-2007, 13:24

http://img71.imageshack.us/img71/2087/strutturage5.jpg (http://imageshack.us)

con riferimento alla (bellissima :stordita: ) figura sopra, c'è qualcuno riesca a farmi capire cosa s'intende per componente trasversale e longitudinale :confused:

alcune DOVEROSE precisazioni riguardo all'img:
- t è il versone tangente alla superficie (cilindrica) nel punto in cui è stato disegnato, mentre n è il versone normale ad essa
- A è un generico vettore (campo vettoriale) che ha le tre componenti cartesiane Ax, Ay, Az

imho: componente trasversale è quella componente che giace nel piano "trasverso" (in questo caso il piano xy) rispetto all'asse del cilindro (che è l'asse z);
componente longitudinale: è la componente secondo l'asse (quindi secondo z);
componente tangenziale: è la componente tangente alla superficie nel punto considerato: quindi la componente secondo t;

dunque, con riferimento al vettore A, Az è la sua componente longitudinale, mentre la sua componente trasversale è quella che giace nel piano xy (ovvero Ax i + Ay j :confused: DOVE i=versore coordinato dell'asse x; j=versore coordinato dell'asse y)... la componentne tangenziale qual è? :confused:

Ziosilvio

15-02-2007, 13:32

con riferimento alla (bellissima :stordita: ) figura sopra, c'è qualcuno riesca a farmi capire cosa s'intende per componente trasversale e longitudinale :confused:

CUT

dunque, con riferimento al vettore A, Az è la sua componente longitudinale, mentre la sua componente trasversale è quella che giace nel piano xy (ovvero Ax i + Ay j :confused: DOVE i=versore coordinato dell'asse x; j=versore coordinato dell'asse y)... la componentne tangenziale qual è? :confused:
A parte il fatto che il "vettore senza nome" in figura non è Ax+Ay (la componente di A nel piano XY) ma Ax+Az...
... direi che la componente tangenziale è la componente relativa al piano tangente nel punto di applicazione.

d@vid

15-02-2007, 14:23

A parte il fatto che il "vettore senza nome" in figura non è Ax+Ay (la componente di A nel piano XY) ma Ax+Az...
si certo, quella è solo la proiezione del vettore sul piano xz (serviva a me per poter tracciare decentemente le componenti cartesiane :D )

... direi che la componente tangenziale è la componente relativa al piano tangente nel punto di applicazione.
uhm... e come è definito questo piano tangente :confused:
forse come il piano ortogonale a n?

quindi per il resto non dovrei aver detto castronerie :stordita:
però, lasciando stare il caso semplice della rappresentazione qui raffigurata: in generale, la componente tangenziale ad una superficie di vettore normale n si calcola come nxA? (se la risp alla mia domanda di sopra è corretta)

invece: la componente trasversale ad una direzione specificata dal versore a come si calcola? axAxa?

(la componente longitudinale ad a è chiaramente a°Aa )

ps 'x' := prodotto vettore
'°' := prodotto scalare

Ziosilvio

15-02-2007, 15:15

e come è definito questo piano tangente :confused:
forse come il piano ortogonale a n?

quindi per il resto non dovrei aver detto castronerie :stordita:
però, lasciando stare il caso semplice della rappresentazione qui raffigurata: in generale, la componente tangenziale ad una superficie di vettore normale n si calcola come nxA? (se la risp alla mia domanda di sopra è corretta)

invece: la componente trasversale ad una direzione specificata dal versore a come si calcola? axAxa?

(la componente longitudinale ad a è chiaramente a°Aa )

ps 'x' := prodotto vettore
'°' := prodotto scalare
Purtroppo in Geometria differenziale sono abbastanza arrugginito.
Comunque: sul piano tangente trovi parecchio materiale su PlanetMath (http://planetmath.org/encyclopedia/TangentPlane.html).
Per quanto riguarda le altre formule: n-vettor-A è ortogonale sia ad n che ad A, quindi la componente di A nella direzione di n-vettor-A è sempre zero, mentre la componente tangenziale di A può benissimo essere non nulla; semmai, dovrebbe essere A - (n-scalar-A)n. La componente trasversale, adesso non mi viene in mente cosa sia.

d@vid

15-02-2007, 15:23

Purtroppo in Geometria differenziale sono abbastanza arrugginito.
Comunque: sul piano tangente trovi parecchio materiale su OlanetMath (http://planetmath.org/encyclopedia/TangentPlane.html).
Per quanto riguarda le altre formule: n-vettor-A è ortogonale sia ad n che ad A, quindi la componente di A nella direzione di n-vettor-A è sempre zero, mentre la componente tangenziale di A può benissimo essere non nulla; semmai, dovrebbe essere A - (n-scalar-A)n. La componente trasversale, adesso non mi viene in mente cosa sia.

ok ti ringrazio :)

rifletto un pò su, e do anche un'occhiata al tuo link

edit: intanto, se qualcuno ha altri suggerimenti è libero di esporli, magari può interessare anche altri :)

d@vid

15-02-2007, 16:44

Purtroppo in Geometria differenziale sono abbastanza arrugginito.
Comunque: sul piano tangente trovi parecchio materiale su PlanetMath (http://planetmath.org/encyclopedia/TangentPlane.html).
Per quanto riguarda le altre formule: n-vettor-A è ortogonale sia ad n che ad A, quindi la componente di A nella direzione di n-vettor-A è sempre zero, mentre la componente tangenziale di A può benissimo essere non nulla; semmai, dovrebbe essere A - (n-scalar-A)n. La componente trasversale, adesso non mi viene in mente cosa sia.

ci ho pensato un pò su, ed in effetti mi par giusto quello che dici per il calcolo della componente tangenziale: A - (n-scalar-A)n
Però non ho capito: perchè nxA dovrebbe dare sempre zero :confused:
per esempio, se si considera la mia img (con n diretto come l'asse y), l'angolo formato tra A e l'asse y non è zero (o multiplo di pi)

edit forse ho capito: tu ti riferisci a n°(nxA), che è zero certamente

pazuzu970

15-02-2007, 18:21

Purtroppo in Geometria differenziale sono abbastanza arrugginito.

:eek:

:nonsifa:

Non ci credo neppure se...

:Prrr:

Ziosilvio

15-02-2007, 19:05

forse ho capito: tu ti riferisci a n°(nxA), che è zero certamente
Veramente mi riverivo a n-scalar-(n-vettor-A) --- che è zero lo stesso ;)
:eek:

:nonsifa:

Non ci credo neppure se...

:Prrr:
UOMO DI POCA FEDE!!!

:Prrr:

ChristinaAemiliana

15-02-2007, 19:19

edit: intanto, se qualcuno ha altri suggerimenti è libero di esporli, magari può interessare anche altri :)

Eh, purtroppo ti sei infilato nel terreno minato delle coordinate intrinseche, ossia quei sistemi di coordinate che sono "naturali", in quanto "particolarmente comode" per studiare un dato fenomeno o una certa teoria.

Il problema è che in quanto tali queste coordinate dipendono...dal fenomeno che si studia :D ergo non si tratta di scelte univoche intuibili a priori.

Ad esempio in fusione noi usiamo queste (ma non solo!):

http://www.nada.kth.se/~jaun/Research/pub/CPC95/fig1.gif

Guarda la linea di campo magnetico B. Quella che per te era la coordinata longitudinale in questo caso è il versore sempre diretto lungo la linea di campo (ossia quello indicato con e_||). Va da sè che e_|| sia un versore variabile lungo la linea di campo. Punto per punto poi si definisce il versore normale (e_n), che ovviamente è quello perpendicolare al piano tangente alla superficie del toro nel punto considerato, e infine il versore tangente (e_b) che è semplicemente quello che completa la terna individuata dai primi due.

In verità noi in letteratura li chiamiamo così:

e_|| ---> b (perché è diretto lungo B)

e_n ---> n (normale)

e_b ---> "tau" (tangente)

Ecco, questa è la nostra definizione ma ce ne sono anche altre e noi stessi definiamo altre terne "comode"...:)

flapane

15-02-2007, 19:31

mi verrebbe per esempio in mente la ξ e la normale per studiare un condotto convergente divergente, ovviamente non ne so niente su come risolvere il tuo problema, però posso confermare che sono comode ma sono delle gran bastarde in riferimento a come sceglierle:stordita:

d@vid

15-02-2007, 19:43

Veramente mi riverivo a n-scalar-(n-vettor-A) --- che è zero lo stesso ;)
esatto, il mio '°' indica il prodotto scalare :D

ok grazie Christina anche a te, volevo proporre un esempio sensato che riportasse il mio problema al caso tuo, ma non ci sono riuscito (forse perchè non ho neanche capito da che lato guardare la figura :eek: :D )

edit: sono sicuro quasi al 100% che nel mio caso longitudinale voglia dire "secondo l'asse del cilindro", trasversale "perpendicolarmente all'asse del cilindro" e tangenziale "tangenziale alla superficie cilinrica (qui non ci dovrebbero esser problemi)"

ora il mio dubbio è:
c'è un modo di esprimere le componenti trasversali e tangenziali di un vettore in funzione del versore n (versore normale alla superficie, e quindi anche all'asse, del cilindro)?

(n°A)n=componente longitudinale di A (su questo non ci piove)

nxAxn=componente trasversale :confused:
e quindi, dato che le direzioni trasversale e tangenziale sono perpendicolari,
nxA=componente tangenziale :confused:

ps avrò editato questo messaggio una decina di volte :D

Banus

15-02-2007, 20:59

ora il mio dubbio è:
c'è un modo di esprimere le componenti trasversali e tangenziali di un vettore in funzione del versore n (versore normale alla superficie, e quindi anche all'asse, del cilindro)?
Forse non ho capito bene, ma penso che una risposta possa essere questa:

(z°A)z = Az z = componente longitudinale

(n°A)n = componente normale

t = nxz
(t°A)t = componente tangenziale

Il versore z è lo stesso in coordinate cartesiane e cilindriche, e per individuare le altre due componenti hai bisogno di conoscere almeno uno fra i due versori t e n.
Mi sembra un po' semplice come soluzione. E' quello che ti serviva? :stordita:

d@vid

15-02-2007, 22:25

Forse non ho capito bene, ma penso che una risposta possa essere questa:

(z°A)z = Az z = componente longitudinale

(n°A)n = componente normale

t = nxz
(t°A)t = componente tangenziale

Il versore z è lo stesso in coordinate cartesiane e cilindriche, e per individuare le altre due componenti hai bisogno di conoscere almeno uno fra i due versori t e n.
Mi sembra un po' semplice come soluzione. E' quello che ti serviva? :stordita:

forse sì, scusa ma ora con questi vettori non ci sto a capì più niente, domattina mi rileggo il tuo post :D

come infatti hai visto, ho anche sbagliato a scrivere il mio post :stordita:

Phoenix85

16-02-2007, 10:57

Infatti.

C'è un buon numero di tali funzioni che non è possibile integrare in modo elementare (vedi anche x^x, tgx/x, cosx/x, e^x/x, e^(-x^2),...) e per cui, quindi, ha poco senso parlare di integrale indefinito.
L'integrale definito di tali funzioni può essere ottenuto, invece, mediante integrazione per serie o altri metodi, anche numerici...

Phoenix 85, in che modo ti sei imbattuto nell'integrale indefinito di senx/x?

:confused:

No era una curiosità ma comunque qual è il risultato dell'integrale definito di senx/x?

Ziosilvio

16-02-2007, 11:28

No era una curiosità ma comunque qual è il risultato dell'integrale definito di senx/x?
Se vuoi sapere, dato x, quanto vale Si(x)... non ci sono sistemi per saperlo esattamente, tranne che in valori molto speciali.
Però, puoi fare come diceva su PlanetMath. Infatti, dato che sin(z) è analitica e si annulla per z=0, sin(z)/z è analitica anche lei, e puoi integrare per serie.
In particolare, dato che

http://operaez.net/mimetex/\sin z=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{(2k+1)!}

hai

http://operaez.net/mimetex/\frac{\sin z}{z}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kz^{2k}}{(2k+1)!}

e quindi

http://operaez.net/mimetex/{\rm Si}(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{(2k+1)\cdot(2k+1)!}

pazuzu970

16-02-2007, 12:58

Se vuoi sapere, dato x, quanto vale Si(x)... non ci sono sistemi per saperlo esattamente, tranne che in valori molto speciali.
Però, puoi fare come diceva su PlanetMath. Infatti, dato che sin(z) è analitica e si annulla per z=0, sin(z)/z è analitica anche lei, e puoi integrare per serie.
In particolare, dato che

http://operaez.net/mimetex/\sin z=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{(2k+1)!}

hai

http://operaez.net/mimetex/\frac{\sin z}{z}=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kz^{2k}}{(2k+1)!}

e quindi

http://operaez.net/mimetex/{\rm Si}(z)=\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^kz^{2k+1}}{(2k+1)\cdot(2k+1)!}

@Phoenix85

Per esempio puoi anche ottenere il valore dell'integrale di e^-(x^2) tra due estremi a e b, con un errore prefissato...

flapane

16-02-2007, 12:59

quello si calcolava per serie, o sbaglio?

pazuzu970

16-02-2007, 13:58

quello si calcolava per serie, o sbaglio?

No, che non sbagli.

La serie che salta fuori quando integri tra 0 ed un generico x reale positivo è a termini di segno alterno convergente, ed è noto che, l'errore che commetti arrestando la somma al termine n-simo non supera il valore assoluto del primo termine trascurato (cioé il successivo (n+1)-esimo)...

Ho dovuto calcolare l'integrale di e^(-x^2) tra gli estremi 0 ed 1, l'11 gennaio del 2000, nel contesto di uno dei quesiti dell'ultimo concorso a cattedre...

Bei tempi... - anzi "tempi bruttissimi", di studio matto e disperatissimo...:(

:p

matteop7

16-02-2007, 14:51

pazuzu970

16-02-2007, 20:41

ecco un bel quesito di trigonometria che non esce al mio professore

Traccia la tangente t nel punto B alla semicirconferenza di diametro AB=4. Chiamati P un punto sulla semicirconferenza, Q la sua proiezione su AB e R quella su t, determina l'angolo PẬB in modo che: 2√3 PQ + PR = 5 AQ

qualcuno lo sa fare?

Basta esprimere le grandezze in esame in funzione dell'angolo x.

Tenendo anche conto che il triangolo APB è rettangolo in P, si trova:

PQ = APsenx = (ABcox)senx = ABsenxcox

AQ = APcosx = ABcosxcosx = AB(cosx)^2

PR = AB -AQ = AB -APcosx = AB - AB(cosx)^2 = AB(1-(cosx)^2) = AB(senx)^2

Sostituendo nella relazione data si trova un'equazione omogenea di secondo grado in senx e cosx, che ammette come soluzione del problema l'angolo x = arctg(2rad2 -rad3), che equivale a circa 47° (se ho fatto bene i conti...).

Ad ogni modo, prova a rifarlo tu...

;)

P.S.: considerati i coefficienti particolari che compaiono nella relazione data, che sembra costruita ad hoc, mi sarei aspettato come soluzione un angolo di quelli noti. Controlla se ho commesso qualche errore nelle sostituzioni, altrimenti il problema è proprio mal congegnato dal punto di vista didattico...

ChristinaAemiliana

16-02-2007, 22:11

Basta esprimere le grandezze in esame in funzione dell'angolo x.

...cut...

P.S.: considerati i coefficienti particolari che compaiono nella relazione data, che sembra costruita ad hoc, mi sarei aspettato come soluzione un angolo di quelli noti. Controlla se ho commesso qualche errore nelle sostituzioni, altrimenti il problema è proprio mal congegnato dal punto di vista didattico...

Io ho buttato giù un abbozzo di soluzione alla veloce prima di cena e mi risultava un'equazione di secondo grado in tgx (con x sempre lo stesso angolo) e veniva esattamente lo stesso risultato (forse a meno di un segno ma probabilmente errore mio).

Quindi o c'è un errore nel testo (per come lo ha riportato il nostro amico) oppure il problema è proprio pensato male, perché anche io mi aspettavo un angolo noto...;)

Ziosilvio

17-02-2007, 10:42

o c'è un errore nel testo (per come lo ha riportato il nostro amico) oppure il problema è proprio pensato male, perché anche io mi aspettavo un angolo noto
Ho provato anch'io a svolgere l'esercizio, considerando come incognita l'angolo al centro theta, anziché quello alla circonferenza.
E ho ottenuto anch'io un'arcotangente strana. (Di fatto, a un certo punto ho dovuto porre t = tan(theta/2), quindi sin theta = 2t/(1+t^2) e cos theta = (1-t^2)/(1+t^2).)
E ho ottenuto lo stesso risultato, nel senso che t = 2 sqrt(2) - sqrt(3).

Stando così le cose, quoto.

matteop7

17-02-2007, 11:34

ok grazie, oggi il prof lo ha fatto ed gli è venuto, si vede che ieri era addormentato come suo solito, ciò non cambia che lo prenderemo in giro un mese...:D

comunque gli svolgimenti da voi postati sono esatti, non esce un angolo noto ma circa 47°. :mc:

pazuzu970

17-02-2007, 12:58

Ho provato anch'io a svolgere l'esercizio, considerando come incognita l'angolo al centro theta, anziché quello alla circonferenza.
E ho ottenuto anch'io un'arcotangente strana. (Di fatto, a un certo punto ho dovuto porre t = tan(theta/2), quindi sin theta = 2t/(1+t^2) e cos theta = (1-t^2)/(1+t^2).)
E ho ottenuto lo stesso risultato, nel senso che t = 2 sqrt(2) - sqrt(3).

Stando così le cose, quoto.

E se ci quota ziosilvio...

:D

pazuzu970

17-02-2007, 12:59

flapane

17-02-2007, 13:03

ok grazie, oggi il prof lo ha fatto ed gli è venuto, si vede che ieri era addormentato come suo solito, ciò non cambia che lo prenderemo in giro un mese...:D

cosa strana nelle sQuole italiane, eh?:ciapet:
Non scorderò mai la frase della prof, a cui non riusciva neanche un esercizio: vabè ragazzi questo lo finite a casa... e tutti a ridere

pazuzu970

17-02-2007, 14:14

cosa strana nelle sQuole italiane, eh?:ciapet:
Non scorderò mai la frase della prof, a cui non riusciva neanche un esercizio: vabè ragazzi questo lo finite a casa... e tutti a ridere

Il mio - che sento a tutt'oggi - era esattamente il contrario: grande classe, una specie di Byron di un altro pianeta che seduceva con l'acutezza dello sguardo e la forza delle parole.

Ricordo soprattutto due sue frasi. La prima, quando andavo alla lavagna per chiedere lumi su qualche esercizio che non riuscivo a risolvere, era sempre la stessa: "Non vedo dove sia la difficoltà. E' immediato!"

:(

La seconda, molto diversa dalla prima, me la disse invece abbracciandomi nel giorno della mia laurea: "Dell'argomento della tua tesi non ci ho capito un caxxo. Ma da come muovevi le mani alla lavagna una cosa l'ho capita: mi hai rubato il mestiere!"

:ciapet:

17-02-2007, 14:30

flapane

17-02-2007, 14:45

"Dell'argomento della tua tesi non ci ho capito un caxxo. Ma da come muovevi le mani alla lavagna una cosa l'ho capita: mi hai rubato il mestiere!"

:ciapet:

bella questa:stordita:

Banus

17-02-2007, 14:51

Salve, vorrei sapere il modo più veloce ed efficace per risolvere il seguente semplice limite
Il più veloce che mi viene in mente: espandi in serie il seno fermandoti al primo termine, espandi il coseno fermandoti al secondo termine, calcola al denominatore il cubo dello sviluppo del coseno limitandoti ai primi due termini (dovresti ottenere: 1 - 3/2 x^2). A questo punto ottieni un rapporto fra potenze di due di x, che semplifichi. Il risultato dovrebbe essere 2/3.

pazuzu970

17-02-2007, 15:04

Salve, vorrei sapere il modo più veloce ed efficace per risolvere il seguente semplice limite :

http://operaez.net/mimetex/$%20%5Clim_%7Bx%20%5Crightarrow%200%7D%20$ http://operaez.net/mimetex/$%20%5Cfrac%7B(sinx)%5E2%7D%7B1-(cosx)%5E3%7D%20$

Scomponi il denominatore dato che è una differenza di cubi. Poi riscrivi il numeratore come (1 - (cosx)^2) e anche questo scomponilo, ma come differenza di quadrati.

Così facendo ti accorgi che puoi sempificare il fattore (1 - cosx) che porta l'indeterminazione e trovi che il limite vale 2/3.

pazuzu970

17-02-2007, 15:06

Il più veloce che mi viene in mente: espandi in serie il seno fermandoti al primo termine, espandi il coseno fermandoti al secondo termine, calcola al denominatore il cubo dello sviluppo del coseno limitandoti ai primi due termini (dovresti ottenere: 1 - 3/2 x^2). A questo punto ottieni un rapporto fra potenze di due di x, che semplifichi. Il risultato dovrebbe essere 2/3.

Giusto! Così però è come sparare ad una mosca con un ...cannone!

:Prrr:

Banus

17-02-2007, 15:38

Giusto! Così però è come sparare ad una mosca con un ...cannone!
Infatti ero sicuro che fosse possibile trovare un metodo che non coinvolgesse lo sviluppo in serie. Ma mentalmente costa meno usare un metodo che funziona quasi sempre... e cercare eventualmente dopo una soluzione più raffinata in nome dell'eleganza :D

pazuzu970

17-02-2007, 15:54

Infatti ero sicuro che fosse possibile trovare un metodo che non coinvolgesse lo sviluppo in serie. Ma mentalmente costa meno usare un metodo che funziona quasi sempre... e cercare eventualmente dopo una soluzione più raffinata in nome dell'eleganza :D

;)

ChristinaAemiliana

17-02-2007, 16:03

Secondo me ha letto la soluzione nottetempo su hw-upgrade!

:ciapet:

:sbonk:

Infatti ero sicuro che fosse possibile trovare un metodo che non coinvolgesse lo sviluppo in serie. Ma mentalmente costa meno usare un metodo che funziona quasi sempre... e cercare eventualmente dopo una soluzione più raffinata in nome dell'eleganza :D

Dovresti fare il ricercatore...hai capito davvero tutto. :rotfl:

nin

18-02-2007, 16:15

Rieccomi fra voi..stavolta con domande sulla teoria della misura, integrale di Lebesgue, funzioni peso..e altre amenità che mi all'atto pratico sfuggono. :muro:

1)Se 2 funzioni sono ortogonali in un intervallo [a,b] rispetto ad un peso, lo sono rispetto a qualsiasi peso.
Mh..falso. Ma solo perchè quando specifichiamo l'ortogonalità delle funzioni bisogna sempre riferla a qualche peso. Come nel caso dei polinomi di Hermite.
Però non saprei andare oltre...O forse, il peso determina solo la normalità e non l'ortogonalità..Uff.

2)Se una funzione w(x), definita per x reale, è un peso accetabile per definire un prodotto scalare in un intervallo finito [a,b] allora è un peso accettabile anche per un intervallo [c,d] contenuto in [a,b]
Non vedo controindicazioni..Forse dovrei studiare le proprietà di una funzione peso, ma non riesco a trovare informazioni a riguardo. Sicuramente la positività nell'intervallo in cui viene utilizzata..e in questo caso non dovrebbero esserci problemi.

3)La precedente affermazione vale per ogni intervallo [c,d] purchè finito.
Qualsiasi [c,d] finito contenuto in [a,b]? Non capisco..:confused:

4)Un insieme di funzioni che costituisce una base in un intervallo [a,b] rispetto ad un peso w(x) costituisce una base rispetto allo stesso peso in qualunque intervallo.
Falso, se non altro perchè non è detto che il peso (e quindi il prodotto scalare) sia definito al di fuori di quell'intervallo.

5)La funzione exp[|x|] è un peso accettabile per qualunque intervallo reale, finito o infinito.
Ha senso che un peso diverga a infinito su di un intervallo infinito? Non è detto che il prodotto scalare sia definito..penso per esempio ai polinomi.

6)La funzione peso non può fare parte dell'insieme di funzioni da ortogonalizzare in un certo intervallo
Non vedo controindicazioni ma non so andare oltre. E quindi è molto probabile che mi sbagli.:(

7)Si dica se è possbile che una funzione assolutamente integrabile in R sia discontinua ovunque salvo nei punti isolati Xk=KPi, e in caso affermativo se ne dia un esempio.
Qui immagino abbia a che fare Lebesgue..L'insieme dei punti isolati è numerabile (stessa potenza degli interi?) e mentre l'integrale di Rienmann non esiste (è discontinua ovunque, non si tratta quindi di una quantità numerabile di discontinuità), quello di Lebesgue esiste uguale a zero.
E l'esempio?:rolleyes:

Come vedete provo ad abbozzare una risposta per non dare l'impressione di chiedere l'aiuto senza nemmeno provarci. Ma mi rendo conto di essere piuttosto impreciso.
:)

Ziosilvio

19-02-2007, 09:28

Rieccomi fra voi..stavolta con domande sulla teoria della misura, integrale di Lebesgue, funzioni peso..e altre amenità che mi all'atto pratico sfuggono. :muro:
Purtroppo non mi ricordo quali debbano essere le proprietà di una funzione peso.
Io mi ricordo solo:
- non negatività, almeno quasi ovunque; e
- massa positiva, ossia l'integrale del peso esteso a tutto lo spazio deve essere positivo.
In particolare, non mi ricordo se un peso può essere identicamente nullo in un intervallo, o se può annullarsi solo in singoli punti.
Cosa dice il tuo testo?

nin

19-02-2007, 12:02

Purtroppo non mi ricordo quali debbano essere le proprietà di una funzione peso.
Io mi ricordo solo:
- non negatività, almeno quasi ovunque; e
- massa positiva, ossia l'integrale del peso esteso a tutto lo spazio deve essere positivo.
In particolare, non mi ricordo se un peso può essere identicamente nullo in un intervallo, o se può annullarsi solo in singoli punti.
Cosa dice il tuo testo?

Intanto grazie.
Il miei testi sono piuttosto "rapidi" nella definizione, per questo mi lasciano con molti dubbi.
Indicando con w(x) il peso leggo
- Tricomi: w(x) funzione misurabile fissa, che conviene supporre positiva, con l'eventuale eccezione di un insieme di misura nulla in cui può annullarsi.
- Kolmogorov: w(x) è una funzione sommabile, non negativa, fissata.

Allora sappiamo che w(x) deve essere positivo, può annullarsi in punti singoli (insieme di misura nulla) ed è sommabile (quindi non diverge ad infinito?).

Ziosilvio

19-02-2007, 14:57

Il miei testi sono piuttosto "rapidi" nella definizione, per questo mi lasciano con molti dubbi.
Indicando con w(x) il peso leggo
- Tricomi: w(x) funzione misurabile fissa, che conviene supporre positiva, con l'eventuale eccezione di un insieme di misura nulla in cui può annullarsi.
- Kolmogorov: w(x) è una funzione sommabile, non negativa, fissata.

Allora sappiamo che w(x) deve essere positivo, può annullarsi in punti singoli (insieme di misura nulla) ed è sommabile (quindi non diverge ad infinito?).
Allora diciamo che un peso su un insieme X è una funzione
1) positiva quasi ovunque su X, e
2) a integrale (su X) finito.
Usiamo questa definizione nel sèguito.
Bada bene che la condizione 1 non implica che gli zeri siano tutti isolati: non è specificato che il peso sia una funzione analitica.
1)Se 2 funzioni sono ortogonali in un intervallo [a,b] rispetto ad un peso, lo sono rispetto a qualsiasi peso.
Mh..falso. Ma solo perchè quando specifichiamo l'ortogonalità delle funzioni bisogna sempre riferla a qualche peso. Come nel caso dei polinomi di Hermite.
Però non saprei andare oltre...O forse, il peso determina solo la normalità e non l'ortogonalità..Uff.
Falso: i polinomi di Legendre (http://en.wikipedia.org/wiki/Legendre_polynomials) sono ortogonali in [-1,1] rispetto al peso w(x)=1, ma non rispetto al peso w(x)=1/sqrt(1-x^2).
2)Se una funzione w(x), definita per x reale, è un peso accetabile per definire un prodotto scalare in un intervallo finito [a,b] allora è un peso accettabile anche per un intervallo [c,d] contenuto in [a,b]
Non vedo controindicazioni..Forse dovrei studiare le proprietà di una funzione peso, ma non riesco a trovare informazioni a riguardo. Sicuramente la positività nell'intervallo in cui viene utilizzata..e in questo caso non dovrebbero esserci problemi.
Praticamente, si definisce

http://operaez.net/mimetex/\lt f,g\gt=\int_Xw(x)f(x)g(x)\,dx

e questa forma bilineare deve essere un prodotto scalare, ossia soddisfare
- <f,f> >= 0 per ogni f, e
- <f,f> = 0 se e solo se f è identicamente nulla (o nulla q.o.).
E direi che ci siamo...
3)La precedente affermazione vale per ogni intervallo [c,d] purchè finito.
Qualsiasi [c,d] finito contenuto in [a,b]? Non capisco..:confused:
Ossia: quella di cui sopra non vale sempre, ma vale se il sottointervallo è finito.
Boh... a naso, sembrerebbe valere sempre...
4)Un insieme di funzioni che costituisce una base in un intervallo [a,b] rispetto ad un peso w(x) costituisce una base rispetto allo stesso peso in qualunque intervallo.
Falso, se non altro perchè non è detto che il peso (e quindi il prodotto scalare) sia definito al di fuori di quell'intervallo.
Mal posto: non si capisce come dovrebbero comportarsi, al di fuori dell'intervallo, tanto le funzioni quanto il peso.
5)La funzione exp[|x|] è un peso accettabile per qualunque intervallo reale, finito o infinito.
Ha senso che un peso diverga a infinito su di un intervallo infinito? Non è detto che il prodotto scalare sia definito..penso per esempio ai polinomi.
No, perché exp(|x|) ha integrale infinito su ogni intervallo illimitato.
Sarebbe stato vero se il peso fosse stato exp(-|x|).
6)La funzione peso non può fare parte dell'insieme di funzioni da ortogonalizzare in un certo intervallo
Non vedo controindicazioni ma non so andare oltre. E quindi è molto probabile che mi sbagli.:(
Falso: il polinomio di Legendre di indice zero è proprio la costante 1.
7)Si dica se è possbile che una funzione assolutamente integrabile in R sia discontinua ovunque salvo nei punti isolati Xk=KPi, e in caso affermativo se ne dia un esempio.
Qui immagino abbia a che fare Lebesgue..L'insieme dei punti isolati è numerabile (stessa potenza degli interi?) e mentre l'integrale di Rienmann non esiste (è discontinua ovunque, non si tratta quindi di una quantità numerabile di discontinuità), quello di Lebesgue esiste uguale a zero.
E l'esempio?:rolleyes:
Ci devo pensare.

P.S.: dove hai trovato 'sto quiz?

nin

19-02-2007, 15:38

Ottimo! Gli esempi e i controesempi sono esattamente quello che mi mancava per dare un senso e completare le mie risposte.

Allora l'ultima è realmente insidiosa..:mad:
Conoscendo i contenuti del mio corso, sicuramente a che fare con qualche funzione patologica che abbiamo studiato. Per questo ho pensato alla funzione di Dirichlet (http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Dirichlet), che è 0 negli irrazionali e nei razionali vale 1.
Questa funzione ha la peculiarità di essere discontinua ovunque, in quanto i razionali sono densi negli irrazionali e viceversa.
Se provo a modificarla così:

f(x) =
0 quando x è irrazionale
1 quando x è razionale
1 quando x=kPi

..ottengo una funzione che attorno a x=kPi mantiene da una parte o dall'altra lo stesso valore per non più di 2 punti. Quindi ho continuità. Si tratterebbe di un punto isolato di continuità? La funzione dovrebbe continuare a non essere integrabile secondo Riemnann, ma solo secondo Lebesgue. Ancora una volta con valore 0 (forse..)
Se puoi dimmi cosa ne pensi :)

Sono quesiti tratti da esami scritti passati del corso di Metodi Matematici I che è tenuto presso la facoltà di Fisica che frequento.

Grazie

dario fgx

19-02-2007, 18:44

Si ripropone di risolvere l'eqz. delle onde :
▼^2(Ψ) – (1\v^2)(δ^2\δt^2)Ψ = Φ
Fa quindi un preludio matematico e cioè:
Vuole risolvere utilizzando il metodo di Green.
Dice che se abbiamo una sorgente localizzata in un p.to possiamo cercare delle soluzioni in questo modo:

▼^2G(r,r’) = δ(r-r’) [dovrebbe essere una delta di Dirac]
Pone:

G(r,r’) = G(r-r’)

u = r r’

▼^2G(u) = δ(u)

Mi chiedo che significato ha questa operazione?Cosa è questa funzione di Green?
Cio’ che fa dopo mi è più chiaro anche se è laborioso però non ho capito questa funzione di Green che introduce una delta a che prò?
Cioè esiste una funzione che permette di risolvere una equzione tipo quella delle onde?Cioè dovrei prenderlo come una specie di teorema dal quale partire per cercare delle soluzioni?
Poi procede in questo modo [lo scrivo nel caso possa aiutarvi a capire cosa sta facendo]:
S = integrale tra – e + infinito
δ(x) = 1\(2π)^(1\2)SexpiKx dx [Questo cos’è?Un modo per esprimere la delta?]

E definisce
G(u) = Sg(K)expiku d^(3)K [Questo termine dovrebbe essere la nostra onda sferica]

Poi ne calcola il ▼^2 e lo pone uguale alla delta e procede con infiniti passaggi alla ricerca di una soluzione.
Le domande sono quelle sopra.
Grazie

Ziosilvio

19-02-2007, 21:22

ho pensato alla funzione di Dirichlet (http://it.wikipedia.org/wiki/Funzione_di_Dirichlet), che è 0 negli irrazionali e nei razionali vale 1.
Questa funzione ha la peculiarità di essere discontinua ovunque, in quanto i razionali sono densi negli irrazionali e viceversa.
Se provo a modificarla così:

f(x) =
0 quando x è irrazionale
1 quando x è razionale
1 quando x=kPi
ottieni un'altra funzione discontinua in ogni punto, perché comunque prendi un punto e un intorno, l'intorno contiene un punto irrazionale diverso da 2kPi (in cui f vale 0) e un punto razionale (in cui f vale 1).

nin

19-02-2007, 21:37

ottieni un'altra funzione discontinua in ogni punto, perché comunque prendi un punto e un intorno, l'intorno contiene un punto irrazionale diverso da 2kPi (in cui f vale 0) e un punto razionale (in cui f vale 1).

Mh..allora non so dove sbattere la testa :muro:

Ziosilvio

20-02-2007, 09:38

7)Si dica se è possbile che una funzione assolutamente integrabile in R sia discontinua ovunque salvo nei punti isolati Xk=KPi, e in caso affermativo se ne dia un esempio.
Anzitutto osserva che la funzione

http://operaez.net/mimetex/g(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin{x},\;{x}\in\mathbb{Q},\\-\sin{x},\;{x}\not\in\mathbb{Q}\end{array}\right.

è continua in tutti e soli i punti della forma Xk = kPi.
Ha però il difetto di non essere L1(IR), perché |g(x)|=|sin x| per ogni x.
In compenso è limitata, quindi ti basta moltiplicarla per una funzione continua positiva L1 per ottenere l'esempio che ti serve.
E questa può essere

http://operaez.net/mimetex/h(x)=\left\{\begin{array}{l}1,\;|x|\leq 1,\\\frac{1}{x^2},\;|x|\gt 1\end{array}.\right.

In finale, f(x)=g(x)h(x) è integrabile secondo Lebesgue su IR, ed è continua esattamente nei punti della forma Xk=kPi.

dario fgx

20-02-2007, 09:41

e a me?nessuno ce pensa?

Ziosilvio

20-02-2007, 11:14

Cosa è questa funzione di Green?
http://en.wikipedia.org/wiki/Green_function
non ho capito questa funzione di Green che introduce una delta a che prò?
Da Wikipedia.
Considera il primo membro dell'equazione delle onde, come un'applicazione a Psi dell'operatore lineare

http://operaez.net/mimetex/L=\Delta-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}

Allora la funzione di Green è una funzione G che non dipende dal tempo, e che è soluzione dell'equazione

http://operaez.net/mimetex/LG=\delta

nel senso che <(LG)(x,y),f(y)>=f(x) per ogni funzione fondamentale f.
Ricorda che, quando si lavora con le distribuzioni, si usa anche indicare, per ogni distribuzione H e funzione fondamentale f, il valore (numero reale) di H su f come

http://operaez.net/mimetex/\int H(x)f(x)dx

Ora, la tua equazione delle onde si riscrive

http://operaez.net/mimetex/L\Psi=\Phi

Sia G una funzione di Green. Allora

http://operaez.net/mimetex/\int(LG)(x,y)\Phi(y)dy=\int\delta(x-y)\Phi(y)dy=\Phi(x)

Dato che L è un operatore lineare e non agisce sulla variabile di integrazione, questo si riscrive

http://operaez.net/mimetex/L\int G(x,y)\Phi(y)dy=\Phi(x)

E questo vuol dire esattamente che

http://operaez.net/mimetex/\Psi(x)=\int G(x,y)\Phi(y)dy=\lt G(x,y),\Phi(y)\gt

è soluzione della tua equazione delle onde.

ChristinaAemiliana

20-02-2007, 11:14

e a me?nessuno ce pensa?

Eh, non hai chiesto una cosa facile...una trattazione esauriente della funzione di Green è praticamente impossibile da fare su un forum. :D

Per quanto riguarda quello che ti serve capire ora, puoi pensare a quello della funzione di Green come un metodo per risolvere le equazioni differenziali lineari non omogenee. ;)

Qui c'è qualcosa:

http://www.thch.unipg.it/~franc/ct/node214.html

EDIT: Ops, preceduta! :stordita:

nin

20-02-2007, 12:12

Anzitutto osserva che la funzione

http://operaez.net/mimetex/g(x)=\left\{\begin{array}{l}\sin{x},\;{x}\in\mathbb{Q},\\-\sin{x},\;{x}\not\in\mathbb{Q}\end{array}\right.

è continua in tutti e soli i punti della forma Xk = kPi.
Ha però il difetto di non essere L1(IR), perché |g(x)|=|sin x| per ogni x.
In compenso è limitata, quindi ti basta moltiplicarla per una funzione continua positiva L1 per ottenere l'esempio che ti serve.
E questa può essere

http://operaez.net/mimetex/h(x)=\left\{\begin{array}{l}1,\;|x|\leq 1,\\\frac{1}{x^2},\;|x|\gt 1\end{array}.\right.

In finale, f(x)=g(x)h(x) è integrabile secondo Lebesgue su IR, ed è continua esattamente nei punti della forma Xk=kPi.

Notevole. :mano:
Grazie per esserti arrovellato a sufficienza, non penso che io ci sarei mai arrivato in un tempo compatibile con la vita umana.

:)

pazuzu970

20-02-2007, 13:37

Notevole. :mano:
Grazie per esserti arrovellato a sufficienza, non penso che io ci sarei mai arrivato in un tempo compatibile con la vita umana.

:)

:rotfl: :rotfl: :rotfl:

Ziosilvio

20-02-2007, 14:52

Grazie per esserti arrovellato a sufficienza
Prego: mi è sempre piaciuto giocare con le costruzioni.

dario fgx

20-02-2007, 16:36

http://en.wikipedia.org/wiki/Green_function

Da Wikipedia.
Considera il primo membro dell'equazione delle onde, come un'applicazione a Psi dell'operatore lineare

http://operaez.net/mimetex/L=\Delta-\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2}

Allora la funzione di Green è una funzione G che non dipende dal tempo, e che è soluzione dell'equazione

http://operaez.net/mimetex/LG=\delta

nel senso che <(LG)(x,y),f(y)>=f(x) per ogni funzione fondamentale f.
Ricorda che, quando si lavora con le distribuzioni, si usa anche indicare, per ogni distribuzione H e funzione fondamentale f, il valore (numero reale) di H su f come

http://operaez.net/mimetex/\int H(x)f(x)dx

Ora, la tua equazione delle onde si riscrive

http://operaez.net/mimetex/L\Psi=\Phi

Sia G una funzione di Green. Allora

http://operaez.net/mimetex/\int(LG)(x,y)\Phi(y)dy=\int\delta(x-y)\Phi(y)dy=\Phi(x)

Dato che L è un operatore lineare e non agisce sulla variabile di integrazione, questo si riscrive

http://operaez.net/mimetex/L\int G(x,y)\Phi(y)dy=\Phi(x)

E questo vuol dire esattamente che

http://operaez.net/mimetex/\Psi(x)=\int G(x,y)\Phi(y)dy=\lt G(x,y),\Phi(y)\gt

è soluzione della tua equazione delle onde.
Grazie, purtroppo però questa parte
nel senso che <(LG)(x,y),f(y)>=f(x) per ogni funzione fondamentale f.
Ricorda che, quando si lavora con le distribuzioni, si usa anche indicare, per ogni distribuzione H e funzione fondamentale f, il valore (numero reale) di H su f come

nn mi è chiara.
Questo in particolare che vuol dire? <(LG)(x,y),f(y)>=f(x)

Ziosilvio

20-02-2007, 16:45

Grazie, purtroppo però questa parte
nel senso che <(LG)(x,y),f(y)>=f(x) per ogni funzione fondamentale f.
Ricorda che, quando si lavora con le distribuzioni, si usa anche indicare, per ogni distribuzione H e funzione fondamentale f, il valore (numero reale) di H su f come

nn mi è chiara.
Questo in particolare che vuol dire? <(LG)(x,y),f(y)>=f(x)
Una distribuzione su un aperto, è un funzionale lineare debolmente continuo sullo spazio delle funzioni fondamentali definite sull'aperto in questione.
In particolare, ogni distribuzione associa a ciascuna funzione fondamentale un numero reale.

Ora, quando si vuole indicare il valore di un funzionale H sullo specifico oggetto f, si usa di solito la scrittura <H,f>.

La scrittura che ho usato prima, ossia <(LG)(x,y),f(y)>=f(x), era un modo per dire che f si considera come una funzione della variabile y.

wisher

20-02-2007, 17:53

Mi sapreste dire quale è il numero delle partizioni di un insieme di n elementi?

sirus

20-02-2007, 17:56

Io sono arrivato a dire:
1 + Sommatoria(k = 1,k = n)(n!/(n - k)!) :)

Ziosilvio

20-02-2007, 18:47

Mi sapreste dire quale è il numero delle partizioni di un insieme di n elementi?
Però... te la sei scelta facile, 'sta domandina...

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_a_set
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_a_set#The_number_of_partitions

Il numero di possibili partizioni di un insieme di n elementi, si chiama n-esimo numero di Bell.
I numeri di Bell soddisfano la relazione di ricorrenza

http://operaez.net/mimetex/B_{n+1}=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)B_k

pazuzu970

20-02-2007, 19:21

Prego: mi è sempre piaciuto giocare con le costruzioni.

:)

Anche tu lego?

:Prrr:

nin

20-02-2007, 19:49

Prego: mi è sempre piaciuto giocare con le costruzioni.

Ora capisco tutto. La mia generazione è arrivata troppo tardi per il lego classico e troppo presto per il lego mindstorm..ma assolutamente in tempo per il Super Nintendo 16bit.
Condannati :doh:

pazuzu970

21-02-2007, 00:37

wisher

21-02-2007, 08:09

Però... te la sei scelta facile, 'sta domandina...

http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_a_set
http://en.wikipedia.org/wiki/Partition_of_a_set#The_number_of_partitions

Il numero di possibili partizioni di un insieme di n elementi, si chiama n-esimo numero di Bell.
I numeri di Bell soddisfano la relazione di ricorrenza

http://operaez.net/mimetex/B_{n+1}=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{c}n\\k\end{array}\right)B_k
Grazie, avevo trovato anche io questa risposta, però ricordavo un più semplice 2^n e non mi tornava....
Mi sai dire cosa rappresenta 2^n?

Ziosilvio

21-02-2007, 08:46

Grazie, avevo trovato anche io questa risposta, però ricordavo un più semplice 2^n e non mi tornava....
Mi sai dire cosa rappresenta 2^n?
2^n è il numero di sottoinsiemi di un insieme di n elementi.

Ziosilvio

22-02-2007, 09:09

Piccolo teorema notturno di pazuzu: "Se la somma di tre numeri complessi è nulla, allora la somma dei loro cubi è pari al triplo del loro prodotto".

Funge, funge...

:ciapet:

P.S.: Silvio mi raccomando, non postare la dimostrazione. Piuttosto pensa ad una possibile generalizzazione del teoremino, da mutare in "Grande teorema diurno di Ziosilvio"!... :D
Boh... l'unica cosa che mi viene in mente è questa (non so neanche se sia vera, e adesso non mi va di cercare una dimostrazione).
Dati n numeri complessi z1, ..., zn, se

http://operaez.net/mimetex/\sum_{i=1}^{n}z_i=0

allora

http://operaez.net/mimetex/\sum_{i=1}^{n}z_i^n=(-1)^{n-1}n\prod_{i=1}^nz_i

Per n=2 funziona...

teo

22-02-2007, 11:09

Fenomeno85

22-02-2007, 12:16

http://operaez.net/mimetex/Lim x \to 0 \frac{e^{(\sin{x}^3)} -1 }{2x(\cos{x} - e^{x^2})}

come si risolve?

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

Ziosilvio

22-02-2007, 12:57

Data la serie:
http://operaez.net/mimetex/%5Csum_%7Bn=0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bsin(x)%7D%7B(1+sinx)%5En%7D

con

http://operaez.net/mimetex/x%5Cepsilon%20%5CRe
Poni t = sin x.
Osserva che puoi portare un fattore t fuori dalla serie, quindi per t<>0 ti riduci a studiare il comportamento di

http://operaez.net/mimetex/\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(1+t)^n}
Determinare l'insieme T dei valori di x per cui la serie converge puntualmente
Per l'analisi fatta poco fa, questo insieme include i valori di x in cui t = sin x >= 0, ed esclude quelli in cui t<0.
Determinare in tale insieme la somma della serie
Per t=0 la somma della serie è ovviamente nulla.
Per t>0, dato che

http://operaez.net/mimetex/\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(1+t)^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{1+t}}=\frac{1+t}{t}

ottieni subito

http://operaez.net/mimetex/\sum_{n=0}^\infty\frac{\sin x}{(1+\sin x)^n}=1+\sin x

Sulle altre due ci penso un po'.

teo

22-02-2007, 13:18

Per t=0 la somma della serie è ovviamente nulla.
Per t>0, dato che

http://operaez.net/mimetex/\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{(1+t)^n}=\frac{1}{1-\frac{1}{1+t}}=\frac{1+t}{t}

.

Non abbiamo capito come si passa all'espressione in mezzo...

;)

Ziosilvio

22-02-2007, 13:35

http://operaez.net/mimetex/Lim x \to 0 \frac{e^{(\sin{x}^3)} -1 }{2x(\cos{x} - e^{x^2})}

come si risolve?
Tieni conto dei limiti notevoli

http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

e

http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

Per cui,

http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to 0}\frac{e^{(\sin{x}^3)} -1 }{2x(\cos{x} - e^{x^2})}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{e^{(\sin{x}^3)} -1}{\sin x^3}\frac{\sin x^3}{x^3}x^3 }{2x^3(\frac{\cos{x} - 1}{x^2} + \frac{1 - e^{x^2}}{x^2})}

non può che essere -1/3.

Ziosilvio

22-02-2007, 13:37

Non abbiamo capito come si passa all'espressione in mezzo
Serie geometrica di fattore 1/(1+t).

Fenomeno85

22-02-2007, 13:49

Tieni conto dei limiti notevoli

http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to 0}\frac{e^x-1}{x}=1

http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to 0}\frac{\sin x}{x}=1

e

http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to 0}\frac{1-\cos x}{x^2}=\frac{1}{2}

Per cui,

http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to 0}\frac{e^{(\sin{x}^3)} -1 }{2x(\cos{x} - e^{x^2})}=\lim_{x\to 0}\frac{\frac{e^{(\sin{x}^3)} -1}{\sin x^3}\frac{\sin x^3}{x^3}x^3 }{2x^3(\frac{\cos{x} - 1}{x^2} + \frac{1 - e^{x^2}}{x^2})}

non può che essere -1/3.

mm perchè derive mette - 8/3?

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

Ziosilvio

22-02-2007, 13:54

perchè derive mette - 8/3?
Ricontrollato con Maxima: viene -1/3.
Sicuro di aver scritto bene?

Fenomeno85

22-02-2007, 14:08

Ricontrollato con Maxima: viene -1/3.
Sicuro di aver scritto bene?

scusa ho scritto male io in latex ... era nel nominatore .. (sin (2x))^3 non sin x^3

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

Ziosilvio

22-02-2007, 14:25

scusa ho scritto male io in latex ... era nel nominatore .. (sin (2x))^3 non sin x^3
Perfetto; infatti, se rifai i conti adesso, l'ultimo fattore a numeratore è (2x)^3, che lascia fuori proprio una costante 8.

Fenomeno85

22-02-2007, 18:43

Perfetto; infatti, se rifai i conti adesso, l'ultimo fattore a numeratore è (2x)^3, che lascia fuori proprio una costante 8.

si grazie

numeri complessi

ho

http://operaez.net/mimetex/z^5 + z = 0

raccolgo

http://operaez.net/mimetex/z (z^4 + 1) = 0

quindi le soluzioni sono

http://operaez.net/mimetex/z = 0
e
http://operaez.net/mimetex/z^4 + 1 = 0

fin qui nessun dubbio adesso è come risolvere la seconda

http://operaez.net/mimetex/z^4 = -1
quindi ho
http://operaez.net/mimetex/z = +/- \sqrt(i)

se risolvo

http://operaez.net/mimetex/y = \frac{\sqrt(i)}{i}
http://operaez.net/mimetex/y = - \frac{\sqrt(i)}{i}

ne trovo solo due però .. le altre due? Fin qui è giusto?

~§~ Sempre E Solo Lei ~§~

ChristinaAemiliana

22-02-2007, 19:08

No!

Le radici di un numero complesso si valutano meglio utilizzando la forma esponenziale.

Se devi calcolare la radice n-esima le tue radici saranno tali da avere:

- modulo: (ro)^(1/n)

- argomento: theta/n + 2k*pigreco/n con k=0,1,2,...,n-1

Nel tuo caso devi trovare le radici quarte di -1 che in forma esponenziale si scrive così:

-1 = (1)*e^(pi)i

con modulo ro=1 e argomento theta=pi.

Applica la formula e troverai le tue 4 radici:

z1 = e^(pi/4)i

z2 = e^(pi/4 + pi/2)i

eccetera...noterai che sono i vertici di un quadrato. ;)

Spero di non aver scritto scemenze, sono di fretta, casomai correggo dopo cena! :D

pazuzu970

22-02-2007, 21:38

Data la serie:
http://operaez.net/mimetex/%5Csum_%7Bn=0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bsin(x)%7D%7B(1+sinx)%5En%7D

con

http://operaez.net/mimetex/x%5Cepsilon%20%5CRe

Determinare l'insieme T dei valori di x per cui la serie converge puntualmente
Determinare in tale insieme la somma della serie
determinare su quali insiemi converge uniformemente
Mostrare che la serie non converge uniformemente su http://operaez.net/mimetex/(0,%5Cpi)

Grazie a tutti :)

Ai primi due punti ha già risposto ziosilvio.

Per il terzo, potendo pensare la serie come prodotto di 1/(1+ senx)^n per la funzione limitata senx, direi che, per un noto teorema, converge uniformemente in ogni compatto contenuto nell'insieme di convergenza della sola 1/(1+senx)^n, cioè ogni compatto contenuto in (0, pi).

Sicuro che al punto successivo chieda di mostrare che non converge uniformemente su tutto (0, pi)?

Se è così devo continuare a pensarci...

:(

Ziosilvio

23-02-2007, 11:49

Data la serie:
http://operaez.net/mimetex/%5Csum_%7Bn=0%7D%5E%7B%5Cinfty%7D%5Cfrac%7Bsin(x)%7D%7B(1+sinx)%5En%7D

CUT

determinare su quali insiemi converge uniformemente
Con delle maggiorazioni abbastanza immediate si vede subito che la serie converge uniformemente in ogni compatto contenuto in (0,Pi). Da qui in poi basta usare la periodicità.
Mostrare che la serie non converge uniformemente su http://operaez.net/mimetex/(0,%5Cpi)
Qui torna utile 'sto lemmino, che mi sono dimostrato un attimo fa.
Sia x0 un punto di accumulazione per X, e sia f[n] una successioni di funzioni a valori reali definite su X-union-{x0} e ivi continue.
Supponiamo che f[n] converga a f uniformemente in X.
Se esiste finito
http://operaez.net/mimetex/\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)
allora esiste anche
http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to x_0}f(x)
e i due limiti coincidono.

Dato per vero il lemma, supponiamo per assurdo che la serie converga uniformemente in (0,Pi).
Sappiamo che la serie converge nell'origine. Per il lemma, il valore della serie in 0 dovrebbe allora essere uguale al limite per x-->0 dei valori della serie in x, per x in (0,Pi).
Questo non succede, perché per x tra 0 e Pi esclusi la serie vale 1+sin(x), che tende a 1 per x-->0.

Adesso dimostriamo il lemma.
Sia L il limite di cui asseriamo l'esistenza. Fissiamo epsilon>0. Per ogni x in X, n in IN risulta

http://operaez.net/mimetex/|f(x)-L|\leq|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-L|

Scegliamo n tanto grande che
- |f(x)-f[n](x)|<epsilon/3 per ogni x in X, possibile per convergenza uniforme; e
- |f[n](x0)-L|<epsilon/3, possibile per ipotesi.

A questo punto, scegliamo delta tanto piccolo che, se x è in X e |x-x0|<delta, allora |f[n](x)-f[n](x0)|<epsilon/3, cosa possibile per continuità di f[n]. Allora per tali x si ha

http://operaez.net/mimetex/|f(x)-L|\lt\varepsilon

pazuzu970

23-02-2007, 13:07

Con delle maggiorazioni abbastanza immediate si vede subito che la serie converge uniformemente in ogni compatto contenuto in (0,Pi). Da qui in poi basta usare la periodicità.

Qui torna utile 'sto lemmino, che mi sono dimostrato un attimo fa.
Sia x0 un punto di accumulazione per X, e sia f[n] una successioni di funzioni a valori reali definite su X-union-{x0} e ivi continue.
Supponiamo che f[n] converga a f uniformemente in X.
Se esiste finito
http://operaez.net/mimetex/\lim_{n\to\infty}f_n(x_0)
allora esiste anche
http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to x_0}f(x)
e i due limiti coincidono.

Dato per vero il lemma, supponiamo per assurdo che la serie converga uniformemente in (0,Pi).
Sappiamo che la serie converge nell'origine. Per il lemma, il valore della serie in 0 dovrebbe allora essere uguale al limite per x-->0 dei valori della serie in x, per x in (0,Pi).
Questo non succede, perché per x tra 0 e Pi esclusi la serie vale 1+sin(x), che tende a 1 per x-->0.

Adesso dimostriamo il lemma.
Sia L il limite di cui asseriamo l'esistenza. Fissiamo epsilon>0. Per ogni x in X, n in IN risulta

http://operaez.net/mimetex/|f(x)-L|\leq|f(x)-f_n(x)|+|f_n(x)-f_n(x_0)|+|f_n(x_0)-L|

Scegliamo n tanto grande che
- |f(x)-f[n](x)|<epsilon/3 per ogni x in X, possibile per convergenza uniforme; e
- |f[n](x0)-L|<epsilon/3, possibile per ipotesi.

A questo punto, scegliamo delta tanto piccolo che, se x è in X e |x-x0|<delta, allora |f[n](x)-f[n](x0)|<epsilon/3, cosa possibile per continuità di f[n]. Allora per tali x si ha

http://operaez.net/mimetex/|f(x)-L|\lt\varepsilon

:winner:

Però maggiorare con epsilon/3 è un esercizio di stile che lascerei a certi autori che credono di portare argomentazioni didattiche sul concetto di limite, rendendo invece "tecnico" ciò che tecnico non è! - so bene che la tua intenzione era ovviamente un'altra...

:D

Bravo Silvio!

;)

retnI W

23-02-2007, 16:27

pazuzu970

23-02-2007, 19:04

Scusa, ma il punto che cerchi è sempre B, no???

retnI W

23-02-2007, 20:39

No.
A me servono le coordinate di C.
Le coordinate di A e B sono note.
La retta passante per B e per C è perpendicolare alla retta passante per A e B.
La distanza d tra B e C è nota.

pazuzu970

23-02-2007, 21:26

Allora, so Xa e Ya e Xb e Yb che determinano i punti A e B sul piano.
La retta passante per A e B è quindi nota (retta r).
Come faccio a sapere le coordinate Xc Yc del punto C appartenente alla retta passante per B e perpendicolare alla retta r (passante per A e B).
Ho appena iniziato l' analitica a scuola...una manina me la date?:D

Grazie!

Evidentemente sto invecchiando, perché non riesco a capire di che punto C parli.

Ogni punto della perpendicolare, passante per B, alla retta r di cui parli potrebbe essere il tuo punto C!

:confused:

Ziosilvio

24-02-2007, 11:49

Xa e Ya e Xb e Yb che determinano i punti A e B sul piano.
La retta passante per A e B è quindi nota (retta r).
Come faccio a sapere le coordinate Xc Yc del punto C appartenente alla retta passante per B e perpendicolare alla retta r (passante per A e B).
Il punto preciso non lo sai, perché non hai abbastanza dati.
Quello che puoi sapere, è l'equazione della retta passante per B e ortogonale alla retta AB.
Questo ti viene subito se consideri che (Xb-Xa,Yb-Ya) è un vettore direttore della retta AB, quindi (Yb-Ya,Xa-Xb) è un vettore direttore di qualunque retta ortogonale alla retta AB.

retnI W

24-02-2007, 14:18

Ops, ho tralasciato un dettaglione!
E' nota la distanza d tra B e C.
Io ho risolto facendo l' intersezione tra la circonferenza di centro B e raggio BC (d) e la retta passante per B e C.
Comunque sono sicuro che esiste una maniera più semplice.

JL_Picard

24-02-2007, 14:20

Allora, so Xa e Ya e Xb e Yb che determinano i punti A e B sul piano.
La retta passante per A e B è quindi nota (retta r).
Come faccio a sapere le coordinate Xc Yc del punto C appartenente alla retta passante per B e perpendicolare alla retta r (passante per A e B).
Ho appena iniziato l' analitica a scuola...una manina me la date?:D

Grazie!

vediamo se ho "decifrato" il tuo problema.

sia r la retta passante per due punti A, B di coordinate note (Xa Ya - Xb Yb)

sia s la retta passante per B e perpendicolare alla retta r

Trovare le coordinate del punto C, appartenente alla retta s e distante d dal punto B.

pazuzu970

24-02-2007, 14:40

vediamo se ho "decifrato" il tuo problema.

sia r la retta passante per due punti A, B di coordinate note (Xa Ya - Xb Yb)

sia s la retta passante per B e perpendicolare alla retta r

Trovare le coordinate del punto C, appartenente alla retta s e distante d dal punto B.

Tra un po' apriremo una sezione speciale di decodificazione testi e conseguenti possibili soluzioni...

:D

retnI W

24-02-2007, 17:12

vediamo se ho "decifrato" il tuo problema.

sia r la retta passante per due punti A, B di coordinate note (Xa Ya - Xb Yb)

sia s la retta passante per B e perpendicolare alla retta r

Trovare le coordinate del punto C, appartenente alla retta s e distante d dal punto B.

Ottima decifratura ;)
La prossima volta posterò quesiti "decriptati", così da velocizzarvi il lavoro:D

pasqualesteve

26-02-2007, 09:52

dimostrare che la derivata in un punto di una funzione ne implica la continuità.
:help:

flapane

26-02-2007, 11:27

http://it.wikipedia.org/wiki/Derivabilit%C3%A0
T.di continuità...

Ziosilvio

26-02-2007, 11:49

dimostrare che la derivata in un punto di una funzione ne implica la continuità
Se rileggi la definizione di derivata di f in x0, ti rendi conto che vuol dire sostanzialmente questo: per x-->x0, la quantità f(x)-f(x0) è un infinitesimo almeno dello stesso ordine di x-x0.
Adesso rileggi la definizione di continuità...

coldd

26-02-2007, 18:30

arctg

http://www.math.it/formulario/images/grafici/arctan.gif

matteop7

26-02-2007, 19:07

pazuzu970

26-02-2007, 22:05

vi posto due problemi di cui non mi esce il risultato ma credo di aver fatto giusta l'impostazione
1) nel triangolo ABC il lato AC misura l, il lato BC ha misura 2l. Determina gli angoli del triangolo sapendo che fra i due lati noti e l'angolo A intercorre la seguente relazione: BCsen2A-ACtg2A=0
(tre soluzioni; A=90 B=30; A=30 B=14.477; A=150 B=14.477)

2) due semicirconferenze di diametri AB=BC=2r sono tangenti esternamente in B: presi i punti P sulla prima e Q sulla seconda in modo che PBQ=45°. Calcola x=PBA in modo che: BQ + √2PB=√3/2AB

soluzione 5/12 pigreco

qualcuno mi sa dare qualche delucidazione?:fagiano:

Il numero 2) è molto semplice.

Si tratta di esprimere in funzione di x le grandezze che compaiono nella relazione data.

Si trova:

PB = 2Rcosx

AB = 2R (dato)

BQ = 2Rcos(135-x)

avendo tenuto conto che i triangoli ABP e QBC sono rettangoli in quanto ciascuno inscritto in una semicirconferenza.

Sostituendo e facendo i dovuti calcoli si trova un'equazione lineare in senx e cosx che ha come soluzione l'angolo x cercato (occhio che x varia tra 0 e pi/2).

Per il primo esercizio devo pensarci un po' e sono stanco: appena finito di correggere 30 compiti da ...suicidio!

:Prrr:

elmoro

27-02-2007, 06:56

scusate ma sono molto arrugginito... se ho un'espressione del genere:

arctg(0.5w)-arctg(w)+arctg(0.1w)=0

come cavolo procedo?

:cry:

Ziosilvio

27-02-2007, 09:07

1) nel triangolo ABC il lato AC misura l, il lato BC ha misura 2l. Determina gli angoli del triangolo sapendo che fra i due lati noti e l'angolo A intercorre la seguente relazione: BCsen2A-ACtg2A=0
(tre soluzioni; A=90 B=30; A=30 B=14.477; A=150 B=14.477)
Poni s = sin 2A: portando a secondo membro il secondo addendo, elevando al quadrato e applicando le proporzioni e la prima relazione fondamentale, trovi

http://operaez.net/mimetex/4s^2(1-s^2)=s^2

Se s^2=0, allora 2A è o 0 o Pi: il primo caso è impossibile (sei in un triangolo), quindi A=Pi/2: allora ABC è un triangolo rettangolo di ipotenusa BC, e dato che i lati di un triangolo stanno tra loro come i seni degli angoli opposti, hai

http://operaez.net/mimetex/\sin\hat{BAC}:\sin\hat{ABC}=BC:AC=2

per cui sin B = 1/2 e B = Pi/6.

Se invece s<>0, dividi e trovi

http://operaez.net/mimetex/4(1-s^2)=1

ossia s^2=3/4: per cui sin 2A = s = sqrt(3)/2 = sin Pi/3 e l'angolo A è o Pi/6 o 5/6 Pi.
Usando di nuovo il Teorema dei seni, trovi sin B = sqrt(3)/4.

pasqualesteve

27-02-2007, 10:25

scusate di nuovo raga ma non riesco a capire come si svolge questo esercizio...:help:

Verificare che la f(x)=ln(x+1)-x^2 ammette due zeri.
cosa devo fare?

wisher

27-02-2007, 10:30

scusate di nuovo raga ma non riesco a capire come si svolge questo esercizio...:help:

Verificare che la f(x)=ln(x+1)-x^2 ammette due zeri.
cosa devo fare?
Scrivi ln(x+1)-x^2 =0
da cui puoi ricavare ln(x+1)=x^2
Traccia i grafici delle due funzioni e vedrai che si incontrano in due punti

pasqualesteve

27-02-2007, 10:34

Scrivi ln(x+1)-x^2 =0
da cui puoi ricavare ln(x+1)=x^2
Traccia i grafici delle due funzioni e vedrai che si incontrano in due punti

ok ma come faccio a verificarle?

wisher

27-02-2007, 10:40

ok ma come faccio a verificarle?
le intersezioni tra i due grafici sono i punti in cui si annulla la tua funzione.
Avendo esattamente due intersezioni puoi dire che allora la funzione ha esattamente due zeri

Ziosilvio

27-02-2007, 11:12

Verificare che la f(x)=ln(x+1)-x^2 ammette due zeri.
La funzione è definita per x>-1, e vedi subito che si annulla nell'origine, che è negativa per x<0, e che diverge negativamente per x-->-oo.
Supponiamo che f sia crescente in un intorno destro dell'origine. Dato che f(0)=0, deve esistere un punto x in tale intorno in cui f(x)>0. Allora l'esistenza di una seconda radice positiva segue dal Teorema di esistenza degli zeri.
Ma

http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{x+1}-2x=-\frac{2x^2+2x-1}{x+1}

è positiva in (0,(sqrt(3)-1)/2).

Puoi fare di più. Dato che f'((sqrt(3)-1)/2)=0, tale punto è punto di massimo relativo, ed f((sqrt(3)-1)/2)>0: quindi, la seconda radice si trova a destra di tale punto. Dato poi che per x>(sqrt(3)-1)/2 hai f'(x)<0, non ci possono essere altre radici.

pazuzu970

27-02-2007, 12:57

La funzione è definita per x>-1, e vedi subito che si annulla nell'origine, che è negativa per x<0, e che diverge negativamente per x-->-oo.
Supponiamo che f sia crescente in un intorno destro dell'origine. Dato che f(0)=0, deve esistere un punto x in tale intorno in cui f(x)>0. Allora l'esistenza di una seconda radice positiva segue dal Teorema di esistenza degli zeri.
Ma

http://operaez.net/mimetex/f'(x)=\frac{1}{x+1}-2x=-\frac{2x^2+2x-1}{x+1}

è positiva in (0,(sqrt(3)-1)/2).

Puoi fare di più. Dato che f'((sqrt(3)-1)/2)=0, tale punto è punto di massimo relativo, ed f((sqrt(3)-1)/2)>0: quindi, la seconda radice si trova a destra di tale punto. Dato poi che per x>(sqrt(3)-1)/2 hai f'(x)<0, non ci possono essere altre radici.

;)

flapane

27-02-2007, 15:36

[ot]
@pazuzu hai un'altra mail? quella a cui volevo risponderti @virgilio.it dice: bad destination mailbox address ;)

pazuzu970

27-02-2007, 16:06

[ot]
@pazuzu hai un'altra mail? quella a cui volevo risponderti @virgilio.it dice: bad destination mailbox address ;)

:eek: :eek: :eek:

Ora ti scrivo in pvt.

;)

elmoro

28-02-2007, 09:27

scusate ma sono molto arrugginito... se ho un'espressione del genere:

arctg(0.5w)-arctg(w)+arctg(0.1w)=0

come cavolo procedo?

:cry:

soluzione trovata: la pulsazione si trova semplicemente facendo la tangente: mi ero incasinato con la calcolatrice che era settata per i grasi anzichè i radianti....:doh: :stordita:

nin

01-03-2007, 16:57

Sono ancora io!
Stavolta la tipologia di esercizio è un pò diversa, si tratta di una dimostrazione.

Sia {Un} una base ortonormale di vettori in L2(a,b), dimostrare che un vettore v appartenente a questo spazio è equidistante dai vettori base cui è ortogonale.

Definiamo innanzi tutto il prodotto scalare (tralasciamo il peso) fra 2 vettori, g e f, in questo spazio:

http://operaez.net/mimetex/\lt f,g\gt=\int_Xf(x)g(x)\,dx

e la distanza sempre fra f, g:

http://operaez.net/mimetex/d(f,g)=sqrt{\int_X(f(x)-g(x))^2\,dx}

Sia http://operaez.net/mimetex/u_k un vettore generico della base cui v è ortogonale.

Ho pensato di procedere così, svolgendo il quadrato nell'integrale:
http://operaez.net/mimetex/d(v,u_k)=sqrt{\int_X(v-u_k)^2\,dx}=sqrt{\int_Xv^2+u_k^2-2vu_k\,dx}=sqrt{\int_Xv^2\,dx+\int_Xu_k^2\,dx-2\int_Xvu_k\,dx}

Ora:

http://operaez.net/mimetex/\int_Xu_k^2\,dx=1 perchè vettore unitario

http://operaez.net/mimetex/\int_Xvu_k\,dx=0 perchè ortogonali

e in definitiva

http://operaez.net/mimetex/d(v,u_k)=sqrt{\int_Xv^2\,dx+1}

...che non dipende dal vettore di base ortonormale preso in considerazione e quindi è costante.

Che ne dite, regge?
Era nel compito scritto d'esame che ho sostenuto pochi giorni fa, probabilmente mi verrà chiesto di spiegare e correggere gli errori all'orale e vorrei avere le idee chiare.

Grazie :)

Ziosilvio

01-03-2007, 20:32

Sia {Un} una base ortonormale di vettori in L2(a,b), dimostrare che un vettore v appartenente a questo spazio è equidistante dai vettori base cui è ortogonale.

CUT

Che ne dite, regge?
Mi pare di sì.

E credo si possa generalizzare a uno spazio con prodotto scalare, reale o complesso; ora ci provo.
Sia V uno spazio con prodotto scalare <v,w>, e sia {v[j], j in I} una base di V.
Per j e k qualsiasi in I con j<>k hai
d(v[j],v[k])^2 = <v[i]-v[j],v[i]-v[j]>
= <v[j],v[j]> + <-v[k],v[j]> + <v[j],-v[k]> + <-v[k],-v[k]>
= <v[j],v[j]> - <v[k],v[j]> - <v[j],-v[k]> + <v[k],v[k]>
= 1 - 0 - 0 + 1
quindi d(v[j],v[k]) = sqrt(2) in ogni caso.

fsdfdsddijsdfsdfo

01-03-2007, 22:24

come calcolo il determinante di una matrice infinita?

Ziosilvio

02-03-2007, 10:06

come calcolo il determinante di una matrice infinita?
La cosa non è per niente immediata se uno ha fatto solo la matematica del biennio.
Ho fatto un giro su Wikipedia, ed è saltata fuori una definizione che usa l'esponenziale di matrici.

La cosa funziona più o meno così.
Una matrice è fondamentalmente un operatore lineare continuo A su uno spazio di Banach separabile V. Chiamiamo L(V) lo spazio di tutti questi operatori.
Puoi definire l'esponenziale di A come

http://operaez.net/mimetex/e^A=\sum_{k=0}^\infty\frac{A^k}{k!}

Nota che questa quantità è ben definita, perché se V è uno spazio di Banach, allora L(V) è a sua volta uno spazio di Banach.
A sua volta, l'esponenziale è un morfismo suriettivo del gruppo additivo L(V) nel gruppo moltiplicativo GL(V) degli elementi invertibili di L(V). Allora una determinazione del logaritmo di una matrice invertibile J, è una mappa log : GL(V) --> L(V) tale che exp log J = J per ogni J in GL(V).
Bada che, in generale, se J è una matrice, allora log J è una matrice a elementi complessi.

Ora, facendo due conti vedi che, se A è una matrice finita, allora

http://operaez.net/mimetex/\det\,e^A=e^{{\rm Tr} A}

dove la traccia di A è la somma dei suoi autovalori. Ma allora puoi definire

http://operaez.net/mimetex/\det\,A=e^{{\rm Tr}\log A}

anche se A è infinita.

Ci sono dei metodi più semplici se A è diagonalizzabile, e altri metodi che impiegano la forma canonica di Jordan.
Qualche link:
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_exponential
http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_logarithm

vermaccio

02-03-2007, 12:56

Equazione differenziale di PRIMO grado a coefficienti costanti (K=cost)

dot_x+K*x=g(x)

dove g(x) è una funziona positiva crescente di cui (sgrunt!) NON è nota l'equazione (so solo che è sempre positiva e cresce con la x).

come calcolo l'integrale particolare? o, meglio, conoscendo che g(x) è positiva crescente, che proprietà posso evincere sulla soluzione globale x(t) dell'eq. differenziale?

Se fosse stato
dot_x+K*x=0
avrei avuto
x(t)=cost*e^-Kt che decresce esponenzialmente a zero.

Avendo però anche g(x), la presenza del termine g(x) positivo crescente come modifica la soluzione x(t)?

Ziosilvio

02-03-2007, 13:25

Tu sai che l'equazione omogenea associata

http://operaez.net/mimetex/\dot{x}+Kx=0

ha soluzioni

http://operaez.net/mimetex/x(t)=Ae^{-Kt}

Per trovare la soluzione particolare puoi usare il metodo di variazione della costante arbitraria: se infatti A non fosse costante, ma variasse anche lei a seconda di t, l'equazione diventerebbe

http://operaez.net/mimetex/\dot{A}(t)e^{-Kt}-A(t)Ke^{-Kt}+KA(t)e^{-Kt}=g(t)

che però equivale a

http://operaez.net/mimetex/\dot{A}(t)=g(t)e^{Kt}

che ha soluzione

http://operaez.net/mimetex/A(t)=\int g(s)e^{Ks}ds

A questo punto, x(t) = A(t)*exp(-Kt) è soluzione particolare.

EDIT: quindi g è funzione di x, e non di t?

vermaccio

02-03-2007, 13:47

opps! g(t) anch'essa.

vermaccio

02-03-2007, 13:56

x(t) = A(t)*exp(-Kt) è soluzione particolare
dove
http://operaez.net/mimetex/A(t)=\int g(s)e^{Ks}ds

sin qui tutto ok.

però sapendo che f(t) è sempre positiva e crescente allora la funzione
http://operaez.net/mimetex/A(t)=\int g(s)e^{Ks}ds
che andamento avrà?
dovrebbe essere crescente perchè g(t) cresce ed è sempre positivo e la stessa cosa e^ks.

come si modifica in generale la soluzione rispetto a quella omogenea [ ovvero differenza tra il caso con e senza la g(x)]?

a causa dell'"agiunta! della A(t) crescente ho un "accrescimento" dei valori di e^-kt.

poichè nel tempo e^-kt va a zero mentre A(t) cresce sempre di più che accade?

all'inizio x(t) dovrebbe non variare (A(t) basso e e^-kt alto). Poi x(t) aumenta rispetto al caso omogeneo (E^-kt diminuito ma A(t) aumentato. Oltre un certo valore e^-kt avrà valori tanto bassi (tende a zero) che i valori elevati (ssimi) di A(t) non riscnono ad aumentala "molto".

esatto?

quindi visto un andamento esponenziale che cala a zero dovrai avere una prima parte che decrescepiù lentamente e poi un a parte che descresce più velocemente? insomma cme una "gobba" al centro?

Ziosilvio

02-03-2007, 14:04

però sapendo che f(t) è sempre positiva e crescente allora la funzione
http://operaez.net/mimetex/A(t)=\int g(s)e^{Ks}ds
che andamento avrà?
dovrebbe essere crescente perchè g(t) cresce ed è sempre positivo e la stessa cosa e^ks.
exp(Ks) è crescente in s se e solo se K>0.
Ora, se moltiplichi due funzioni monotone crescenti positive, ottieni una funzione monotona crescente positiva; ma se una delle due funzioni non ha uno di 'sti due requisiti, non è detto a priori cosa farà il prodotto.
come si modifica in generale la soluzione rispetto a quella omogenea [ ovvero differenza tra il caso con e senza la g(x)]?
Ogni soluzione dell'equazione è somma di una soluzione particolare e di una soluzione dell'omogenea associata.
poichè nel tempo e^-kt va a zero mentre A(t) cresce sempre di più che accade?
Dipende da come cresce A(t).

vermaccio

02-03-2007, 14:24

K è positiva e la g(t) sempre positiva e crescente.

il problema è "come" cresce.

ho una telecamera che inquadra un oggetto (una sfera) distante quindi sullo schermo vedo un cerchietto.
se avvicino la camera all'oggetto con velox costante l'area del cerchietto aumenta (la sfera è sempre più vicina alla camera) MA man mano che mi avvicino cresce sempre di più. infatti se è molto lontana anche un grande avvicinamento ingrandisce poco l'area. se sono molto vicino anche un piccolo avvicinamento la ingrandisce molto.

la g(t) è la legge di accrescimento di quell'area.

secondo te la x(t) che forma avrà?

vermaccio

02-03-2007, 14:46

scusa. per una serie di motivi troppo lunghi a dirsi è:

la legge ha un andamento del tipo g(t)=cost/(t^3)

secondo te , quindi, la soluzione particolare e quella complessiva che andamento avranno?

webmagic

02-03-2007, 19:31

perdonatemi, un quesito:
sqr( (-w^2+1)^2 + (2w)^2 ) = 2

risolvo ed ottengo: sqr ( w^4+1-2w^2+4w^2 ) = 2;

ora le strade sono due:

1a: elevo al quadrato ambo i membri ed ottengo:
w^4+2w^2-3=0; w1=1, w2=-1, w3/4 radici complesse e coniugate. ok!

2a: mi accorgo che sotto la radice ho il quadrato del binomio e lo semplifico con la radice... sqr( (w^2+1)^2) = w^2+1 = 2

w1=1, w2=-1.

Ora le due strategie sono equivalenti?
perchè se elevo al quadrato ambo i membri ottengo quelle due radici complesse e coniugate?

grazie

nin

02-03-2007, 22:49

Mi pare di sì.

E credo si possa generalizzare a uno spazio con prodotto scalare, reale o complesso; ora ci provo.
...

Grazie come sempre, anche per la generalizzazione.
:)

Ziosilvio

02-03-2007, 22:54

scusa. per una serie di motivi troppo lunghi a dirsi è:

la legge ha un andamento del tipo g(t)=cost/(t^3)

secondo te , quindi, la soluzione particolare e quella complessiva che andamento avranno?
Boh... prova a tracciare qualche grafico con Gnuplot...
La particolare dovrebbe scendere fino a un tot, e poi mettersi a salire.
La complessiva... hai una cosa che tende a zero più una cosa che diverge...

Ziosilvio

02-03-2007, 23:06

un quesito:
sqr( (-w^2+1)^2 + (2w)^2 ) = 2

risolvo ed ottengo: sqr ( w^4+1-2w^2+4w^2 ) = 2;

ora le strade sono due:

1a: elevo al quadrato ambo i membri ed ottengo:
w^4+2w^2-3=0; w1=1, w2=-1, w3/4 radici complesse e coniugate. ok!

2a: mi accorgo che sotto la radice ho il quadrato del binomio e lo semplifico con la radice... sqr( (w^2+1)^2) = w^2+1 = 2

w1=1, w2=-1.

Ora le due strategie sono equivalenti?
perchè se elevo al quadrato ambo i membri ottengo quelle due radici complesse e coniugate?
Perché in campo complesso, la radice quadrata è una funzione polidroma (accento sulla "i"): un numero complesso non nullo ha due radici quadrate distinte.
Quindi, le soluzioni della tua equazione "radice quadrata di polinomio di secondo grado uguale costante" ha quattro soluzioni, e non due.

Il motivo per cui ogni numero complesso non nullo ha due radici quadrate, è questo.
Considera la rappresentazione polare

http://operaez.net/mimetex/z=\rho(\cos\theta+i\sin\theta)

per cui, per ogni n>0,

http://operaez.net/mimetex/z^n=\rho^n(\cos n\theta+i\sin n\theta)

Se z<>0, allora rho>0. Supponi z=w^2: detto

http://operaez.net/mimetex/w=r(\cos t+i\sin t)

hai rho=r^2, cos theta = cos 2t, e sin theta = sin 2t.
Questo implica r=sqrt(rho) nel senso dei numeri reali, ma

http://operaez.net/mimetex/\theta=2t+2k\pi

per qualche k intero. Per periodicità, hai una radice

http://operaez.net/mimetex/w_1=\sqrt{\rho}(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2})

e una radice

http://operaez.net/mimetex/w_2=\sqrt{\rho}(\cos(\frac{\theta}{2}+\pi)+i\sin(\frac{\theta}{2}+\pi))

Lucrezio

03-03-2007, 21:32

Chi mi dimostra che gli autovalori di una matrice siffatta:
http://operaez.net/mimetex/\left ( \begin{array}{cccccc} \alpha & \beta & 0 & 0 & \ldots & \beta\\ \beta & \alpha & \beta & 0 & \ldots & 0\\ \vdots & & & & \ddots & \vdots\\ \beta & 0 & 0 & \ldots &\beta & \alpha \end{array} \right )
ovvero una matrice con tutti alpha sulla diagonale, beta sulla sopradiagonale e sulla sotto diagonale, beta nelle posizioni (1,N) e (N,1) e tutto il resto uguale a zero, per N pari, hanno forma
http://operaez.net/mimetex/E_k = \alpha + 2\beta \cos(\frac{2\pi k}{N})
Offresi gratitudine eterna in cambio!

The-Revenge

03-03-2007, 21:50

mi potete aiutare in questo please, ci ho messo un ora per far un sistema e mi esce sempre uguale, però il risultato dle libro non quadra....è elettrotecnica, ma il sistema è di matematica quinid posto qui...è un sistema a 2 incognite :

(Va-Vb)G4+Va*G2+Va*G3=8
(Va-Vb)G4+Vb*G1=2

G3=0.05
G1=0.1
G2=0.2
G4=0.025

A me è uscito Vb = 0.53/6.27
Mi sapreste dire se esce cosi anche a voi?:stordita:

Paolo_Genova

03-03-2007, 21:53

Ziosilvio

03-03-2007, 22:44

Determinare gli estremi inferiore e superiore dell'insieme
http://operaez.net/mimetex/$$ A\,=\,\{y\in\mathbb{R}\,:\,y={\frac{\sqrt{n-1}}{n+3},\,n\in\mathbb{N}\,(n\ge1)}\} $$
Devi capire dov'è che la successione cresce con n, e dov'è che decresce.
Ossia, devi studiare la disuguaglianza

http://operaez.net/mimetex/\frac{\sqrt{n-1}}{n+3}\lt\frac{\sqrt{(n+1)-1}}{(n+1)+3}

Dato che per n>=1 tutte le quantità sono non negative, e il quadrato è una funzione crescente per x>=0, ti basta studiare

http://operaez.net/mimetex/\frac{n-1}{n^2+6n+9}\lt\frac{n}{n^2+8n+16}

o anche

http://operaez.net/mimetex/(n-1)(n^2+8n+16)\lt n(n^2+6n+9)

Svolgi i prodotti, e trovi

http://operaez.net/mimetex/n^3+7n^2+8n-16\lt n^3+6n^2+9n

ossia

http://operaez.net/mimetex/n^2+n-16\lt 0

che è soddisfatta solo per n uguale a 1, 2, o 3.
Questo vuol dire che, detto a[n] il termine generico della tua successione, hai a[n]<a[n+1] se e solo se n<=3.
Allora necessariamente a[4] è il massimo della successione, mentre il suo estremo inferiore è il limite di a[n] per n-->oo, che vedi da te essere 0.
Dato che però a[1]=0, tale estremo inferiore è anche un minimo.
Oltre a questo esercizio specifico, quale potrebbe essere un buon metodo per questo tipo di problema?
Un trucco classico è sostituire la successione con una funzione "sufficientemente regolare" (diciamo almeno derivabile) nella semiretta x>=1, e studiare il comportamento della funzione.

Ziosilvio

03-03-2007, 22:50

esce cosi anche a voi?
Maxima (http://maxima.sourceforge.net/) mi dà: Va=520/17, Vb=280/17.

Lucrezio

04-03-2007, 08:38

Ziosilvio non è che hai idea di come si risolva il mio problema?

The-Revenge

04-03-2007, 09:03

Maxima (http://maxima.sourceforge.net/) mi dà: Va=520/17, Vb=280/17.
hum...calcolando le correnti per quei valori di va e vb, non esce l'esercizio :confused: vabbè pazienza, l'importante è che mi sono esercitato a fare la legge al nodo :muro:

Ziosilvio

04-03-2007, 20:24

Ziosilvio non è che hai idea di come si risolva il mio problema?
Boh... la cosa è banalmente vera per N=2, ma non sono sicuro si possa usare l'induzione... deve esserci una spiegazione del tipo "perché queste sono rotazioni così e così", ma proprio non mi vengono in mente...

... oltretutto 'sta settimana sono in Estonia, e avrò pochissimo tempo da dedicare al forum...

Lucrezio

04-03-2007, 23:33

Boh... la cosa è banalmente vera per N=2, ma non sono sicuro si possa usare l'induzione... deve esserci una spiegazione del tipo "perché queste sono rotazioni così e così", ma proprio non mi vengono in mente...

... oltretutto 'sta settimana sono in Estonia, e avrò pochissimo tempo da dedicare al forum...

:D
Beato te!
Ciao e grazie ;)

Ziosilvio

05-03-2007, 21:25

Ziosilvio non è che hai idea di come si risolva il mio problema?
Ancora no.
Mi è però venuto in mente che la tua è una matrice circolante (http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix), che è un caso particolare di matrice di Toeplitz (http://en.wikipedia.org/wiki/Toeplitz_matrix), di cui conosco solo il nome :cry:
Seguendo Wikipedia, però, ho trovato una novantina di pagine di tutorial QUI (http://www-ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf).
Forse ti può essere utile...

EDIT: ... e mi sa che quello che ti serve c'è, e sta a pagina 32 del documento, 40 del PDF.
Praticamente, in una matrice circolante ogni riga è una permutazione ciclica del vettore (c[0],...,c[n-1]).
Facendo i conti, gli autovalori hanno la forma

http://operaez.net/mimetex/\psi=\sum_{j=0}^{n-1}c_j\rho^j

dove rho è una radice n-esima dell'unità.

Ora, tu hai c[0]=alpha, c[1]=c[N-1]=beta.
Dato che rho è una radice N-esima dell'unità, ha la forma

http://operaez.net/mimetex/\rho=e^{\frac{2\pi i}{N}k}=\cos\frac{2k\pi}{N}+i\sin\frac{2k\pi}{N}

cosicché

http://operaez.net/mimetex/\rho^j=e^{\frac{2\pi i}{N}kj}=\cos\frac{2jk\pi}{N}+i\sin\frac{2jk\pi}{N}

Allora

http://operaez.net/mimetex/\phi=\alpha+\beta(\cos\frac{2k\pi}{N}+i\sin\frac{2k\pi}{N})+\beta(\cos\frac{(N-1)2k\pi}{N}+i\sin\frac{(N-1)2k\pi}{N})

Ma

http://operaez.net/mimetex/\cos\frac{(N-1)2k\pi}{N}=\cos\frac{-2k\pi}{N}=\cos\frac{2k\pi}{N}

e

http://operaez.net/mimetex/\sin\frac{(N-1)2k\pi}{N}=\sin\frac{-2k\pi}{N}=-\sin\frac{2k\pi}{N}

per cui, sommando, esce fuori proprio quello che serve a te.

Paolo_Genova

06-03-2007, 11:48

CUT

Grazie, sei stato chiarissimo.

Lucrezio

06-03-2007, 22:13

Ancora no.
Mi è però venuto in mente che la tua è una matrice circolante (http://en.wikipedia.org/wiki/Circulant_matrix), che è un caso particolare di matrice di Toeplitz (http://en.wikipedia.org/wiki/Toeplitz_matrix), di cui conosco solo il nome :cry:
Seguendo Wikipedia, però, ho trovato una novantina di pagine di tutorial QUI (http://www-ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf).
Forse ti può essere utile...

EDIT: ... e mi sa che quello che ti serve c'è, e sta a pagina 32 del documento, 40 del PDF.
Praticamente, in una matrice circolante ogni riga è una permutazione ciclica del vettore (c[0],...,c[n-1]).
Facendo i conti, gli autovalori hanno la forma

http://operaez.net/mimetex/\psi=\sum_{j=0}^{n-1}c_j\rho^j

dove rho è una radice n-esima dell'unità.

Ora, tu hai c[0]=alpha, c[1]=c[N-1]=beta.
Dato che rho è una radice N-esima dell'unità, ha la forma

http://operaez.net/mimetex/\rho=e^{\frac{2\pi i}{N}k}=\cos\frac{2k\pi}{N}+i\sin\frac{2k\pi}{N}

cosicché

http://operaez.net/mimetex/\rho^j=e^{\frac{2\pi i}{N}kj}=\cos\frac{2jk\pi}{N}+i\sin\frac{2jk\pi}{N}

Allora

http://operaez.net/mimetex/\phi=\alpha+\beta(\cos\frac{2k\pi}{N}+i\sin\frac{2k\pi}{N})+\beta(\cos\frac{(N-1)2k\pi}{N}+i\sin\frac{(N-1)2k\pi}{N})

Ma

http://operaez.net/mimetex/\cos\frac{(N-1)2k\pi}{N}=\cos\frac{-2k\pi}{N}=\cos\frac{2k\pi}{N}

e

http://operaez.net/mimetex/\sin\frac{(N-1)2k\pi}{N}=\sin\frac{-2k\pi}{N}=-\sin\frac{2k\pi}{N}

per cui, sommando, esce fuori proprio quello che serve a te.

Spettacolo!
Grazie infinite!
:ubriachi:

pazuzu970

06-03-2007, 23:15

Spettacolo!
Grazie infinite!
:ubriachi:

Evviva le matrici circolanti!

:Prrr:

REN88

07-03-2007, 18:03

REN88

07-03-2007, 18:09

Ziosilvio

07-03-2007, 21:21

Nel piano xOy la retta r di equazione y=mx incontra la curva di equazione
y=-xquadro +4x oltre che nell'origine degli assi in un punto a mentre la retta simmetrica di r rispetto all'asse delle x incontra la curva oltre che in O in un punto A'. Fra tutti i triangoli OAA' si determini quello di area massima.
Anzitutto devi trovare le coordinate di A.
Questo lo puoi fare eguagliando le espressioni della y per la retta e per la curva.
Ovviamente, A ha coordinate (4-m,m(4-m)).
Poi, devi calcolare il punto in cui la seconda retta incontra la curva.
Questo viene subito se ti ricordi che fare la simmetria rispetto all'asse delle x, significa cambiare segno alla y---e che quindi, la seconda retta ha equazione y=-mxper cui, calcolando l'intersezione nello stesso modo, ti viene fuori A' = (4+m,-m(4+m)).
Ora, come tu sai, l'area del triangolo di vertici A, B, C è data dalla formula

http://operaez.net/mimetex/{\rm Area\,}ABC=\frac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)|

Nel tuo caso, l'area del triangolo di vertici O, A, A' è quindi una funzione del solo parametro m...

Ziosilvio

07-03-2007, 21:27

Evviva le matrici circolanti!

:Prrr:
[Modalità canora ON]
Vaaa... distruggi il mare, va! ALABARDA NASALE!!!
Vaaa... distruggi i taleban! MATRICI CIRCOLANTI!!!
Vai, c'è sul radar la flotta di Vega!
Vai, altrimenti chiudiamo bottega!
Eee... la razza umana non morirà!
Mille allarmi tu hai, non fraintenderci mai,
perché il bene tu sei, sei con noi!!! GOLDRAKE!!!
[Modalità canora OFF]

questa e tante altre varianti su www.polygen.org/web/Ufo_Robot.650.0.html

REN88

07-03-2007, 21:27

Anzitutto devi trovare le coordinate di A.
Questo lo puoi fare eguagliando le espressioni della y per la retta e per la curva.
Ovviamente, A ha coordinate (4-m,m(4-m)).
Poi, devi calcolare il punto in cui la seconda retta incontra la curva.
Questo viene subito se ti ricordi che fare la simmetria rispetto all'asse delle x, significa cambiare segno alla y---e che quindi, la seconda retta ha equazione y=-mxper cui, calcolando l'intersezione nello stesso modo, ti viene fuori A' = (4+m,-m(4+m)).
Ora, come tu sai, l'area del triangolo di vertici A, B, C è data dalla formula

http://operaez.net/mimetex/{\rm Area\,}ABC=\frac{1}{2}|(x_B-x_A)(y_C-y_A)-(x_C-x_A)(y_B-y_A)|

Nel tuo caso, l'area del triangolo di vertici O, A, A' è quindi una funzione del solo parametro m...

grazie 1000 ora provo a farlo seguendo i tuoi consigli!

Ciao

Renato

------------

OK fatto..! alla fine era veramente facile...!! Mi devo ripassare x bene la geometria analitica...! Grazie ancora ciao!

pazuzu970

07-03-2007, 21:28

ciao, vi scrivo perchè sono di fronte ad un problema di massimo e minimo... Purtroppo non ricordo bene la geometria analitica e mi è difficile risolverlo (anche se mi sembra facile come esecuzione)...

il testo del problema è questo:

Nel piano xOy la retta r di equazione y=mx incontra la curva di equazione
y=-xquadro +4x oltre che nell'origine degli assi in un punto a mentre la retta simmetrica di r rispetto all'asse delle x incontra la curva oltre che in O in un punto A'. Fra tutti i triangoli OAA' si determini quello di area massima.

Risultato: area massima= (128radicedi3)/9 per m=(4*radicedi3)/3

Grazie in anticipo!

Il risultato è corretto, il problema ammette le soluzioni:

m = (4rad3)/3 ovvero, simmetricamente, m = - (4rad3)/3

Puoi procedere in questo modo.

Innanzitutto trova le coordinate dei punti A e A' in funzione di m risolvendo i sistemi che hanno come equazione la retta y = mx con la parabola e y = -mx sempre con la parabola. Volendo puoi risolvere solo il primo di tali sistemi, dal momento che, per simmetria, le soluzioni dell'altro le otterrai cambiando m con -m...

Troverai: A(4-m, m(4-m)), A'(4+m, -m(4+m)).

A questo punto conosci i tre vertici del triangolo e devi scriverne l'area, che verrà in funzione di m.

Puoi usare, ad esempio, la nota regola in base alla quale l'area è data dalla metà del valore assoluto del determinante della matrice 3x3 avente come colonne, in ordine: le ascisse e le ordinate dei tre vertici e tutti uno.

Si trova:

Area(m) = |m(m^2-16)|

e tale funzione ammette massimo, appunto, per m eguale a (4rad3)/3 ovvero a -(4rad3)/3.

Aggiungo che per m = 0, 4 oppure -4 la suddetta funzione non ammette derivata, ma tali punti sono comunque di minimo (di non derivabilità). Per m = 0 si ha un triangolo che degenera in un segmento (area nulla), per m = 4 invece, oppure -4, una delle due rette uscenti dall'origine è la tangente alla parabola nell'origine, per cui l'origine viene a coincidere con uno degli altri due vertici e nuovamente il triangolo degenera in un segmento (area nulla).

L'esercizio di geometria solida lo lascio a ziosilvio.

:D

REN88

07-03-2007, 21:41

Il risultato è corretto, il problema ammette le soluzioni:

m = (4rad3)/3 ovvero, simmetricamente, m = - (4rad3)/3

Puoi procedere in questo modo.

Innanzitutto trova le coordinate dei punti A e A' in funzione di m risolvendo i sistemi che hanno come equazione la retta y = mx con la parabola e y = -mx sempre con la parabola. Volendo puoi risolvere solo il primo di tali sistemi, dal momento che, per simmetria, le soluzioni dell'altro le otterrai cambiando m con -m...

Troverai: A(4-m, m(4-m)), A'(4+m, -m(4+m)).

A questo punto conosci i tre vertici del triangolo e devi scriverne l'area, che verrà in funzione di m.

Puoi usare, ad esempio, la nota regola in base alla quale l'area è data dalla metà del valore assoluto del determinante della matrice 3x3 avente come colonne, in ordine: le ascisse e le ordinate dei tre vertici e tutti uno.

Si trova:

Area(m) = |m(m^2-16)|

e tale funzione ammette massimo, appunto, per m eguale a (4rad3)/3 ovvero a -(4rad3)/3.

Aggiungo che per m = 0, 4 oppure -4 la suddetta funzione non ammette derivata, ma tali punti sono comunque di minimo (di non derivabilità). Per m = 0 si ha un triangolo che degenera in un segmento (area nulla), per m = 4 invece, oppure -4, una delle due rette uscenti dall'origine è la tangente alla parabola nell'origine, per cui l'origine viene a coincidere con uno degli altri due vertici e nuovamente il triangolo degenera in un segmento (area nulla).

L'esercizio di geometria solida lo lascio a ziosilvio.

:D

Grazie 1000....!

BlackLothus

08-03-2007, 13:50

Visto che sono qui ne approfitto per chiedervi un altro problema di massimo e minimo questa volta però riguardante la geometria solida

Testo problema:
Un triangolo rettangolo isoscele dato ruota intorno a una retta del suo piano passante per il vertice dell'angolo retto senza tagliare il triangolo: in quale posizione del triangolo si avrà il massimo volume del solido generato?

ci ho perso tempo ma non va...

Risultato: "L'ipotenusa dovrà essere parallela all'asse di rotazione"

Provo ad aiutarti, spero di non scrivere troppe cavolate.

Premetto che non avevo letto isoscele :muro: e che quindi ho sviluppato per triangolo rettangolo qualsiasi, comunque la soluzione si estende al caso particolare di triangolo rettangolo isoscele.

Dunque, detto gamma l’angolo tra un cateto e l’asse di rotazione, calcoli il volume del solido di rotazione in funzione di gamma.
Io ho usato le formulette dei solidi di rotazione, in particolare il volume l’ho ottenuto sottraendo il volume dei coni generati ruotando i cateti, al volume del tronco di cono generato ruotando l’ipotenusa.

Smanettando con seni e coseni alla fine ottieni un’espressione del volume del solido:
V=b*b*c*cos(gamma)+b*c*c*sen(gamma)
Dove b e c sono i cateti, e gamma è l’angolo formato da c con l’asse di rotazione.

Trovato il volume derivi una volta e annulli e trovi così un massimo/minimo/flesso, derivi un’altra volta e vedi che il tutto è negativo, quindi il punto che avevi trovato era un massimo.

L’angolo gamma che rende massimo il volume coincide con l’angolo formato dall’ipotenusa con il cateto b (NON quello che forma l’angolo gamma).
Nel caso particolare quindi gamma=45°, e quindi l’ipotenusa è parallelo all’asse di rotazione.

Nella figura, spero di averla inserita correttamente, il massimo si ha per gamma=alpha

REN88

08-03-2007, 14:12

grazie per la risposta ora me lo studio x bene....!

Ciao!

Lucrezio

08-03-2007, 21:25

stbarlet

08-03-2007, 21:36

Lucrezio

08-03-2007, 22:35

derivalo:p

...
no, devo trovare il polinomio!

pazuzu970

08-03-2007, 23:11

...
no, devo trovare il polinomio!

Mi dovrei fare qualche conto, però, se come penso la tua espressione vale zero per ogni valore di x, allora puoi provare a scrivere esplicitamente i coefficienti del polinomio e poi, lasciando al primo membro solo quello di grado n, puoi imporre l'eguaglianza dei coefficienti dei termini di egual grado (principio di identità): dovresti ottenere delle condizioni sui coefficienti che ti consentono di individuare Pn(x).

Da provare, non mi sento di garantire nulla a quest'ora...

:Prrr:

BlackLothus

09-03-2007, 08:47

Ho un polinomio definito per ricorsione da (il pedice indica il grado):
http://operaez.net/mimetex/P_n(x) - xP_{n-1}(x) + P_{n-2}(x) = 0
E mo che faccio? :cry:
(Ehm... può aiutare che quello di grado 1 è x e quello di grado due è x^2 -1 ?)

Non sono riuscito a scriverlo elegantemente in forma chiusa, ma magari questa osservazione può aiutare.
Facendo un po' di prove si vede che il polinomio ha sempre la forma:
Pn=a1x^n-a2x^(n-2)+a3x^(n-4)-a4x^(n-6)+…
Quindi il polinomio ha grado n, i segni dei coefficienti si alternano e le potenze di x scendono di due in due.
Ora i coefficienti: sviluppando il triangolo di tartaglia fino ad n, trovi che i coefficienti del polinomio partono dalla riga n (a1=1), il coefficiente a2 si trova sulla riga superiore in seconda posizione e così via.
Nell’esempio c’ il polinomio di grado 6

0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1

P6=x^6-5x^4+6x^2-1

Spero sia di aiuto

Ziosilvio

09-03-2007, 11:06

Ho un polinomio definito per ricorsione da (il pedice indica il grado):
http://operaez.net/mimetex/P_n(x) - xP_{n-1}(x) + P_{n-2}(x) = 0
E mo che faccio? :cry:
(Ehm... può aiutare che quello di grado 1 è x e quello di grado due è x^2 -1 ?)
Sì, può aiutare, perché allora P{0} è il polinomio identicamente uguale a 1.
Allora, per trovare il valore P{n}(x), imposti la successione definita per ricorrenza
a{0} = 1
a{1} = x
a{j+2} =x*a{j+1}-a{j}
e la valuti fino al valore j=n, che ti dà a{n} = P{n}(x).

Lucrezio

09-03-2007, 12:41

Ok! Risolto!
;)

pazuzu970

09-03-2007, 13:47

Ok! Risolto!
;)

:ciapet:

REN88

11-03-2007, 10:56

Ciao! Sn sempre io...:muro:

Non riesco a risolvere questo problema di massimo e di minimo...:

OA è la bisettrice fissa di un angolo variabile di vertice fisso A: determinare il valore dell'angolo per cui risulti massima l'area del triangolo isoscele di vertice A che ha per base la congiungente i piedi B e C delle perpendicolari OB, OC condotte da O ai lati dell'angolo.

Mi potete aiutare? (come saprete sono alle prime armi con i problemi di massimo e minimo!)

JL_Picard

11-03-2007, 15:09

Scusa il disegno atroce...

[img=http://img143.imageshack.us/img143/7784/disegnogo0.th.jpg] (http://img143.imageshack.us/my.php?image=disegnogo0.jpg)

sia a l'angolo (variabile) BAO (vertice in A) [uguale all'angolo CAO, in quanto AO dev'essere la bisettrice dell'angolo BAC]

sia l la distanza AO

sia H l'intersezione della retta BC con la retta AO (tra loro perpendicolari, in quanto AH è contemporaneamente altezza e bisettrice del triangolo isoscele BAC)

si può dimostrare che i trinagoli BAH e BAO sono fra loro simili (sono entrambi rettangoli, ed hanno un angoloin comune).

quindi al variare di a, quando è massima l'area di uno. lo è pure dell'altro.

considera ora il triangolo rettangolo ABO.

la sua ipotenusa è AO è lunga l.

i due cateti hanno lunghezza l*sen a e l*cos a

l'area è uguale a ((l^2)*sen a * cos a)

derivando rispetto ad a, ed imponnedo f'(a)=0

hai cos^2 a -sen^2 a = 0

ricordando che sen^2 a + cos^2 a =1

hai 1-2sen^2 a=0

sen a = (radicequadrata di 2)/2

a=pigreco/4 (45 gradi)

FlavioMaster

19-03-2007, 15:19

ciao..avrei alcune domande di algebra:
1)cosa si intende per decomposizione,riduzione,fattorizzazione di un polinomio
in Z3,Z7..ecc..

2)E in Q,R e C?
potete farmi degli esempi di ogni caso?

3)Come si risolve questo esercizio?
f(x)(X+1)^2+g(x)(x^2-1)=(x^2+3+2)
trovare f,g appartenti a Q.

Grazie in anticipo..:confused:

Ziosilvio

19-03-2007, 16:18

1)cosa si intende per decomposizione,riduzione,fattorizzazione di un polinomio
in Z3,Z7..ecc..

2)E in Q,R e C?
potete farmi degli esempi di ogni caso?

3)Come si risolve questo esercizio?
f(x)(X+1)^2+g(x)(x^2-1)=(x^2+3+2)
trovare f,g appartenti a Q.
Mi sa che stai facendo un po' di confusione.

Dato un anello A, puoi costruire l'anello A[x] dei polinomi in una sola variabile a coefficienti in A.
Se A è a fattorizzazione unica, allora lo è anche A[x], e puoi, per esempio, fare la divisione con resto tra polinomi, la decomposizione di un polinomio in fattori primi, eccetera.
Parli allora di fattorizzazione in A[x], oppure su A.

Considera ad esempio p(x) = x^2 + 2.
In Z3[x] puoi scrivere p(x) = (x+1)*(x+2), perché 3 = 0 mod 3.
In Z7[x] non puoi fare una cosa del genere, perché non esiste un numero a tale che a^2 = 5 mod 7.
In Z[x] non puoi per il Criterio di Eisenstein (mi raccomando: Eisenstein.)
In R[x] non puoi, perché p(x) non ha radici reali.
In C[x] puoi scrivere p(x) = (x-i*sqrt(2))*(x+i*sqrt(2)), dove sqrt è la radice quadrata.

Per quanto riguarda l'esercizio, diventa facile se ti accorgi che x^2+3x+2 = (x+1)*(x+2)
x^2-1 = (x+1)(x-1)
Puoi allora isolare un fattore x+1, e risolvere invece
f(x)+g(x)*(x-1)=x+2
Se poni g(x) identicamente uguale a 1, questo si riduce a
f(x)+x-1=x+2
ossia f(x) = 3.
E di fatto,
3*(x+1)+(x^2-1) = 3x+3+x^2-1 = x^2+3x+2

stgww

19-03-2007, 18:34

FlavioMaster

19-03-2007, 18:43

Mi sa che stai facendo un po' di confusione.

Dato un anello A, puoi costruire l'anello A[x] dei polinomi in una sola variabile a coefficienti in A.
Se A è a fattorizzazione unica, allora lo è anche A[x], e puoi, per esempio, fare la divisione con resto tra polinomi, la decomposizione di un polinomio in fattori primi, eccetera.
Parli allora di fattorizzazione in A[x], oppure su A.

Considera ad esempio p(x) = x^2 + 2.
In Z3[x] puoi scrivere p(x) = (x+1)*(x+2), perché 3 = 0 mod 3.
In Z7[x] non puoi fare una cosa del genere, perché non esiste un numero a tale che a^2 = 5 mod 7.
In Z[x] non puoi per il Criterio di Eisenstein (mi raccomando: Eisenstein.)
In R[x] non puoi, perché p(x) non ha radici reali.
In C[x] puoi scrivere p(x) = (x-i*sqrt(2))*(x+i*sqrt(2)), dove sqrt è la radice quadrata.

Per quanto riguarda l'esercizio, diventa facile se ti accorgi che x^2+3x+2 = (x+1)*(x+2)
x^2-1 = (x+1)(x-1)
Puoi allora isolare un fattore x+1, e risolvere invece
f(x)+g(x)*(x-1)=x+2
Se poni g(x) identicamente uguale a 1, questo si riduce a
f(x)+x-1=x+2
ossia f(x) = 3.
E di fatto,
3*(x+1)+(x^2-1) = 3x+3+x^2-1 = x^2+3x+2

grazie,sei grande!
spero di potermi ancora rivolgere a te per chiedere altre cose:)

Ziosilvio

19-03-2007, 19:32

domani ho il compito di geometria analitica sulle circonferenze, ma ancora varie cose non mi sono chiare.
Tra cui ilo procedimento per risolvere i seguenti problemi
1- circonferenza passante per due punti e tangente a una retta data
2- circonferenza tangente a due rette e centro posto su una retta data
Per il primo: siano A e B i due punti, e C il punto in cui la circonferenza è tangente alla retta.
Trova le equazioni degli assi dei segmenti AC e BC: metti a sistema, e trovi le coordinate di un punto K, che dipende da C, e che è il centro di una circonferenza passante per A, B, e C.
Affinché K sia il centro della circonferenza tangente alla retta, il segmento KC deve essere ortogonale ad essa. A questo punto, la lunghezza di KC è il raggio della circonferenza.

Per il secondo: siano A e B i punti in cui la circonferenza è ortogonale alle rette date. Fai presto a calcolare le equazioni delle rette ortogonali a quelle date, e passanti per tali punti.
Trova l'intersezione di questa seconda coppia di rette, e imponi che giaccia sulla terza retta data: trovi A e B, più un punto K che è il centro della circonferenza cercata. La distanza di K da A (o B) è allora il raggio della circonferenza.

Dovrebbe funzionare...

stgww

19-03-2007, 19:49

Per il primo: siano A e B i due punti, e C il punto in cui la circonferenza è tangente alla retta.
Trova le equazioni degli assi dei segmenti AC e BC: metti a sistema, e trovi le coordinate di un punto K, che dipende da C, e che è il centro di una circonferenza passante per A, B, e C.
Affinché K sia il centro della circonferenza tangente alla retta, il segmento KC deve essere ortogonale ad essa. A questo punto, la lunghezza di KC è il raggio della circonferenza.

Per il secondo: siano A e B i punti in cui la circonferenza è ortogonale alle rette date. Fai presto a calcolare le equazioni delle rette ortogonali a quelle date, e passanti per tali punti.
Trova l'intersezione di questa seconda coppia di rette, e imponi che giaccia sulla terza retta data: trovi A e B, più un punto K che è il centro della circonferenza cercata. La distanza di K da A (o B) è allora il raggio della circonferenza.

Dovrebbe funzionare...

ma io non ho i punti di tangenza sulle circonferenze... pongo tutto come generico punto x;y ?

Ziosilvio

19-03-2007, 21:40

ma io non ho i punti di tangenza sulle circonferenze... pongo tutto come generico punto x;y ?
Esattamente.

pazuzu970

19-03-2007, 22:03

Ciao, domani ho il compito di geometria analitica sulle circonferenze, ma ancora varie cose non mi sono chiare.
Tra cui ilo procedimento per risolvere i seguenti problemi
1- circonferenza passante per due punti e tangente a una retta data
2- circonferenza tangente a due rette e centro posto su una retta data

Grazie, se non riesco fare altri esercizi chiedo:D

Il primo esercizio puoi anche risolverlo scrivendo l'equazione y(x) dell'asse del segmento AB, scegliendo un punto generico di tale asse, cioè un punto di coordinate P(alfa, y(alfa)), ed imponendo che la distanza di tale punto da A (o indifferentemente B) sia eguale alla distanza dello stesso punto dalla retta tangente. In questo modo ottieni una equazione in alfa che risolta ti fornisce il valore di alfa e, quindi, le coordinate del centro della circonferenza.
Poi il problema diventa semplice...

matteop7

20-03-2007, 12:48

Eccovi un bel problema di trigonometria da un compito in classe di oggi, era della fila del secchione da 10 in mate, e nemmeno lui c'è riuscito, mi sapete dare qualche dritta?

Data una semicirconferenza di diametro AB=2r, si conduca da A una corda AM in modo che, detto N il punto di mezzo dell'arco MB, la somma dei quadrati delle diagonali del quadrilatero AMNB sia 6r^

:stordita:

Ziosilvio

20-03-2007, 13:34

Data una semicirconferenza di diametro AB=2r, si conduca da A una corda AM in modo che, detto N il punto di mezzo dell'arco MB, la somma dei quadrati delle diagonali del quadrilatero AMNB sia 6r^
Traccia la semicirconferenza ponendo A = (r,0) e B = (-r, 0).
Sia alpha l'angolo AOM: allora M = (r cos alpha, r sin alpha) e

http://operaez.net/mimetex/N=\left(r\cos\left(\alpha+\frac{\pi-\alpha}{2}\right),r\sin\left(\alpha+\frac{\pi-\alpha}{2}\right)\right)=\left(r\cos\frac{\pi+\alpha}{2},r\sin\frac{\pi+\alpha}{2}\right)=\left(r\si\frac{\alpha}{2},-r\cos\frac{\alpha}{2}\right)

Le diagonali sono i segmenti AN e BM.
Trovi subito BM^2 = 2r + 2r cos alpha. L'altro è più complicato, e vale 2r + 2r sin(alpha/2).
Allora tutto sta a valutare per quale alpha si ha

http://operaez.net/mimetex/\cos\alpha+\sin\frac{\alpha}{2}=1

Poni x = sin(alpha/2). Allora, poiché cos alpha = 1 - 2 sin^2(alpha/2), trovare alpha equivale a trovare la soluzione di

http://operaez.net/mimetex/2x^2-x=0

La soluzione x=0 corrisponde ad alpha=0, che non ha senso.
La soluzione x=1/2 corrisponde ad alpha/2 = Pi/6. Quindi alpha = Pi/3.

matteop7

20-03-2007, 13:46

Traccia la semicirconferenza ponendo A = (r,0) e B = (-r, 0).
Sia alpha l'angolo AOM: allora M = (r cos alpha, r sin alpha) e

http://operaez.net/mimetex/N=\left(r\cos\left(\alpha+\frac{\pi-\alpha}{2}\right),r\sin\left(\alpha+\frac{\pi-\alpha}{2}\right)\right)=\left(r\cos\frac{\pi+\alpha}{2},r\sin\frac{\pi+\alpha}{2}\right)=\left(r\si\frac{\alpha}{2},-r\cos\frac{\alpha}{2}\right)

Le diagonali sono i segmenti AN e BM.
Trovi subito BM^2 = 2r + 2r cos alpha. L'altro è più complicato, e vale 2r + 2r sin(alpha/2).
Allora tutto sta a valutare per quale alpha si ha

http://operaez.net/mimetex/\cos\alpha+\sin\frac{\alpha}{2}=1

Poni x = sin(alpha/2). Allora, poiché cos alpha = 1 - 2 sin^2(alpha/2), trovare alpha equivale a trovare la soluzione di

http://operaez.net/mimetex/2x^2-x=0

La soluzione x=0 corrisponde ad alpha=0, che non ha senso.
La soluzione x=1/2 corrisponde ad alpha/2 = Pi/6. Quindi alpha = Pi/3.

la N che formula è?
Allora, poiché cos alpha = 1 - 2 sin^2(alpha/2), trovare alpha equivale a trovare la soluzione di

http://operaez.net/mimetex/2x^2-x=0

non ho capito bene questo passaggio...

Ziosilvio

20-03-2007, 14:03

la N che formula è?
Se devi muoverti da A ad M sulla semicirconferenza, ti sposti di un angolo alpha.
Quindi, se devi invece spostarti da M a B, ti sposti di Pi-alpha.
Essendo N il punto di mezzo dell'arco MB, per arrivare da M a N ti sposti di (Pi-alpha)/2.
Quindi, per arrivare da A a N, ti sposti di alpha + (Pi-alpha)/2, ossia di (Pi+alpha)/2.
non ho capito bene questo passaggio...
Segue da cos alpha = cos^2(alpha/2)-sin^2(alpha/2) = (1-sin^2(alpha/2))-sin^2(alpha/2).

matteop7

20-03-2007, 14:09

Grazie!più tardi me lo studio per bene!un ultima cosa perchè "trovare alpha equivale a trovare la soluzione di http://operaez.net/mimetex/2x%5E2-x=0"?

Ziosilvio

20-03-2007, 14:43

perchè "trovare alpha equivale a trovare la soluzione di http://operaez.net/mimetex/2x%5E2-x=0"?
Perché alpha/2 è un angolo del primo quadrante, e come tale è univocamente determinato dal suo seno: ponendo x = sin alpha/2 e riscrivendo, l'equazione cos alpha + sin alpha/2 = 1 diventa 2x^2-1=0.

matteop7

20-03-2007, 20:52

Le diagonali sono i segmenti AN e BM.
Trovi subito BM^2 = 2r + 2r cos alpha. L'altro è più complicato, e vale 2r + 2r sin(alpha/2).

Ziosilvio un ultimissima cosa: mi dici che teoremi hai usato e che triangoli hai considerato per trovare le diagonali?sennò non capisco il tutto, e tutto il tuo lavoro è andato in fumo!:fagiano:

Ziosilvio

20-03-2007, 21:20

Ziosilvio un ultimissima cosa: mi dici che teoremi hai usato e che triangoli hai considerato per trovare le diagonali?sennò non capisco il tutto, e tutto il tuo lavoro è andato in fumo!:fagiano:
Nulla di eccezionale, a parte la formula per il coseno in funzione del seno dell'angolo metà, e la regola per la lunghezza del segmento di estremi A e B,

http://operaez.net/mimetex/\|AB\|=\sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2}

quest'ultima senza la radice quadrata.

pazuzu970

20-03-2007, 21:41

Ziosilvio un ultimissima cosa: mi dici che teoremi hai usato e che triangoli hai considerato per trovare le diagonali?sennò non capisco il tutto, e tutto il tuo lavoro è andato in fumo!:fagiano:

Ma come, non conosci i Ziosilvio's theorems???

:Prrr:

@ Ziosilvio: scherzi a parte, oggi tutto il giorno a scuola per consigli di classe, vedo che ti hanno dato un bel da fare sul forum, Silvio!

flapane

21-03-2007, 11:33

però è sintomatico che il thread va in coma appena finiscono le sessioni d'esame:D

pazuzu970

21-03-2007, 20:57

Vero!

Sarebbe bello che discutessimo anche tra di noi di questioni matematiche che ci girano per la testa!

:D

retorik

23-03-2007, 20:01

Scrivi le equazioni delle rette secanti la circonferenza di equazione x^2+y^2-4x-2y+4=0, sapendo che tali rette sono parallele all'asse y e individuano una corda lunga radice di 3.

Grazie

Ziosilvio

23-03-2007, 20:20

Scrivi le equazioni delle rette secanti la circonferenza di equazione x^2+y^2-4x-2y+4=0, sapendo che tali rette sono parallele all'asse y e individuano una corda lunga radice di 3.
Anzitutto trova l'equazione della circonferenza.
Raggruppa così:
(x^2-4x+4)+(y^2-2y)=0
Il primo addendo è (x-2)^2. Al secondo, per essere un quadrato, manca un addendo 1: lo metti a tutti e due i termini, e ottieni
(x^2-4x+4)+(y^2-2y+1)=1
che però ha la forma
(x-x0)^2+(y-y0)^2=r^2
quindi hai il raggio della circonferenza e le coordinate del centro.

Veniamo ora alle rette.
"Parallele all'asse Y" vuol dire "verticali", inoltre il raggio del cerchio è 1, quindi ti basta fare così:
1) trovi le equazioni delle rette "giuste" sulla circonferenza goniometrica, e
2) le trasli di quanto è traslato il centro della circonferenza "vera" rispetto all'origine.

Cominciamo dal primo punto. Fai presto a vedere che le due rette devono essere simmetriche rispetto all-origine.
Ora, un segmento lungo sqrt(3), se lo tagli a metà, viene lungo sqrt(3)/2: quindi, se prendi quella più a destra, hai che il suo segmento superiore è pari a sin Pi/3. Ma allora, l'ascissa del punto d'intersezione della retta "più a destra" con l'asse delle X è cos Pi/3, che sai quanto vale; per simmetria, l'ascissa dell'altro punto è -cos Pi/3.

Adesso trasla...

retorik

23-03-2007, 20:25

Grazie Ziosilvio, ora leggo la tua spiegazione. Mi sono però accorto che ho postato nella sezione sbagliata.:(
Ma l'equazione della circonferenza non me la dava già?

EDIT: letto, ma purtroppo non ho capito niente (pi, cos, sin ??) :-(

Ziosilvio

24-03-2007, 11:41

l'equazione della circonferenza non me la dava già?
Sì; ma occorre manipolarla un po', per ricavare il raggio e il centro della circonferenza.
non ho capito niente (pi, cos, sin ??)
Pi : pi greco.
cos : coseno.
sin : seno.
sqrt : radice quadrata.

pazuzu970

24-03-2007, 14:06

EDIT: letto, ma purtroppo non ho capito niente (pi, cos, sin ??) :-(

:rotfl:

Ovviamente senza malizia.

;)

pietro84

24-03-2007, 15:45

pazuzu970

24-03-2007, 19:23

come si definisce in maniera rigorosa il termine "parametro" in matematica?
che differenza c'è tra un parametro e una variabile?
dopo quasi cinque anni di studi universitari non l'ho capito con esattezza.... :wtf:

Bella domanda.

Bisognerebbe precisare, però, in che ambito ci muoviamo.

In un'equazione, ad esempio, il parametro è un coefficiente che può assumere valori in un certo insieme numerico, e che rappresenta tutti questi valori senza indicarne espressamente qualcuno.

Ad esempio, se consideriamo l'equazione nell'incognita x:

2x = 5+a

la lettera a funge proprio da parametro (ad esempio a può variare in Q oppure in R...).

L'introduzione di uno o più parametri in un'equazione o in un problema consente, in pratica, di generalizzare lo svolgimento e, quindi, anche le eventali soluzioni finali.

Molto filosoficamente parlando, un parametro è "tutto e niente".

:Prrr:

Spero di non averti confuso di più le idee!

The-Revenge

24-03-2007, 21:11

vi posto 2 quesiti che per voi saranno sciochezzuole, ma in cui io mis ono bloccato. Il primo è :

senx+tg(x/2)=0

ponendo tg(x/2)=t e usando le formule parametriche

[2t/(1+t^2)]+t=0

sviluppando con m.c.m :

(2t+t+t^3)/(1+t^2)

come si continua? qual'è la soluzione?

il secondo è :

4senx+3cosx=3

senza mettere tutto ciò che ho fatto, anche qui ho usato le formule parametriche e a un certo punto mi arriva a questa equazione :

(8t-6t^2)/(1+t^2)=0

io l'ho sviluppata, ma probabilmente è sbagliata, mi escono 2 soluzioni, una x=k360° una x=115°+k360°, la prima è giusta, la seconda soluzione doveva venire 106° approssimata.

Mi sapreste aiutare con queste 2? sono sciuro che ci riuscirete. Ho rpvoato con il programma wmmaxima, ma non lo so usare bene, mi dice che faccio errori di sintassi quando scrivo tutto giusto :mbe:

nin

25-03-2007, 00:30

come si definisce in maniera rigorosa il termine "parametro" in matematica?
che differenza c'è tra un parametro e una variabile?
dopo quasi cinque anni di studi universitari non l'ho capito con esattezza.... :wtf:

Il parametro può variare di volta in volta ma è fissato per una determinata espressione.

y=Ax

..se definiamo A parametro, una volta stabilito che A=3 solo x varia.
Per ogni valore diverso di A tracceremo un grafico diverso, per ogni x ad A fissato il grafico è uno solo.

Questo molto molto a parole, è la mia libera interpretazione..ho sottilineato quella che per me è il concetto più pregnante (o chiaro) :D

pietro84

25-03-2007, 10:21

calandoci nei vari esempi il concetto mi è chiaro.... però, come per tutti gli enti matematici, deve esistere una definizione rigorosa....

fsdfdsddijsdfsdfo

25-03-2007, 10:27

DIo benedica l'uomo che mi aiuterà.

http://users.mat.unimi.it/users/libor/Fisica/funz_int.pdf

Esercizio 17.

Il campo di esistenza è (-inf, 1)

Come faccio a capire l'andamento della funzione in 1? e in generale?

Ziosilvio

25-03-2007, 10:49

http://users.mat.unimi.it/users/libor/Fisica/funz_int.pdf

Esercizio 17.

Il campo di esistenza è (-inf, 1)
Sì, perché
Come faccio a capire l'andamento della funzione in 1? e in generale?
Per l'andamento generale, usi la formula

http://operaez.net/mimetex/\frac{d}{dx}\int_0^xf(t)dt=f(x)

Per l'andamento in 1, devi calcolare il limite di F(x) per x-->1-.
Dovresti poterlo fare tenendo conto che exp(-t) è limitata in ogni intervallo limitato, e facendo vedere che esiste

http://operaez.net/mimetex/\lim_{x\to 1^-}\int_0^x\log(1-t)dt

cosa che dovresti poter fare ponendo s=1-t e calcolando invece

http://operaez.net/mimetex/\lim_{y\to 0^+}\int_y^1\log s\,ds

fsdfdsddijsdfsdfo

25-03-2007, 11:03

Per l'andamento generale, usi la formula

http://operaez.net/mimetex/\frac{d}{dx}\int_0^xf(t)dt=f(x)

Scusami ZioSIlvio sei molto gentile e io non voglio abusare di te...

però non capisco una cosa: Per usare questa formula io devo conoscere la primitiva di quella funzione, e io non la conosco.

O magari siccome hai spostato dx a sinistra cambia qualcosa?

Cioè terra terra il valore in 1- quant'è?

Perchè il fatto che sia limitata lo capisco anche in altro modo, usando il teorema del confronto ad esempio.

A me è venuta un'idea: io te la dico e poi tu mi dici se è giusta o sbagliata.
Io costruisco una funzione asintotica polinomiale usando Taylor, e poi integro quella per vedere il comportamento in 1.

A me interessa capire una cosa: La derivata è -INF quindi la funzione punta a sud.
Ma come faccio a capire se si ferma e tange l'asintoto verticale o prosegue per -Inf

scusami eh, ma mi son perso le esercitazioni di venerdi e giovedi e già non ci sto piu a capire nulla.

retorik

25-03-2007, 11:11

Sì; ma occorre manipolarla un po', per ricavare il raggio e il centro della circonferenza.

Pi : pi greco.
cos : coseno.
sin : seno.
sqrt : radice quadrata.

Non ho la più pallida idea di cosa sia coseno e seno (ho letto la spiegazione di wikipedia ma...) .:(

fsdfdsddijsdfsdfo

25-03-2007, 11:12

Non ho la più pallida idea di cosa sia coseno e seno (ho letto la spiegazione di wikipedia ma...) .:(

qua si tratta semplicemente di studio :D:D

Sberloz

25-03-2007, 11:36

come si definisce in maniera rigorosa il termine "parametro" in matematica?
che differenza c'è tra un parametro e una variabile?
dopo quasi cinque anni di studi universitari non l'ho capito con esattezza.... :wtf:

Diciamo così: in una qualsiasi equazione vi possono essere incognite e parametri. Quando vai a risolvere l'equazione, tu risolvi rispetto alle incognite, e non rispetto ai parametri. I parametri rappresentano enti di cui tu puoi specificare il valore per specializzare l'equazione al caso specifico, oppure puoi lasciare "letterali" per lasciare l'espressione generale, ma in entrambi i casi il tuo scopo è trovare il valore dell'incognita. Semplicemente, se hai lasciato i parametri letterali te li ritroverai alla destra dell'uguale nell'espressione che ti dà il risultato, mentre se hai sostituito tutti i parametri con numeri precisi, alla destra dell'uguale ti ritroverai solo numeri. In generale, comunque, i parametri rappresentano enti di cui tu conosci (o comunque puoi specificare) il valore "a priori" (che so, il braccio di una leva, oppure la massa di un corpo), ed il cui valore va ad influenzare il valore del risultato finale, ossia dell'incognita di cui tu vuoi trovare il valore "dati" certi parametri. Direi che questo risponde alla tua seconda domanda. La definizione precisa e rigorosa in termini matematici di "parametro" non la conosco.
Chiaramente, quelli che in un'equazione sono parametri in altre equazioni possono essere incognite, ma questa è un'altra storia :)

pietro84

25-03-2007, 13:53

I parametri li definirei, informalmente, dei simboli metalinguistici sostituibili.

Cercando un po'si dovrebbe trovare una definizione formale di "sostituzione" in questo contesto e delle sue proprietà.

sì così c'è un grado di generalità maggiore, però questa definizione sarebbe valida anche per le variabili....
come è stato scritto sopra se ci limitiamo al caso delle equazioni(algebriche o differenziali) un paramento è un elemento che si considera noto quando si calcola la soluzione dell'equazione... ma si usa solo in quest'ambito il termine "parametro"?!

sto cominciando a pensare che la differenza sia più o meno questa:

variabile: simbolo metalinguistico sostituibile.
incognita di equazione: variabile che è vincolata ad assumere il valore che soddisfa l'equazione (o eventualmente i valori)
parametro: variabile il cui valore si considera noto durante il calcolo della soluzione di una equazione

:mc:

Ziosilvio

25-03-2007, 17:38

Non ho la più pallida idea di cosa sia coseno e seno (ho letto la spiegazione di wikipedia ma...) .:(
qua si tratta semplicemente di studio :D:D
retorik, scusa un momento: che anno scolastico frequenti?

Ziosilvio

25-03-2007, 17:45

non capisco una cosa: Per usare questa formula io devo conoscere la primitiva di quella funzione, e io non la conosco.
Tu devi studiare il comportamento di una funzione della forma

http://operaez.net/mimetex/F(x)=\int_0^xf(t)\,dt

Notoriamente, se F ha l'espressione qui sopra, e x è nell'insieme di definizione di f, allora

http://operaez.net/mimetex/F'(x)=f(x)

che è quello che ho scritto io.
terra terra il valore in 1- quant'è?

Terra terra (ma anche nell'iperuranio) il valore di F in 1 non esiste.
Esiste invece il limite del valore di F(x) per x che tende a 1 da sinistra.
Io costruisco una funzione asintotica polinomiale usando Taylor, e poi integro quella per vedere il comportamento in 1.
Dovresti prima dimostrare che la serie di Taylor converge uniformemente in un intorno sinistro di 1. (Altrimenti, non puoi scambiare le operazioni di integrazione e somma della serie.)
A me interessa capire una cosa: La derivata è -INF quindi la funzione punta a sud.
Più esattamente: il limite della derivata è -INF, quindi, se il limite della funzione esiste, allora il grafico della funzione "punta a sud".
Ma come faccio a capire se si ferma e tange l'asintoto verticale o prosegue per -Inf
Qui infatti devi cercare il limite della funzione invece che della derivata.
Personalmente sono convinto che esista; però non l'ho ancora calcolato :fiufiu:

zephyr83

25-03-2007, 18:35

avevo aperto questo topic http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1436863 ma lo riprongo qui

Domani ho l'orale di Analisi LA e potrebbe chiedermi uno di questi 3 esercizi che nn ho fatto allo scritto.

1) f è una funzione di domino R a volori in R
http://utenti.lycos.it/Zii/ana1.jpg

f è concava in ]-inf,0] e convessa in [0,+inf[
Vorrei sapere come ci si arriva a questo risultato

2) http://utenti.lycos.it/Zii/ana2.jpg

La successione http://utenti.lycos.it/Zii/succ.jpg non è limitata
Sulle successioni proprio nn ho capito un cavolo!!

3) http://utenti.lycos.it/Zii/ana3.jpg

il risultato è 4/15

Per il punto 3) avrei anche risolto però vorrei sapere se qualcuno conosce una procedura per risolvere integrali di questo tipo ma cn esponenti maggiori. Sul libro di analisi ne parla ma si capisce molto poco, so applicare bene o male il metodo ma nn saprei spiegarlo benissimo.
Per il punto 2) dovrei averlo risolto, tanto l'integrale viene 2 e facendo il limite per n che tente a +infinito viene come risultato +infinito o -infinito a seconda di n (se è pari o dispari). è corretto?
Il problema grosso c'è l'ho cn il primo esercizio. Svolgere l'integrale mi sembra impossibile, ma sfruttando il teorema fondamentale del calcolo integrale riesco a calcolarmi la derivata seconda di f e mi viene
f''(x)=-e^(3x^2)*(2+6x^2)
ma nn penso che sia giusto perché così x è sempre elevato alla seconda e quindi nn cambia se è maggiore o minore di zero. Come si svolge sto esercizio??? Spero qualcuno possa aiutarmi entro domattina

Ziosilvio

25-03-2007, 18:49

avevo aperto questo topic http://www.hwupgrade.it/forum/showthread.php?t=1436863 ma lo riprongo qui
Ti avevo risposto lì, ma sposto la risposta qui.
1) f è una funzione di domino R a volori in R
http://utenti.lycos.it/Zii/ana1.jpg

f è concava in ]-inf,0] e convessa in [0,+inf[
Non è possibile: la funzione è evidentemente pari, e una funzione pari non può essere concava a sinistra dell'origine e convessa a destra a meno che non sia costante.
Vorrei sapere come ci si arriva a questo risultato
Deriva una volta:

http://operaez.net/mimetex/f'(x)=-\int_0^x\,e^{3t^2}\,dt-xe^{3x^2}

Deriva un'altra volta:

http://operaez.net/mimetex/f''(x)=-e^{3x^2}-e^{3x^2}-6x^2e^{3x^2}=-2(1+3x^2)e^{3x^2}

Tale derivata seconda è evidentemente ovunque negativa, quindi la funzione è concava in tutto IR.
2) http://utenti.lycos.it/Zii/ana2.jpg

La successione http://utenti.lycos.it/Zii/succ.jpg non è limitata
Certo che no: l'integrale tra parentesi tonde vale 2...
3) http://utenti.lycos.it/Zii/ana3.jpg

il risultato è 4/15 ma come si svolge?
L'integrando è il prodotto di una potenza del coseno, e una potenza dispari del seno.
Riscrivi:

http://operaez.net/mimetex/\sin^3x=(1-\cos^2x)\sin x

Poni t = cos(x) e integra per sostituzione.